Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Далее рас- суждать, как в упражнении З,д).) Модуль Е, снабженный этой струк- турой алгебры, будем обозначать через РА ((Л,), (р )). Показать, что Е((0), (!)) есть групповая алгебра й()Р) группы йг (А1л., спзр. !П, 3- еб., $2, п'5). б) Показать, что семейство образующих (ез) З и соотношений ез = Лзез + рз для (е е)г =(е2е )' лля з, 1 щ 5 с произведением 21 конечного четного порядка 26 (е,е)'е =(ее )ге для з, 1 из 5 с произведением з1 конечного нечетного порядка 2г + ! образует задание алгебры Е (рассуждения аналогичны доказательству теоремы 1. и' 5, в !). УПРАЖНЕНИЯ 69 24) Пусть 6 — группа,  — ее подгруппа Титса (упражнение 3, откуда мы берем обозначения). Предположим, что для каждого з зм 5 двойной класс С (з) есть объединение конечного чнсла д, левых смежных классов относительно В.
Используе обозначения нз упражнення 22, положим а =ап1 1 при всех в ~и йу. а) Показать, что условия (!) и (В) упражненнн 22 удовлетворяются. Следовательно, можно говорить об алгебре Гекке Нь (6, В) (й — коммутатнвное кольцо), в которой (ам)гыв в образуют базис. б) Пусть з зм В н и зп )Р. Показать, что а,ча, = (дз — 1) аз+ дм Показать, что если 1(зв)) 1(в), то о,~ам = о,м. в) Показать, что линейное отображевне алгебры Еь ((дз — 1), (уз)), ассоциированной с системой Кокстера (йу, В) (упражненне 23), в Н» (6, В), которое переводит ев в ам для всех в зм йг, является нзоморфизмом алгебр. 25) Вернемся к обозначениям упражнения 8, Предположим дополнительно, что при всех з гм В индекс д, подгруппы В () уВу-' в В конечен для любого у чм ВзВ.
а) Показать, что пара (6, В) удовлетворяет условням (Ц н (В) упражнения 22. б) Показать, что при любом у ез Г отображение х г — з- уху-' определяет автоморфизм а алгебры Гекке Нь(6, В) и что и зависит только от класса в элемента у в Я = Г/(Г() В). Обозвачнм его через огг в) Пусть й [Я) — групповая алгебра группы Я, (е„) — канонический базис. Показать, что линейное отображение 1 тензорного произведения й[Я) езНА(6, В) в Нз(6, В), определенное формулой 1(е„(9а в) = ~а (в обозначениях упражнения 22) для вы Я и в ~м йГ, есть бненВэвв ция и что имеет место соотношение /-~ (/(е (х) х) /(е .®у)) = е ° ®а (х) у для в, в'ш Я и х, у ~ы Нз(6, В).
Ч[ 26) Пусть Š— абсолютно полупростая алгебра нонечного ранга над коммутатнвным полем й. Назовем численным инзариаигом алгебры Е такую последовательность пелых чнсел (л,, ..., лг), что и, )~ ... )~ пг>0 и алгебра й (81А Е нзоморфна алгебре ЦМ„(й) для любого алгебраического замыкания Й поля й.
Пусть У вЂ” кольцо целостности, К вЂ” его поле отиошеннй, ф — гомоморфнзм кольца )г в коммутативное поле й и Š— некоторая )г-алгебра, Предположим, что Š— свободный )г-модуль конечного ранга. Пусть Ее=Ее„й н Е,=Е®, К. а) предположим, что билинейная форма (х, у) ь-мтге,/з(ху) на ео невырождена. Показать, что Е, и Е, абсолютно полупросты (см, Алг., гл, 1Х, 6 2, упр. 1). б) Предположим что Е, н Е, абсолютно полупросты над й н К соответственно. Показать, что Ез н Е, имеют один и тот же численный ннварнант. (Достаточно рассмотреть случай, когда й н К алгебранческн замкнуты. Пусть (е ) — базис алгебры Е над )г н (Хг) — переменные. Нужно 1) доказать, что хаРахтеРнстнческнй многочлев элемента ~ЧР~ Хге~ нз Е~®» К [(Хг)[ (соотв.
Ео Эз й [(Хг)! ) имеет вид Р= Ц~ Р"1(соотв. Я 1 *= Хй[ Яз, где (пн ..., и,) (соотв. тн ..., тз) есть численный инвариант хт 70 ГЛ. !У. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА ч 2 алгебры Е, (соотв. Е,), причем беИР)=п) (соотв. бей Оа=ть). Далее, нужно поназать, что Р)ем)г((Х~)) и что Я ф(Р). Получить отсюда, что существуют целые числа с )О, такие, что т =~яр~с я и п.=~~~',с т ) 1 ь ь27) Пусть (О, В, А', 5) — система Тнтса и й — коимутативное поле. Предположим, что группа 6 конечна и что характеристика поля А не делит порядки групп 6 н ИГ.
Показать, что алгебры Нь(6, В) (упражнение 22) и й(ИГ) абсолютно полупросты и имеют одинаковые численные инварианты, будучи тем самым изоморфными в случае, когда поле я алгебраическн замкнуто. (Пусть оз — индекс подгруппы ВПнВЕ-' в В для и зм ВзВ, зон 5. Нужно рассмотреть алгебру Еь 1х) ((Х (о — 1), (1+Х (о,— 1)) построенную по образцу упражнения 23 по системе Кокстера (Иг, 5) и кольцу многочлеиов й (Х). Далее воспользоваться упражнением 26, а) и б), заметив, что по теореме Машке (гл. 17, Дополнение) билинейная форма Тга 1в Еа (кУ) невыРождена,)„ 2Е) Пусть Π— группа, М вЂ” максимальная подгруппа в О и Π— нормальная подгруппа в М, удоилетворяющая условию (Р) нз и' 7.
Предположим, что группа О совпадает со своим коммутантом, что оиа порождена объединением сопряженных с 0 подгрупп и что пересечение подгрупп, сопряженных с М, состоит только из единичного злемента. Показать, что 6 — простая группа. (Рассмотреть нормальную подгруппу Н в О, отличную от единичной. Показать, что 6 = й).М и затем что 6 = АГ. О.) 29) Пусть Н вЂ” простая некоммутативнаи группа, Π— ее автоморфизм простого порядка р, н пусть Π— полупрямое произведение Х/рЕ на Н, соответствующее й.
Показать, что если 8 не является внутренним автоморфнзмом, то единственными нормальными подгруппами а 0 будут (1), Н и О. Вывести отсюда, что О неразрешима, но удовлетворяет условию (Р) нз и' 7. Применить все зто к симметрической группе Ь„. ГЛАВА Ч Группы, порожднннын отрАжннияй1и 5 1. Гнперплоскостн, камеры н ячейки В этом параграфе мы будем обозначать символом Е вещественное аффинное пространство конечной размерности б н символом Т пространство переносов пространства Е (см. А!д., с)зар. 11, 3'еб., $9, и Топ. вект. простр., гл. 11, $2).
Для любых двух точек а и Ь из Е обозначим символом !аЦ (соотв. )аЬ[, )аЬ]) замкнутый (соотв. открытый, открытый в а и замкнутый в Ь) отрезок с концами а н Ь. На Т однозначно вводится топология отделимого топологического векторного пространства (Топ. вект. простр., гл. !, $2, п'3), и в этой топологии оно изоморфно К». На Е однозначно вводится топология такая, что для любого е ~ Е отображение т е+ ! пространства Т на Е является гомеоморфизмом. Обозначим через Гг локально конечное множество гиперплоскостей в Е (Общ.
топ., гл. 1, 5 !О„п' 12). А Основные понятия и обозначения Пусть Н вЂ” гиперплоскость в Е. Напомним, что Š— Н распадается на две связные компоненты, которые назы-. ваются открытыми полупространстваяи, ограниченными гиперплоскостью Н. Их замыкания называются замкнутыми полупространстваяи, ограниченными гиперплоскостью Н. Пусть х, у си Е. Говорят, что х и у лежат строго по одну сторону от Н, если они содержатся в одном и том же открытом полупространстве, ограниченном Н, или, что то же самое, если замкнутый открытый отрезок с концами х и у не пересекается с Н.
Говорят, что х и у лежат по разные стороны от Н, если х принадлежит одному открытому полу- пространству, ограниченному Н, а у — другому. Говорят также, что х ен Е и 1 си Т лежат строго по одну сторону от Н, если это верно для х и А+ 1, какова бы ни была точка йеи Н. Пусть А — связное непустое подмножество в Е, Для любой гиперплоскости Н в Е, не пересекающей А, обозначим через Он(А) ограниченное гиперплоскостью Н единственное открытое полупространство, содержащее А. Положим Ов(А)= П Он(А), (1) ныв где У! — любое множество гиперплоскостей в Е, не пересе- кающих А. Если А состоит из одной точки а, то мы будем писать Рн(а) и Ри(а) вместо Рн((а) ) и Ри((а)).
2, Ячейки Множество точек в Е, не принадлежащих никакой гнперплоскости Н из множества 9, открыто в Е, поскольку 9 локально конечно. Более точно, мы имеем следующее утверждение: Предложение !, Пусть а — точка в Е. Существует выпуклая открытая окрестность точки а, которая не пересекает никакой гиперплоскости Н из 9, не проходящей через точку а. Далее, существует только конечное число гиперплоскостей из 9, проходящих через а. Множество У! гиперплоскостей Н, таких, что Н ен 9 и а ф Н, локально конечно, ибо оно содержится в 9. Следовательно, множество с7 точек в Е, не принадлежащих никакой гиперплоскости из множества й!, открыто. Так как вен су, то существует выпуклая открытая окрестность а, содержащаяся в У. Конец предложения очевиден.
Пусть даны две точки х и у в Е. Обозначим через Е ) х, у ! отношение: „Дли любой гиперплосиости Н ав 9 либо к еи Н и у ~и Н, либо х и у лежат строго по одну сторону от Н". Ясно, что Д вЂ” отношение эквивалентности в Е. Определение !. Ячейкой в пространстве Е относительно множества гиперплоскостей тг называется класс эквивалентности по определенному выше отношению Е. Предложение 2. Множество ячеек локально конечно. Это очевидное следствие локальной конечности 9. Пусть Š— ячейка и а — принадлежащая ей точка. Для того чтобы гиперплоскость Н ~ 9 содержала Г", необходимо н достаточно, чтобы и ~ Н. Поэтому множество 3 таких гиперплоскостей конечно. Их пересечение есть аффинное подпространство Е пространства Е, которое мы будем называть аффинным носителем ячейки Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
