Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда й с тг' с 5. По лемме 4 б!У(Ззгя) = йч (Т1зне), откуда йч (Зячл) = О. Предположим затем, что 11 — градуированная алгебра многочленов. Так как это в равной мере относится и к й' (поскольку 6' порождена псевдоотражениями), то по лемме 5 )т-модуль допускает однородный базис (ф,..., 1,1 ). Пустыу~ — — бей (Щ), Положим с1=бе1(ТГлчя((;1;1;11)) (Алг., гл. 1Х, э 2). Равенство йч(аяза) =0 показывает, что йч(с() =0 (Ком. алг.), а это означает, что д принадлежит К'.
Но, с другой ') Это означает, что для любого Е ги (1, 2, ..., а) канонический образ элемента а~ н кольце 5/(ла,+ ... +за ) не является делителем нуля в этом кольце. 4 ь инВАРиАнтй В симметРическОЙ АлГеБРе 14Я стороны, Тга !я Ц4(„1!) является однородным элементом степени д! + ди а д — однородным элементом степени 2 ~'" дь ! Таким образом, ~44=0, т. е. а!=0 для всех 4, откуда следует, что Н'=Д, а значит, по теории Галуа 0'= 6.
Тем самым доказано, что 6 порождена псевдоотражениями. Ч. Т. Д. Замечания. 1) В предположениях теоремы 4 произведение характеристических степеней алгебры Д равно д (формула (6), предложение 2, (ш)), и, значит, они взаимно просты с характеристической экспонентой поля К. Это дает утверждение, аннонсированное в п' 3. 2) Если не предполагать более, что порядок Сагд(0) обратим в К, то все еще (11) 4$(ш) (лемма 5) и (!!)=Р(!) (упражнение 8). Однако импликация (1)=р(1!) перестает быть верной (упражнение 9). ПРедложение 6.
Предположения и обозначения те же, что в теореме 4. Пусть Н вЂ” множество псевдоотражений в О, отличных от 1. Допустим, что Н порождает 6. Для любого у ен Н положим у (х) = х+ 1х(х) е, где е еи У, 1г ее У*. Положим 4э=Пе З. и (1) Дифферента алгебры Я над Рт является главным идеала.я 56. (В) Пусть в У выбран базис (Х„..., Х!) и Я отождествлена с алгеброй К[Х!, ..., Х!1. Пусть Р,, ..., Р! — однородные алгебраически независимые образующие алгебры Тг.
Тогда якобиан Х=де1~ — !) имеет вид ЛВ, где Л ее К". I дР41 ~дХ,) (ш) ~ (4!еп(Р!) — !) =Сагс$(Н). (1ч) Множество антиинвариантных элементов в Я совпадает с И). Утверждение (1) следует нз леммы 4. Утверждение (В) следует из того, что 34' является дифферентой алгебры Я над Я (Ком. алг.). Утверждение (ш) вытекает из того, что однородные многочлены 6 и У имеют одинаковую степень. Доказательство (!Т) таково же, как в и' 4 (доказательство предложения 5, этапы б) и г)), 146 ГЛ.
Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 9 6. Преобразование Кокстера В этом параграфе через )т будет обозначаться вещественное векторное пространство конечной размерности 1 и через йт — конечная подгруппа в б(. ()'), порожденная отражейиями и являющаяся существенной ($ 3, п' 7). На имеется скалярное произведение (х!у), инвариантное относительно %'.
Обозначим через $ множество гиперплоскостей Н в )Г, таких, что соответствующее ортогональное отражение зн принадлежит группе К. 1. Определение преобразований Кокстера Назовем упорядоченной камерой относительно 1(У пару, состоящую из камеры С, определенной системой чт, и биекцни ! э Н, множества (1, 2, ..., 1) на множество стенок камеры С ($3, и 9, предложение 7). Опгеделение 1. Преобразованием Кокстера, определенны.м упорядоченной камерой (С,(Н!),<(~(), называется элемент с =зи зн ... зн группы ))('. ! 2 Пгедложение 1, Все преобразования Кокстера сопряжены в )(У.
Так как йт переставляет камеры относительно ЯР транзитивно 5 3, п' 2, теорема 1), то нам остается доказать, что если (С, (Н!)(<,'<!) — упорядоченная камера и пеи(о(, то з зн ... з, и зн з„... з„сопряжены в ))т. Ввиду Н2 и! Ра! А(2! РЩ предложения 8 из $4, и' 8, это непосредственно вытекает нз следующей леммы: Леммк 1. Пусть Х вЂ” конечный лес, х Ру„— такое отображение Х в группу Г, что д„и дз коммутируют всякий раз, когда х и у не соединены в Х.
Пусть У вЂ” множество структур совершенных порядков на Х. 1(ля любого $ ~ У обозначим символом р2, произведение в Г последовательности элементов (д )„, определенной порядком е. Тогда элементы ре сопряжены в Г. 1) Проведем индукцию по п=Саг(! Х. Ввиду тривиальности случая и =! предположим, что и) 2. В Х существует конечная вершина а (гл. Г(1, дополнение, и' 3, предложение 2). Пусть Ьее Х вЂ” (а) — вершина, соединенная с а, если таковая существует; если же а не соединена ни с какой вершиной из Х вЂ” (а), то возьмем в качестве Ь произвольную вершину в Х вЂ” (а).
В любом случае д, коммутнрует с ух $6, пРеоБРАЗОВАние кокстеРА ыч для хчь Ь. Пусть порядок ЧБЕУ таков, что а — наибольший элемент в Х и Ь вЂ” наибольший элемент в Х вЂ” (а). Пусть 5У. Докажем, что р и р сопряжены. 2) Предположим сначала, что для порядка $ а — наибольший элемент в Х, а Ь вЂ” наибольший элемент Х вЂ” (а). Пусть Х' — целый подграф в Х вЂ” (а), являющийся лесом. Определим отображение х а', подграфа Х' в Г, полагая и'=д„ при х Ф Ь и й'=для,. Пусть $', 41' — сужения $, 41 на Х'. По предположению индукции р, и р, сопряжены. Но ясно, что р,= р,, р„, = р„, откуда в этом случае и следует утвьржденне леммы. 3) Предположим, что а — наибольший элемент в Х для 4.
Пусть Х, (соотв. Х,) — множество элементов в Х вЂ” (а) строго мажорированных (соотв. минорированных) элементом Ь. Пусть 1; — сужение Е на Хь Тогда Р4 Рькьрыва Ринькарье а этот элемент сопряжен с р4РБд,а,. Тем самым мы пришли к случаю 2), 4) В общем случае пусть Хз (соотв. Х,) — множество элементов в Х строго мажорированных (соотв. минорированных) элементом а.
Пусть $, — сужение $ на ХР Тогда р = рг й р — элемент, сопряженный с р р4 а, и мы при- 4 4 а Е, Еа 43 а' ходим к случаю 3). Из предложения 1 следует, что все преобразования Кокстера имеют одинаковый порядок Ь=Ь()Р). Это число называется числом Кокстера группы (Р". Замечание. Пусть (Р'и ..., Ю'„— конечные существенные группы, порожденные отражениями в пространствах Уп..., 1'; С~ — камера относительно 174, (Р' = (Р', Х ... Х Я7 — группа, действующая на Г, Х...
Х 1' . Тогда С, Х... Х С будет камерой относительно%'. Преобразования Кокстера группы (Р, определенные камерой С, записываются в виде произведений с,с,... с, где с~ — преобразование Кокстера группы чГП определенное камерой СР 2. Собственные значения преобразования Кокстера.
Показатели Так как все преобразования Кокстера сопряжены (и' 1, предложение 1), то у них будет один н тот же характеристический многочлен Р(Т). Пусть й — число Кокстера !48 гл. ч. ггэппы, погождннные отгзжепиями группы (Р'. Тогда Р(Т)= И~Т вЂ” ехр — ', '), где ап а„..., а, — целые числа, такие, что О » <а, (» аз (» ... (» а! < Ь. Опгнделение 2. Целые числа ап ам ..., а! называются показателями группы )г'. Пусть С вЂ” камера относительно 9, Нп .. „Н, — ее степки, Положим з~=зн.
Обозначим через е, единичный вектор, е ортогональный к Н, и лежащий по ту же сторону от Нп что и С. Согласно предложению 2 дополнения гл. 1Ч, можно предполагать Н, пронумерованными так, что е„е... е, и е,+и е,+,, ..., е! будут попарно ортогональзы. Тогд1 з) = = з,з, ...
з, — ортогональная симметрия относительно над- пространства У'=Н ПН,П... ПН„ з"=з,ч,з,+, ... з,— ортогональная симметрия относительно У"= Нгы П Н~,П... П Н и с = з'з" — преобразование Кокстера. Так как (еп ..,, е,)— базис У, то У вЂ” прямая сумма У' и У". Отсюда следует, во-первых, что 1 не является собствен- ным значением преобразования с. В самом деле, если с (х) = х для какого-то х ~ У, то з'(х) = з" (х).
Значит, вектор х — з'(х) =х — з" (х) ортогонален к У' и У" и поэтому равен нулю, откуда х = з'(х) = з" (х) еи У' П У" = (О). Таким обра- зом, О < а|(»аз<» ° .. <а~ < и. (1) Характеристический многочлен преобразования с имеет вещественные коэффициенты. Поэтому для любого 1 множиз!и ! тель Т вЂ” ехр входит в Р(Т) с той же кратностью, что 6 2!и (Ь вЂ” и!) и Т вЂ” ехр л Стало быть, а!+ аь,, !=6 (14;1<»1). (2) Складывая почленно равенства (2), получаем а, + аз+ ... + а!= — 1й. ! (3) Лиммл 2. Сохраним предыдущие обозначения и предположим, что группа Ят неприводима.
Существуют два линейно независимых вектора г', г", такие, что З Е ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОКСТЕРА 149 (1) Плоскость Р, натянутая на г' и г", устойчива относи- те.»ьно з' и э"; (й) з'|Р и з" ~Р будут ортогональными отражениями относительно йг' и йг"; (ш) г', г" ее С, и Р П С вЂ” множество линейных комбина- ций векторов г' и г" с коэффициентами )О. Пусть (е', ..., е') — базис в У, такой, что (е'~е!)=6!!. Тогда С является открытым симплициальным конусом, опре- деленным базисом (е') (5 3, п' 9, предложение 7). Ясно, что У' порождено элементами е'+', ..., е', а У" — элементами е', ..., е'.
Пусть д — эндоморфизм пространства У, для кото- рого д(е') = е„.... д(е') = еь Его матрица относительно (е', ..., е) равна ()=((е4~ е )). Имеем (е!) е!)(О ! Ф ! (3 3, и" 4, предложение 3). Поскольку И' неприводима, не суще- ствует такого разбиения (1, 2, ..., !) =7, (э7,, что (е!) е!) = — О для ю'е1! и /е— : 1,. Поэтому ($3, и' 5, лемма 4) 4;! имеет собственный вектор (а„..., а,), все координаты которого ) О.
Пусть а — соответствующее собственное значение. Положим я=а,е'+ ... + а,е', г"=а,е'+ ... + а,е'ее У" () С, г'=а,+,е'+'+ ... + а е'~У'ПС и возьмем за Р плоскость, порожденную г' и г". Тогда РПС будет множеством линейных комбинаций г' и г" с коэффн- циеитами ) О. Соотношение д(г) =аг дает ~~Р~ а!е! — — ~ аа4е!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
