Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть С, — множество х е Е, для которых (х (е,) > О при всех з еи 5. Наконец, отождествим )(Г (при помощи о) с подгруппой ортогональной группы 0(Е) евклидова пространства Е. Пеедложение 9. В предыдущих обозначениях )(Г есть подгруппа в 0(Е), порожденная отражениями относительно гиперплоскостей из 9.
Это существенная группа (э 3, и'7) и Сь — камера в Е относительно системы 9. Первое утверждение тривиально. С другой стороны, если вектор х ~ Е инвариантен относительно ((7, то он ортогонален всем е, и, следовательно, нулевой. Поэтому группа ((7 существенна. Наконец, изоморфизм Е-+ Е*, определяемый формой Вм, переводит С„в множество С из и'4. Доказанное там свойство (Р„) показывает, что для любого вы%' и любого з ен 5 множество в (Сь) не пересекается с Н,. Приходим к заключению, что Сь содержится в дополнении У объединения гиперплоскостей из 9, а поскольку Сь связно, открыто и замкнуто в Н, то это есть камера в Е относительно 9.
Ч. Т. Д. К йт и Сь можно, следовательно, применить все утверждения, доказанные в 3 3. В частности, Сь — фундаментальная область для действия группы )(7 на Е (иначе говоря, конус Н, определенный в и'6, совпадает со всем Е). Обратно, пусть Š— вещественное векторное пространство конечной размерности со скалярным произведением (х(у), и пусть )(т — существенная группа перемещений в Е, оставляющая О .неподвижным. Предположим, что ((7 порождена !2б ГЛ.
У. ГРУППЫ, ПОРП)КДЕНПЫЕ ОТРЛЖЩШЯМН Е отражениями. Пусть Сь — камера в Е относительно УР' (см. $ 3), а 5 — множество ортогональных отражений относительно ее стенок. Тогда (1Р', 5) — конечная система Кокстера ($ 3, и'2, теорема 1). Далее, обозначим через Н„з еи 5, стенку камеры С„соответствующую образу!ошей з, и через е, — единичный вектор, ортогональный к Н, и лежащий по ту же сторону от Н„что и С,. Если (Гп(з, зб)) — матрица Кокстера.
системы (1Р', 5), то предложения 3 и 7 из 3 3 показывают, что (е)е)= — соз( ( . ) и что е, образуют базис в Е. Таким образом, естественное представление 1Р' в Е отождествляется с представлением о из п'3. У. Случай, когда форма Вм положительна и вырождена В этом пункте мы предполагаем, что множество 5 конечно, система (1Р', 5) неприводима, а форма Вм положительна и вырождена. Леммл 2. Ортогональное ко всеиу Е по отношению к Вм пространство Еь имеет размерность 1. Оно порождено вектором о= .~~~ о,е, с о, > 0 для всех ж Биз Это следует из леммы 4, з 3, п'6, примененной к матрице формы Вм (е„е, ).
Пусть о = ~~'., о,е, — вектор, удовлетворяющий условиям Я леммы 2 и такой, что ~ о,=1. Пусть А — аффинная гиперплоскость в Е', состоящая из тех у'еи Е', для которых (о, у') = !. Если через Т обозначить ортогональное дополнение к о в Е', то А наделяется естественным образом структурой аффинного пространства с пространством переносов Т.
Далее, форма Вм при переходе к факторпространству определяет невырожденное скалярное произведение на Е/Еь, а значит, и на дуальном к нему пространстве Т. Тем самым получаем структуру евклидова пространства на аффинном пространстве А (Алг., гл. 1Х, 3 6, и'6). Пусть С вЂ” подгруппа группы 61.(Е), состоящая из автоморфизмов, которые оставляют инвариантными вектор о и форму Вм. Контрагредиентный к д еи 0 элемент 'д ' оставляет устойчивыми А и Т и определяет при сужении на А перемещение 1(д) пространства А (см. 6 3). Соверщенно очевидно„ что таким образом получается изоморфизм группы О на группу перемещений пространства А. Далее, в % !. ГГомвтРичвскос пРедстлвлснис ГРуппы кокстаРА гзт стабилизатор 6, точки а ен Л отождествляется с ортогональной группой гильбертова пространства ! и является, следовательно, компактньгм.
В то же время 6 — локально компактная группа, счетная в бесконечности, и А — пространство Бара, поэтому (Интегр., гл. ЧП, приложение 1, лемма 2) отображение гР: у д(а) определяет гомеоморфизм 616, на Л. Следовательно, 6 действует на А собственно разрывно (Общ. топ., гл. 111, 3-е изд., 5 4, и'2, следствие предложения 5). Поскольку й7 — подгруппа в 6, она отождествляется с группой перемещений пространства Л. Докажем теперь, что эта группа удовлетворяет предположениям $3.
Более точно: ПРвдггояспния ! О. Грг1ппа Ч7 с дискретной топологией действует на А собственно разрывно. Она порождена ортогональными отражениями. Она бесконечна, неприводима и существенна (з 3, и'7). Пересечение С!') Л есть камера в А относительно ))г. Если обозначить через 1ь гиперплоскость в Л, высекаемую на А гиперплоскостью в Е", ортогональной к е„то все 1., с з ~ 5 образуют семейство стенок для С() Л. Если е, — единичный вектор в Т, ортогональный к 1., и лежащий по ту же сторону от Ем что и С () Л, то (е,!е!)= — сов~ ' ) (для з, 1~3) и магриба Кокстера группы йт 5 3, п 4) совпадает с М. Согласно следствию 3 теоремы 1, группа Ят дискретна в 61.
(Е), а следовательно, и в 6 и собственно разрывно действует в Л. Пусть з ~5. Так как Сагб5) 2, то гиперплоскость в Е*, ортогональная к е„не ортогональна к о и ее пересечение 1, с А тоже будет гиперплоскостью. Таким образом, перемещение, соответствующее з, есть преобразование порядка 2, оставляющее неподвижными все точки гиперплоскости 1.,; это не что иное, как ортогональное отражение, ассоциированное с 1, Тем самым йт порождена ортогональными отражениями. Теорема 2 показывает тогда, что )у' бесконечна, а предложение 7 — что она существенна и неприводима.
Так как С вЂ” открытый симплициальный конус, стенками которого являются гпперплоскости с уравнениями (х*, е,) = О (для з ~ 5), то пересечение С П Л выпукло и, значит, связно, открыто и замкнуто в дополнении объединения гиперплоскостей Е, в Л. Далее, СИЛ непусто, потому что к*~С влечет (х', о) = ~ о, (х*, е,) ) О и (х', о) ' х' ен С () А. Отсюда ь следует, что С ПА является камерой в А относительно системы гиперплоскостей 1, Кроме того, пг(СПА) П 1.,= 0 юв гл. к гетппы, поеожденные отекжениями 9 для всех ю ен Я7 (см. и'4, свойство (Р„)), и поэтому С1) А— камера в А относительно системы, полученной при действии на гиперплоскости Е, всеми элементами группы Я7. Согласно следствию теоремы 1 из 5 3, п'2, отсюда следует, что С () А будет камерой в А относительно йт. Пусть теперь а",— вершина симплекса С() А, не лежащая на 1, Тогда (а,*, е,) = О для з, 1енЯ, зФ1, и (а,",е,)= о,'(п,', о)= и,'.
Пусть е, — вектор в Т, определенный соотношениями (е,1а,' — а)= и для 1~5, 1Фз. Вектор е, ортогонален к Е, и лежит по ту же сторону от 1.„ что и С Д А. Кроме того, (е,~а' — а",)=(е,, а',— а,'), каковы бы ни были з, 1ен5„ Это показывает, что е, — образ класса элемента е, при нзоморфизме Е1Е' на Т, определенном квадратичной формой Вм. Отсюда следует, что (е, ~е,) = В,ч(е„е,). Таким образом, е, является на самом деле единичным вектором, н последнее утверждение предложения 1О доказано. Мы скажем, что евклидова аффинное пространство А, снабженное группой йт, есть пространство, ассоциированное с матрицей Кокстера М, и обозначим его символом Л,н. Предложение 1О допускает обрашение: Пввдложвннн 11.
Пусть )Р— группа перемещений евклидова аффинного пространства А, удовлетворяющая условиям $ 3. Предположим, что В' бесконечна, существенна и неприводи.ча. Тогдп форма Вм, сопостпв.генная матрице Кокстера М группы %', вырождена и положительна и существует единственный изоморфизм ассоциированного с М аффинного прострпнствп Ам на А, ком.нутирующий с действием группы Чт. Этот изо.корфизм переводит скалярное произведение на А,н в некоторое кратное скалярного произведения ни А. Пусть С,— камера в А и Я вЂ” множество ортогональных отражении относительно стенок Сы Если ц, обозначает единичный вектор, который ортогонален гипсрплоскости 1чы ассоциированной с з, и лежит по ту же сторону от Ж„что и Сь ($3, предложение 3), то форма Вм обладает тем свой- 1 б б. ИПВАРИАИТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ шз ством, что Вм(е„е,)=(11,1тп) для з, 1~3.
Следовательно„ она положительна. Так как т1, линейно зависимы (й 3, п'9, предложение 8), то она вырождена. Таким образом, мы можем применить к М предыдущие построения. В тех же обозначениях, что и ранее, имеем (е. 1Еа) = (ч,! т(1), и сушествует, причем единственный, изоморфизм ф гильбертовых пространств, отображающий Т на пространство переносов в А, так что 91(в,) = ть. Пусть а и Ь вЂ” две различные вершины камеры С, и з,— отражение из Я, для которого ага М,.
Пусть, далее, А=(т1, ~ а — Ь) и ф — аффинная биекция пространства Ам на А, определенная формулой ф(а„+ х) = а+ о„Ьр(х) для х ~ Т. ОтсюДа сРазУ виДно, что ф(Е,) = 1та пРи всех з бн 3 и что переводит скалярное произведение иа Ам в некоторое кратное скалярного произведения на А. Тотчас приходим к выводу что, ф коммутирует с действием яу. Наконец, единственность ф очевидна, потому что а„например, есть единственная точка в Ам, инвариантная относительно отражений 1 бе я, Г Ф з. й 5. Инварианты в симметрической алгебре 1.
Ряд Пуанкаре градуированной алгебры Пусть К вЂ” коммутатнвное кольцо с единицей, отличное от О. Пусть М вЂ” градуированный К-модуль типа Е и ̄— множество однородных эпементов из М степени и. Предположим, что М„для каждого и есть свободный модуль конечного типа. Тогда ранг гдк(М„) определен при всех и (Ком. алг., гл. П, 9 5, и'3). Опзеделение 1, Если существует па~ Е, такое, что М„= О при п(пб, то Формальный ряд У> гдк(М„) Т", явл.яющийся а>аа элементом кольца А1 ((Т)), называется рядо,и Пуанкаре модуля М и обозначается символом Рм(Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
