Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Диффе1=! ренцируя равенство (1 — Т)14(т)=с) — П(1+ Т+ ... + Т ' ) 1 ! и полагая Т = 1, мы видим, что — 6(1) равно значению при Т=- 1 ряда 1 --:,(и 1=! = — ~~ (1+ 2Т+ ... + (01 — 1) Т~с в)= 1=! = Ц (1+ т+ ... + т" 1-'), 1Р1 откуда »=х"-." и, =(и,4х-~ Возвращаясь к равенству (17), имеем, далее Следовательно, (18) Ио элементы из О, оставляющие неподвижными точки дан- ной гиперплоскости, оставляют устойчивой прямую, допол- нительную к этой гиперплоскости (дополнение, предложе- ние 2), и, следовательно, образуют циклическую подгруппу 6' в 6 (см. Алг,, гл. Ч, $ !1, и'1, теорема 1). Пусть ! — поря- док подгруппы 6'.
Значения Х(д) для д еп 6' равны О, 0', ..., 0'-', где 0 — примитивный корень 1-й степени из 1. Имеем —,. +,, =1. Значит, 1 1 1-01 1 — 01 а! ) — — — (! — 1)= ~ Сагс((НП 6') 1 1 1 в ес в~! Из равенства (18) следует поэтому предложение. Замечание. В случае когда К= 11, 6 — группа Кокстера, а Н вЂ” множество отражений, принадлежащих О, элементы 4 4 а инВАРиА11ты В симметРическОЙ АлгеьРе 14! множества Н находятся, как известно ($3), во взаимно однозначном соответствии со стенками в У. ПРедложение 4. В предположениях и обозначениях теоремы 3 пусть К вЂ” поле характеристики чь 2.
Для того чтобы — ! Ен О, необходимо и достаточно, чтобы характеристические степени (Г„ ..., й1 алгебры Я были четными. Пусть [ — автоморфизм алгебры 5, продолжающий автоморфизм — 1 на У. Тогда !(Е) =( — 1)"г'г для любого однородного элемента г из 5. Поэтому в случае — ! еи О всякий однородный элемент нечетной степени в Я равен нулю и, значит, я1 четны. Обратао, если я1 четны, то любой элемент из Я инвариантен относительно ! и по теории Галуа — 1 еи О. 4.
Антиинвариантнме влементм Сохраняя предположения и обозначения теоремы 3, будем считать, что К вЂ” поле характеристики О. Элемент г из 5 называется антиинвариантным относительно О, если у(г)=(де!а) г для всех у ен О. Пусть Н вЂ” множество псевдоотражений из О, отличных от 1. Для любого у я Н существуют е ен У и !г ен У', такие, что у(х)=х+! (х)е, каков бы ни был хенУ. ПРедложение б. (!) Обозначим через Р элемент П е, гин в 5. Антиинвариантными относительно О элементами в 5 будут в точности элементы модуля НР. (й) Предположил1, что мы выбрали базис (Хн ..., Х,) в У и тем самым отождествили 5 с алгеброй многочленов К[Х1, ...„Х1).
Пусть (Р„..., Р1) — алгебраически независимые однородные элементы в 5, порождаюи(ие алгебру (теорема 3). Тогда якобиан л =4!е11 — ) имеет вид А,Р, (дР1 ! ! дХ11 где ден К'. а) В обозначениях утверждения (й) имеем др, Л др, Л ... Гт дР, = 1 дХ, Л дХ, Л ... Л дХН 142 ГЛ У ГРУППЫ ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ откуда при всех атее 6 Ю(У)(бе1У)НХ, Л ... Л Г(Х,= д(У)Й(УХ,) Л ... Л Г((дх,)= = д(ГУР, Л ... Л Г(Р) = Г(Р, Л ... Л Г1Р, = = ЫХ, Л ... Л Г(ХР Следовательно, У антиинвариантен относительно 6. Далее, поле отношений Уу' алгебры 5 есть расширение Галуа поля отношений Е ее подалгебры Й (и'2). Всякое дифференцирование б поля Е со значениями в некотором подполе 11 с М продолжается до дифференцирования поля 1У со значениями в о (Алг., гл. ЛГ, 5 9, предложение 5).
Так как у иас Р~ алгебраически независимы, то ГУР, Л ... Л йР, ~ О и, следовательно, У Ф О. б) Пусть е — антиинвариантный относительно 6 элемент из 5. Докажем, что е делится в 5 на 0. Пусть а — ненулевой вектор в (г. Элементы группы 6, оставляющие устойчивой прямую Ка, оставляют устойчивой и дополнительную гиперплоскость У. (дополнение, предложение 2). Для того чтобы элемент из 6, оставляющий устойчивой Ка, был либо 1, либо псевдоотражением вектора а, необходимо и достаточно, чтобы он индуцировал 1 на Е.
Стало быть, псевдоотражения вектора а, принадлежащие группе 6, образуют вместе с 1 циклическую подгруппу 6' группы 6. Пусть 1 — ее порядок. Существует базис (Х,, Х,) в )А, такой, что а = Хп Х, ~ У..., Х, я Е и можно отождествить с многочленом Р(Х„..., Х,) с коэффициентами из К. Равенство д(е)=(бе1у) е для нее 6' показывает, что Х, входит в Р(Х,, ..., Х1) с показателем, сравнимым с — ! по модулю й Значит, Р(Х„..., Х,) делится на Х~ =а Но с точностью до скалярного множителя 0 является произведением элементов а'-' для а енр, таких, что 1) 1, и эти элементы алгебры 5 попарно взаимно просты.
Так как 5 — факториальное кольцо, то г делится на О. в) Согласно а) и б) якобиан У делится в 5 на 0. Но бек У = ~ (й, — 1) = — Сагд (Н) ~=! (предложение 3), следовательно, Г(ед У = бед 0 и У = Л0 с Лен К. Так как У Ф О, то ЛееК'. Тем самым (В) доказано. г) В а) и в) мы убедились в антиинвариаитности 0 относительно 6.
Значит, при всех у ~ Ус элемент у0 будет антиинвариантен относительно 6. Наконец, если г ее 5 антиинвариантен относительно 6, то, как мы видели в б), существует у ее 5, для которого г = у0. Поскольку кольцо 5 целостно, у~1с. Этим завершается доказательство утверждения (!). л в а. инВАРиАнты В симметРическОЙ АлгееРе 143 б. Дополнения ') Леммх 4. Пусть К вЂ” коммутативное поле, У вЂ” конечно- мерное векторное пространство над К, 6 — конечная группа автоморфиэмов У порядка д, обратимого в К, 5 — сим.метрическая алгебра пространства У, й — подалгебра в 5, состоящая иэ инвариантных относительно 6 элементов.
Для того чтобы простон идеал )и* высоты ! в 5 был раэветвлен над )з=з4) П Н (Ком. алг.), необходима и достаточно, чгобГи существовали отличные от нуля элементы а ~ У и ) ее У", такие, что $=5а и псевдоотражение э, т принидлежиг 6. Группа разложения 9х (з~т) тогда совпадает с подгруппой элементов в 6, оставляющих устойчивым Ка, а группа инерции 9Т()р) — с циклической подгруппой Н, ~ 6, состоящей иэ псевдоотраженийв 6 вектора а. Поле классов вычетов 5(4') алгебры 5 по людулю 4 сепарабельно над полем классов вычетов Н (р) алгебры й по модулю р, и индекс ветвления е(яз/)з), на 1 больший показателя идеала 4 вдивиэорет)!у(Тзэм) дифференты, равен Сагб (Н,). Разветвленность 7 над Н означает, что его группа инерции 9гф) не сводится к единичному элементу. Иначе говоря, в 6 существует э.чемент д М 1, для которого д (г) — = г (Гпод 7) при всех г ее 5.
Так как 5 — факториальное кольцо, то з44— главный идеал 5а и а делит все элементы и(г) — г (г ~ 5). Ио для г ~ У эти элементы однородны степени 1 и не все равны нулю (потому, что д ~ 1). Следовательно, а должен быть однородным элементом степени 1, т. е. а ~У, поэтому существует линейная форма ! на У, такая, что у=э„р Обратно, если д — псевдоотражеиие э, р отличное от 1, то д(г)= г(гпод5а) для всех г ~ 5, и поэтому д принадлежит группе инерции простого идеала ф=5а. Тем самым доказано первое утверждение леммы и описаны 9г($) и 9т(+)- Известно, что степень по.чя классов вычетов [5(4!): К(Р)) делит Сагд (6) = д (Ком.
алг., гл. тг, В 2, и' 2). Так как д взаимно просто с характеристической экспонентой р поля К (а также поля 5(7)), то расширение 5(7) над К(р) сепарабельно. Установ.чено и равенство е(43/р) = Сагд (Н,) (Ком. алг.) Поскольку индекс ветвления е(дз!р) взаимно прост с р, показатель дивизора 7 в д!ч(За~я) равен е(йз!р) — 1 (Ком. алг.), чем и завершается доказательство леммы.
Леммл 5. Пусть К вЂ” коммутативное поле, 5 — градуированная К-алгебра многочленов и Н вЂ” градуированная ') В этом пункте используются результаты из находящихся в полготовке глав книси Колмутативноя алгебра. Мы отсылаем к ним сокращенным символом „Ком. алг." 144 ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ е подалгебра в 5. Для того чтобы 5 была градуированным свободны.и тт-модулем (А1д., с)тар. П, 3' ей, з 11, п' 2), необходи,но и достаточно, чтобы были выполнены следующие два услови.ч: а) тг — градуированная К-алгебра многочленов; б) если (а„..., а,) — система образующи.т К-алгебры гг, состоящая из однородных алгебраически независимых элементов, то эта система является 5-регулярной последовательностью '). В случае когда 5 есть й-модуль конечного типа, б) следует из а).
Доказательство см. в Ком. алг. ТРогемл 4. Пусть К вЂ” коммутагивное поле, 1г — конечно- мерное векторное пространство над К, 5 — симметрическая ал,лора пространства )г, 6 — конечная группа аегоморфиэмов (т и тт — подалгебра в 5, состоящая из инвариангных относительно 6 элементов. Предположим, что порядок д = Са Гб 6 обратим в К.
Следующие условия эквивалентны: (1) 6 порождается псевдоотражениями; (0) 5 — градуированный свободный й-модуль; (ш) тт' — градуированная К-алгебра многочленов. Эквивалентность (0) и (ш) вытекает из п' 2 и из леммы 5. Импликация (1)=)в(й) следует из теоремы 1. Покажем, что (ш)=)Р(1). Пусть 6' — подгруппа в 6, порожденная псевдоотражениями, принадлежащими 6, и пусть тт' — подалгебра в 5, состоящая из инвариантных относительно 6' элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
