Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Группа ))т называется существенной, если надпространство Ть векторов из Т, инвариантных относительно (У(в!т), сводится к (0). Группа %' называется неприводимой, если неприводимо ее представление (У в Т. Следствия. Пусть В' ~ (1). Для того чтобы группа Мт была неприводимои, необходимо и достаточно, чтобы она бьсла существенной и чтобы ее граф Кокстера был сеяген. Замечание. В условиях предложения 5 надпространства Т» для 0(р(в являются изотипиыми компонентами линейного представления (У группы )Р' в Т (Алг., гл. И11, $3, и'4). Отсюда следует (там же, предложение 11), что всякое векторное надпространство т' в Т, устойчивое относительно Ит, есть прямая сумма подпространств т' () Т» для О (р (в.
Кроме того (там же, предложение 10), любой эндоморфизм, коммутирующий со всеми операторами (У (ю), ю ~ )т", оста- е ь з. ггтппы пьеемещении. погождвнные отгхжениями Юк вляет устойчивыми все Т, О «р «з, и индуцирует на каждом из ннх гомотетию. В частности, всякая билинейная форма Ф на Т, инвариантная относительно Ят, задается равенством где <Є— билинейная форма на Т, и ар (1«р«з) — вещественные числа. Действительно, такая форма Ф однозначно записывается в виде (1, Р) (А(Г)) Р), где Л вЂ” эндоморфизм пространства Т, коммутирующий с У(ю) для щ ~ Ю'. 8. Разложение аф4иииого пространства Е в произведение Сохраним обозначения предложения 5. Пусть Ея с 0 « «р«з — множество орбит группы Т', в Е, и пусть ф — каноническое отображение пространства Е на Ер.
Действие Т в Е переносится на фактор. В частности, Т, действует на Е„, н непосредственно проверяется (например, путем выбора начальной точки в Е), что Е, будет аффинным пространством, допускающим Т, в качестве пространства переносов. Положим Е'= ЕьХ... Х Е,.
Это есть аффннное пространство с Т = Т„(9... ® Т, в качестве пространства переносов. Пусть ф: Е- Е' — произведение отображений фр. Так как ф коммутнрует с действием Т, то это отображение будет биекцией н изоморфизмом аффинных пространств. В дальнейшем мы отождествим Е н Е' посредством ф. Отображение фр отождествляется тогда с канонической проекцией Е' на Е,. Поскольку Ф' оставляет устойчивым Т'„действие %7 на Е переносится на фактор и определяет закон действия йт" на Ер (О «р «~з), а при сужении — закон действия Ю иа Ер. Далее, пусть С вЂ” камера, )~Т, и р — такое целое число, что 1еи У . При всех хси Е имеем з, (С) (х) = х — Х. е, (С), где Х ~ й.
Так как е~ си Т', прн ф Ф р, то ф (ю(х))=ф (х) для хеи Е, ю ~ йт, 0«д«з, Ччь р. Следовательно, если в = и, ... ю, еи )р', с юрси Чтр, 1« =р«з, то те ((хь, ..., х,)) = (х„ в, (х,)... „ те,(х,)), (5) каковы бы ни были х,еи Е, 0«р«з. Другими словами, закон действия группы Нт на Е=Е' есть не что иное, как 106 Гл. у. ГРуппы, пОРОжденные ОТРлжениями в произведение законов действий групп )Р' на Ер (мы полагаем )Р'ь=(Ц).
Таким образом, (Р действует точно на Е, и )Рр можно отождествить с группой перемещений евклидова пространства ЕР (пространство переносов Тр пространства Е, снабжено, естественно, скалярным произведением, индуцированным скалярным произведением на Т). Пведложение 6. (!) Группа )Р' есть группа перемещений евклидова аффинного пространства Ер, она порождена отражениями; снабженная дискретной топологией, она действует в Е„собственно разрывно; она неприводима.
(В) Пусть 9 — множество гиперплоскостей Н в Е„, для которых знен )ь' . Множество 9 состоит из гиперплоскостей вида Н = Еь Х Е1 Х Х ЕР— 1 Х НР Х ЕР.Р1 Х Х Еь где р=), ..., з и НРее9,. (1И) Каждая камера С имеет вид ЕьХС, Х ... Х С„где для всякого р множество С, — камера в Ер относительно множества гиперплоскостей 9 . Кроме того, стенками камеры Ср служат гиперплоскости <р (Н~(С)), (~Х .
Пусть С вЂ” камера. Положим Н~ — — Нь(С), е~ — — е~(С) и з; =зс(С) для Е ен1 (обозначення из и'4). (1) Пусть ю'енХ . Так как ею ~ Т, и Т вЂ” прямая сумма попарно ортогональных подпространств Т„Т„..., Т„то гнперплоскость в Т, ортогональная к ен имеет вид С;+ ТР, где (и — гипсрплоскость в Т, ортогональная к е,. Аффннная гиперплоскость Н; в Е имеет вид Тл+ Т'+х, с хенЕ, и поэтому %=ЕЕХЕ~Х . ХЕР-1 ХН(ХЕР+1 Х ХЕ., (6) где Н';=Тл+~рь(х)=~Е (Н,). В таком случае ясно, что зг действует в Е, как отражение относительно гиперплоскости Н(сЕР.
Следовательно, группа В' есть группа перемегдений, порожденная отражениями в Е„, Легко проверить критерий (П'2) собственной разрывностн. Наконец, предложение 5, (ч) показывает, что )Р' неприводима. Тем самым (1) доказано. (й) В силу следствия теоремы 1 множество 9р состоит из гиперплоскостей вида Гв (Н() с ~' нз УР н с ьз, из йт . Далее, если о=и, ... в„где ы е- =йт для всех р, то в соответ- 9 з а ГРуппы перемещений, пОРОжденные ОтРАжениями !от ствии с формулами (5) н (6) гс(Н~) = Ео Х Е1 Х Х Ер-1 Х Гор (Н() Х ЕР~Р~ Х Х Ер, (7) откуда сразу следует (И). (И!) Пусть ! ~ Ур.
По формуле (6) открытое полупространство Р» ограниченное Н, и содержащее С, имеет вид Р~ = еь Х е~ Х Х ер-~ Х Р1 Х ерА-т Х ° ° Х е» где Р) — открытое полупространство, ограниченное Н'; в Ер. Положим Ср — — П Р). Так как С= П Р» то немедленно зят Р получаем С = ЕаХ С~ Х ° ° ХС ° Стало быть, каждое из множеств Ср непусто, а поскольку С не пересекается с гиперплоскостями из Ф, множество Ср не пересекается с гиперплоскостями из фр.
Предложение 5 из $1, и'3, показывает, что Ср — одна из камер в Ер относительно яр, Воспользовавшись предложением 4 из $1, и'2, без труда увидим, что стенками камеры Ср являются гиперплоскости Н! фр (Н~) 8 е:-' Тр у. Строение камер Пусть С вЂ” камера, е1! — множество ее стенок и ен для Н ~ йй — ортогональный к Н единичный вектор, расположенный с той же стороны от гиперплоскости Н, что и С.. ПРедложение 7. Предположим, что группа йт существенна и конечна. Тогда (1) Существует единственная точка а ее Е, инвариантная относительно (17. (И) Семейство (ен)н служит базисом в Т. (!И) Камера С является открытым симплициальным конусом с вершиной а, определенньчм базисом (ен)н в Т, для которого (енисей)=бнн ° (!) Согласно предложению 4 из и'6, существует точка а ен Е, инвариантная относительно %'.
Пусть вектор 1ы Т' таков, что точка 1 + а инвариантна относительно ))7. Тогда для любого Гвен Ю' имеем С(ш).1+ а = ю(1+ а) =1+ а, 108 Гл. и. ГРуппы, поРожденные ОТРлжениями Р откуда П(ю)./=й Ввиду существенности Ф' это влечет /= — О, чем доказана единственность точки а. (И) Так как Ф' — существенная группа, то в обозначениях и'7 Т= Т, и предложение 5, (1») показывает, что семейство (ен)ц и порождает векторное пространство Т. Существование точки в Е, инвариантной относительно (у', показывает, что семейство (ец)ц м свободно (п'6, предложение 4).
(И1) Пусть а — единственная ипварнантная относительно Ф' точка в Е. Так как (ен)н — базис в Т и скалярное произведение есть невырожденная билинейная форма на Т, то существует, и притом только один, базис (ен)н в Т, такой, что (ен/ей) =бии, для Н, Н' из %. Каждая точка х из Е единственным образом записывается в виде х=/+ а, где хн.е;р и еи — вещественные числа. Для того чтобы н~м точка х принадлежала С, необходимо и достаточно, чтобы эта точка лежала по ту же сторону от любой гиперплоскосгн Н ен%, что и ец, т. е. чтобы число (1)ец) =$ц было строго положительным.
Отсюда следует (ШИ. ПРедложгние 8. Предположим, что группа Ф' — существенная, неприводимая и бесконечная. Тогда (1) В Е нет »»вариантных относительно )Р' точек. (И) Сагд % = бй1п Т+ 1 и существуют вещественные числа с» ) О, для которых хи' сц. ен = О. Если ~2~ сц. ец = О и-м »~и с какими-то вещественными числами си, то найдется вещественное число с, такое, ~то с)~="есн для всех Н из %. (ГИ) Камера С является открытым симплексом. Утверждение (1) следует из предложения 4.
Далее, ввиду существенности В' векторы (ен)ц„порождают Т. Имеем (е„(ен ) ( О для Н. Н'~% и Н Ф- Н' (предложение 3), а поскольку й1' неприводима, % нельзя разбить иа два не- пустых множества %' и %", таких, что если Н' ен%' и Н" ен %", то (ец ) ен:) = О. Поэтому можно применить лемму 5 из и'5. Случай 1) этой леммы исключен, ибо Ю" не имеет неподвижной точки и векторы ец линейно зависимы. Отсюда следует утверждение (И). Докажем (и). Пронумеруем стенки камеры С, скажем так: Ны Н„..., Ню и положим / =ец . В силу (И) векторы Гп ..., /е образуют базис пространства Т, поэтому гиперплоскости Нп ..., Нл имеют общую точку аз и существует базис (/и ..., /',) пространства Т, для которого (1 1/„')=б „.
Р о 3. ГРуппы пеРемещеиий, поРожденнь!е отРхжеииями 199 Далее, согласно (й), всегда найдутся такие вещественные числа с, >О, ..., сд>0, что Хо= — (с! ° 1! + ... + сд.гд). Так как вектоР Го оРтогонален гнпеРплоскости Н„то сУществует вещественное число с, такое, что Н, состоит из точек х=1+ а, в Е с (1((о)= — с. Каждая точка пространства Е однозначно записывается в виде х=1+а с 1=9!.1!+ ... +$д.1' и вещественнымн 9„..., ".д. Для того чтобы х принадлежала С, необходимо и достаточно, чтобы она лежала по ту же сторону от Н„, что и 1, 0(т(!1.
Это выражается неравенствами (! ~1!) > О, ... ..., (! !Гд) ) 0 и (1!(о)> — с илн, что равносильно„ол > О,... ..., ~д>0, с!Я!+ ... + сдзд<с. Здесь с>0, поскольку С непусто. Положим а = ао+ — Е для 1 ( Гн ( Й. Камера С состоит тогда из точек пространства Е вида ао+ + 2'„ Л .(а — ао), где Л, ) О, ..., Лд > 0 и Л, + ...
+ Лд < 1. е ! Поэтому С вЂ” открытый симплекс с вершинами ао, ..., ад. Ч. Т. Д. Замечания. 1)-Отождествим Е с Е, Х Е! Х Х Еп а ЕГ— с Ф'! Х ... Х В'„как это сделано в п'8. Тогда по предложению 6 камера С отождествляется с ЕоХС! Х ° ХСр где С вЂ” камера в Ер относительно множества гиперплоскостей 9р По предложениям 7 и 8 каждая из камер С„..., С, есть либо открытый симплициальный конус, либо открытый снз!Плекс. 2) Предположим, что группа ЯГ непрнводима и существенна. Если Н и Н' — две стенки камеры С, то и!нн =+ оо в том н только в том случае, когда ел= — е„(предложение 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
