Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть а ~ О в У и а — ненулевая линейная форма на т'. Из формулы (!) получаем э,',„(х) = х+ ((а, а') — 2) (х, а*). а, и, следовательно, з,* является отражением в том и только в том случае, если (а, а') =2. При этом э,, ° (а) = — а. В. Ортогональные отражения Предположим, что У конечномерно.
Пусть  — невырожденная билинейная форма на )т. Согласно предложению 4 из Алг., гл. 1Х, 5 6, и' 3, для того чтобы отражение э в )т оставляло форму В инвариантной, необходимо и достаточно, чтобы надпространства У~ и У, пространства (т были взаимно ортогональны относительно В. В этом случае они будут неизотропны. Далее, для любой неизотропной гиперплоскости Н в )т сушествует, и притом единственное, отражение э, сохраняюшее В и тождественное на Н. Это не что иное, как симметрия относительно Н (Алг., гл.
1Х, ф 6, п' 3). Если а — ненулевой вектор, ортогональный к Н, то В(а, а) ~ О, и отражение з задается формулой э(х)=х — 2 ' а для любого хенУ, (4) (В (х, а)) В(а, а) что следует из формулы (6) в Алг., гл. 1Х, $6, и' 4. Преобразование э называют также ортогональным отображением относительно гиперплоскости Н. Пггдложвнив 4. Пусть У вЂ” конечномерное пространство,  — невырожденная сил!метрическая билинеиная форма на У, Х вЂ” подпространство в У и Х' — ортогональное дополнение к Х относительно формы В.
Пусть, наконец, з — ортогональное отражение относительно неизотропной гиперплоскопи Н в У. Тогда следующие условия эквивалентны: (!) Х устойчиво относительно з; (й) Хь устойчиво относительно з; (ш) Н содержит Х или Хь. Имеем У,+ = Н, а по упомянутым выше соображениям У, совпадает с ортогональным дополнением Нь к Н относи- 4 $ а Отгкжниня зт тельно В.
Для устойчивости Х относительно г в силу предложения 3, (!) необходимо н достаточно, чтобы Х ~ Н или Нас: Х. Но, согласно следствию ! предложения 4 из Алг., гл. 1Х, $1, и' 6, включение Н" с: Х эквивалентно включению Х' с: Н. Тем самым доказана эквивалентность (1) и (й!). Эквивалентность (й) и (ш) получается, если поменять местами Х и Х", поскольку (Х ) =Х. 4.
Ортогональные отражения в аффинном евклидовом пространстве Сохраним обозначения предыдущего пункта. Пусть Е— аффинное пространство, для которого У вЂ” пространство переносов. Задание формы В на Р наделяет Е структурой евклидова пространства (Алг., гл. 1Х, $ 6, и' 6). Пусть Н вЂ” неизотропная гиперплоскость в Е.
Симметрия относительно Н (Алг., гл. 1Х, $ 6, п 6) называется также ортогональным отражением относительно Н. Мы будем обозначать его через з„. Тогда зй = 1 и зн — единственное перемещение (там же, определение 3) пространства Е, отличное от тождественного и оставляющее на месте все элементы гиперплоскости Н. Автоморфизм пространства ассоциированный с зн, есть ортогональное отражение относительно направляющей гиперплоскости для Н (которая является неизотропной гиперплоскостью в т'). Любой элемент х ~ Е однозначно записывается в виде х=й+ о с й ен Н и о ен)', ортогональным к Н.
Имеем зн(п+ о)=п Пгндложннив 5. Пусть Н и Н' — две параллельные и неизотропные гиперплоскости в Е. Тогда существует единственный вектор о ~ 'т', ортогональный к Н и такой', что Н' = Н+ о. Перемещение знгп есть перенос на вектор 2о. Существование н единственность вектора о очевидны. Автоморфизм пространства Г, ассоциированный с зн,зн, тождествен, поэтому з„, зн — перенос. С другой стороны, если а я Н', то а — о ~ Н и зн,в„(а — о) = в, (а — о) = а + о = (а — о) + 2о, а это показывает, что зн,гн — перенос на вектор 2о.
Слвдствив. Пусть Н и Н' — две параллельные гиперплоскости, отличные друг от друга и неизотропные. Если характеристика поля К равна нулю (соотв. р>0, рФ 2), то группа перемещений пространства Е, порожденная зо зв ГЛ. У. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 6 и з„„является бесконечной (соотв. порядка 2р) диэдральной группой.
В самом деле, согласно предложению 2 из и'2, $ 1 гл. 1Ъ', достаточно проверить, что з„,зн имеет бесконечный порядок (соотв. порядок р), а зто очевидно. Замечание. Вернемси к обозначениям предложения 5 и предположим вдобавок, что К=1х. Пусть 6=за и 6'=з„,. Пусть, далее, ̈́— гиперплоскость Н+п.о и ф— множество точек из Е вида а+в.о, где а~Н и п<$<п+1. Тогда ф— открытые связные множества, образующие разбиение множества Š— Ц Н„. Следовательно, зто камеры, определенные системой Н=(Н„)„в Е.
Перенос (з'э)" переводит камеру С = Ср в камеру С,„, а так как з(С ) =С„то (з'з)" з (С) = С,„н Таким образом, диэдральная группа )Р, порожденная элементами з и 6', действует просто транэитивным образом на камерах С„. Покажем, далее, что если камеры С и в(С) лежат по разные стороны от гиперплоскости Н (для Ге ~ йт), то 1(зв)=1(в) — 1 (длина рассма-тривается относительно системы образующих Е = (з, з') (гл. 1Ч, $1, и'!). Действительно, тогда в(С) =С„с и < О. Если и = — 2я, то в = (зз') и зв = (з'з) ' з', откуда 1(в) = 2й и 1(зв)=2й — 1 (гл.
1Ч, $ 1, и'2, замечание). Если п= = — 2й — 1, то в =(зз')" з и зв =(з'з)", откуда 1(в) = 2й+ 1, а 1(зв) = 2я. б. Дополнения о вращениях на плоскости В этом п' через у' будет обозначаться вещественное векторное пространство размерности 2, снабженное скалярным произведением (т. е. невырожденной положительной симметрической билинейной формой) н ориентацией. Меры углов будут браться относительно основания 2п; поэтому главной мерой угла между полупрямыми (соотв. прямыми) является вещественное число О, такое, что 0 < 0 < 2п (соотв. 0 =0 < и) (Общ. топ., гл. ЧШ, $2, и'3 и 6). Для любого вещественного числа 0 назовем, допуская вольность речи, углом 0 угол, мера которого равна О, и обозначим через рр вращение на угол 0 (Алг., гл. 1Х, $ 10, п'3).
ПРедложеиие 6. Пусть 6 — ортогональное отражение относительно прямой 0 в У'. Если Ь и Л' — две полупрямые с началом 0 (соотв. две прямые, проходящие через 0) пространства у', то (з (О), 6 (Л')) = — (Ь, б') (Гной 2п) (соотв. (щоо я)). з е Отьлження 89 Пусть и — вращение, переводящее Ь и Ь'. Так как зи — ортогональное преобразование в т' с определителем — 1, то оно будет отражением и поэтому (зи)'= 1.
Следовательно, и-' = =зиз ' переводит з(Л) в з (Ь'), откуда и следует предложение. Слвдствив. Пусть Р и Р' — две прямые в т' и 8 — мера угла (Р, Р'). Тогда зр,зо — — р ь. Известно, что з,зо — вращение, поскольку его определитель равен 1. Пусть Ь и Ь' — полупрямые с началом О, содержащиеся в Р и Р'. Тогда (Ь зо"~о (Ь)) — (Ь зтт(Ь)) =(Ь Л)+(Ь зо (Ь))км = — (Ь, Ь') + (з,(Ь'), з,(Ь))—= — = (Ь, Ь') — (М, Ь) — = 2(Ь, Ь')(шос( 2п), что и дает следствие. Пусть теперь Ь и Л' — две полупрямые в $', такие, что ЬФЬ' и Ьм — Л', и пусть з и з' — ортогональные отражения относительно прямых Р и Р', содержащих Ь и Ь'.
Пусть 8 — главная мера угла (Р, Р'). Если 8 ыпЯ, то обозначим через гп наименьшее целое число ) 1, для которого гп8 ~ пХ. Если 8 Ф пЯ, то положим и = со. Пусть В' — группа, порожденная отражениями з и з'. Пнвдложвнив 7.
Группа )Р' — диздральная группа (гл. 1Ч, 5 1, и'2) порядка 2т. Она состоит из вращений рыа и произведений р „зз для и ~ 2',. Образы прямых Р и Р' относительно группы МГ совпадают с образами прямой Р относительно вращений р„ь для пан Х. Следствие предложения 6 показывает, что порядок з'з равен т, откуда вытекает первое утверждение. Значит, элементы группы Мт имеют вид (з'з) =рз„8 или (з з) з =Ржев. Отсюда получается последнее утверждение, поскольку Р' =-р (Р).
Следствие. Пусть С вЂ” открытый угловой сектор — объединение открытых полупрямых Ь, с началом О, для которых 8 < (Ь, Ь,) < 8. Для того чтобы образы прямых Р и Р' отно- оо ГЛ. У, ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ в сительно В' не пересекали С, необходимо и достаточно, чтобы т было конечным и чтобы О = л/т. Если т=ьь, то образ множества чисел ПО (а~У) плотен в и/2лХ (Общ. топ., гл. 1/11, следствие предложения 11). Поэтому объединение образов 0 относительно 27 плотно в )т и пересекает С. Если т конечно и О=йл/т, 1 < й < т, где целые й и т взаимно просты, то сугцествует целое число Ь, такое„что /Г/Гмв! пюдтп. Тогда (О, рьь(0)) — л/т (Гподл) н р„ь(0) пересекает С. Это показывает, что условия следствия необходимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
