Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 35
Текст из файла (страница 35)
длн / ~= 5 вусть Ег — подгруппа в ЕГ. порожденная з с Нгы/, н пусть е(/)=( — 1)~жз~П. Показать, что тогда 1 ~ч в (У) Сагд (йг) лы Сагд (йУ ) ' Уюл (Пусть (х ! у) — скалярное произведение иа У, инвариантное относительно йт, Х вЂ” единичная сфера в У, М вЂ” положительная мера на Е, нпварнантпая относительно йг и общей массы 1. Пусть У) — открытое Н полупространство, определенное стенкой Н ти 8 и содержащее С, и пусть Е = УУ П Х.
Справедливо соотношение ( — С)ПХ= П (Е-Е„), Ныл откуда ~ 1)У) р (С П е) = ~ Д (1 — Фе )бр )! е (/) р ( П Е ). Е Нм 3 /» 3 'кяе/ Сделать вывод, заметив, что П Е есть пересечение некоторой камеяы/ ры группы 27 с 2 и, значит, соответствующая мера равна 1/Сагб(йг ). Снова найти формулу (') при помощи упражнения 26, й) гл. 1У, з 1 (положить ! =! в тождестве, доказанном в этом упражвении). 0) а) Пусть К вЂ” коммутативное поле, У вЂ” векторное пространство конечной размерности а над К, у — симметрическая билинейная форма на У, У/ — ее ядро.
Предположим, что б!ш АГ 1. Показать, что ядро а-! продолжения ф на Л У имеет размерность а — 1, б) Пусть, далее, К =- 1( н форма ~р положительно определена. Пусть (еп..., еп) — базис в У и аг — ф(г, е ). Предположим, что а, (О при ! чь 1 и что (1, 2,..., и) не допускает разбиения 1()1, для которого а = 0 прн ! гв 1, ! щ /. Пусть А! — алгебраическое дополнение эле- Ц мента а! в матрице (а у). Показатзь что А >О, каковы бы ни были ! и У. (Пусть ~,е, + ... + слеп — вектор, порождающий Н н имеющий все координаты > О. Показать, что каждая строка и каждый столбец ма- трицы (А, ) пропорциональны (ьп..., („).
Вывести отсюда, что А! =!гь,.ь/, где ц — некоторая константа. Рассмотрев АГь показатГь что ц>0.) в) ПоказатГь что ьп .. „ьп пропорциональны )УАП, ..., У Апп. 7) Пусть д($Н ..., Е ) ~ а Е,.Е (а =а ) — вырожденная поло- П У жнтельная квадратичная форма на )(а с а ~0 при ! Ф 1. Предположим, что множество (1, 2, ..., а) не допускает разбиения 1()/, для которого аг 0 прн Уев/, )я/, а) Показать, что если $ =О, то получается невырожденная поло- жительная форма относительйо 21, ..., Ег ! й! !, ..., $и. б) Показать, что ан>О Дла любого !.
(Пусть ь1, ..., е„— элемент ЯдРа фоРмы У с Е, > О, ..., 1а > О. ВоспользоватьсЯ Равенством НД+ ... +ааСп=О.) УПРАЖНЕНИЯ й 4 161 в) Показать, что если мы заменим один из элементов а! на а..<а., г! |! то новая форма не будет положительной. (Воспользоваться равенством ацк!г! О ) !. ! 8) Пусть (а ) — вещественная симметрическая матрица с а строками и л столбцами. к а) Псло|ккя зг ~~р~ а! Каковы бы ни были РР ..., г щ 1(, вы ! | полпяется соотношение 1 а|ьь!Б = 1 гьг — — ~ а! (е — й )з, б) Пусть ",, ..., 1к Щ )г'. Положим ~~ ьга! =1 .
Тогда ! а йгйь=ЧР' — — —,'~'6.~.-.и ~ — — ) — ( — ) !ььь 1 ! $! гге(,~ г ) (заменить в а) й. пг г /ь! и а! на Б,Бга ). в) Если существуют числа ь„..., ьч = О, для которых ~~( а.„=О ! (й = 1, 2, ..., л), и если ам ~~ О пзз ! чь В то квадратичная форма ~„а $,.ьк положительна и вырождена (использовать 6)). пк г) Пусть х~г д кк,.а — квадратичная форма иа йк с а к,О при !тк!1 |, ! Предположим, что множество (1, 2, ..., и) не допускает разбиепил !В!, для которого а ! =О при !' щ! и ! щ У. Длл того чтобы форма была невырождениой и положительной, необходимо и достаточно, чтобы ие сУществовгло Ь! ) О, ..., Ьк) О, таках, что ~Ч'г~гдгг=О (Й= 1, ..., и) В упражнениях ниже (Б', 5) обозначается система Кокстера. Предположим, жо множество 5 конечно.
Его мощность называстсл рангом системы ()уг, 5). Отождествит| 1К с подгруппой в ВЕ (Е) при помощи а (см. и'3 н 4). 1) Пусть Ег — надпространство, ортогональное к Е относительно формы В . Показать, что Е' — радикал (Р'-модуля Е (Алг., гл. ЛП, 6 6, и* 2) и что Е/Ег — прямая сумма абсолютно простых попарно неизоморфиых модулей в кодичестве, равном часлу связных компонент графа систечы ()Р, 5). 2) а) Пусть Гм — множество экстремальных образующих конуса ю (С) и А — объединение Гм |г гы В'. Показать, что А с множеством 6 = = (Гм ( ю чи )р') образует ансамбль (гл.
1Ч, 6 1, упражнение 16). Показать, что отображение ! апартамента Аг, ассоциярованного с системой Кокстера ()Р, С) (гл. ПГ, 6 1, упражнение 16), на А, которое переводит точку ю)р'!'1 чы А, (для ю гм йг, г щ 5) в образующую ю (1(гг), есть изоморфизм Згк. Ы. Н. пурбанк 162 Гл. у. ГРуппы, НОРОжденные ОтРАженипми й ! Аз на А, совместимый с действвем группы йг.
Показать, что если шзш-), где ш ш йг, з а 5, то образ относительно / стенки Лг, определенной элементом ! (соотв. половиной апартамента Аз, определенной стенкой Ь!) (гам же), есть множество элементов из А, содержащихся в гиперплоскасти (соотв. замкнутом полупространстве), которая является обРазом пРи О*(ш) гипеРплоскости ез =0 (соотв. замкиУтого полУпРостранства аз~ )0 или ез (0).
б) Показать, что группа %' конечна в том и только том случае, когда существует элемент юзов йт, такой, что шз(С) — С. Этот элемент шз тогда оДнозначно опРеделен и имеет нанбольшУю длииУ в йт (воспользоваться упражнением 22 гл. !У, э 1). Доказать, что тогда 1( — а) = — 1(а) для всех а щ А, (упражнение 22, в), гл. !Ч, $ 1), в) Показать, что группа Ф' конечна в тои и только том случае, когда конус (Г, являющийся объединением замыканий конусов ш (С) для шщ)Р, совпадает со всем пространством Е'.
(Когда йт конечна, воспользоваться б) н выпуклостью (!. Когда (г' Е; рассмотреть элемент ы гы )и', для которого ш (С)()( — С) чь Я, и показать, что ш (С) = — С.) г) Пусть Š— конечная подгруппа в йг. Показать, что существует подмножество Х ~ 5, такое, что йг конечна и содержит подгруппу, сопряженную с В. (Провести индукцию по Сагб (5). Пусть х гм С и х = ч' Ь (х). Используя в), показать, что йг конечна, если х = О. Пря Зиы х ~ О существуют щ е йт и У г= 5, У Ф 5, такие, что ю(х) принадлежит С„(обозначения из п'6), откуда Н ~ ш-'йгучж Применить предположение индукции к у,) 3) Предположим, что система (йг, 5) неприводима. а) Показать, что коммутант йг-модуля Е сводится к гомотетияи.
б) показать, что центр группы йг равен (1), когда чг бесконечна или когда йг конечна, а ее элемент шс наибольшей длины (упражнение 2) ~ — 1. Если йг конечна и шз = — 1, то центром группы йг будет (!,шз). в) Показать, что любой элемент шть! группы йг, для которого ш5ш-' = 5, переводит С в — С (показать, что ш (ез) — е ~ снамзчг чала для какого-нибудь одного з гв 5, а потом для любого з а 5). Получить отсюда (упражнение 2), что такой элемент существует, только если %' конечна, и что тогда он совпадает с шз.
4) Допустим, что Сагб (5) =3. При зги 5 положим а(з) = т(а, э), где (и, п)=5-(з). Пусть А = ~ 1/а (з). Показать, что заэ а) если А > О, то форма Вм. невырождена и положительна (з каковом случае йг конечна); б) если А=1, то форма В положительна и вырождена; м в) если А < 1, то форма Вм невырождена и имеет сигватуру (2. 1) (Алг., гл. !Х, 2 7, и'2). Показать, что в случае а) порядок и группы йг задается формулой и 4/(А — 1) (воспользоваться упражнением 6 к з 3).
6)' Пусть А — подкольцо в )(, порожденное числами 2 сов (л/т (з. з')). Показать, что А является свободным 2-модулем конечного типа н что ыатрицы преобразований о(ш) для ш щ Яу имеют в качестве коэффициентов элементы из А. Получить отсюда, что коэффициенты характеристических многочленов преобразований чт(тз) являются целыми алгебраическими числами. УПРАЖНЕНИЯ 163 1] 6) а) Пусть т — целое число Ъ 2 или + еь. Показать, что утверждение «4 соз' — щ 2» эквивалентно утверждению «тщ(2, 3, 4, 6, 4-«о)», б) Пусть à — решетка в Е, т. е.
дискретная подгруппа в Е ранга, равного сйш Е. Показать, что если Г устойчива относительно йг, то целые числа т (я, я') при я Ф Г приналлежат множеству (2, 3, 4, 6, + со), (Заметить, что тогда Тг (и (ш)) гы 2 для всех ю ~м Гг'. Применить этот результат к ю = яя' и использовать а).) в) Предположим, что т (г, г) щ (2, 3, 4, 6, + оь) для я ~ 6 Семейство (хя), я положительных вещественных чисел называется радикальным.
если оно удовлетворяет следующим условиям: т(я,1)=3 =ух,=х,; т(я, Г)=4 ~х =У2 ° х или х =У2 ° хя; т(я, 1) =6 ='рх =]' 3 ° х нли х =) 3 -х; т(я, 1) =+ ьь=.='ьх =е, или х =2х, илн х =2х. Если (х,) — такое семейство, то положим а,=х»е,. Показать, что а,(а)=а — н(з. () а,, где н(з,() гм 2. Получить отсюда, что решетка Г с базисом (ая) я устойчива относительно Ю'. г) В условиях упражнения в) предположим, что граф системы (йг, 5) является лесом.
Показать, что тогда существует по крайней мере одно радикальное семейство (хя). (Провести индукцию по Сагб (5)). Применить предположение индукции к 5 — (я,], где я, — концевая вершина графа 5.) д) В условиях упражнения в) предположим, что граф системы (йг, 5) является циклом. Пусть и, (соотв. н,) — число ребер этого графа (я, 1] с коэффициентом т(з, (), равным 4 (соотв. 6).
Показать, что для существования радикального семейства необходимо и достаточно, чтобы оба числа н, и иь были четными. Показать, что если это условие не выполнено, то вообше ие существует никакой решетки в Е, устойчивой относительно йг. (Если 5 (яи..., я„] и вершина яг соединена с яг+1 при ! «((««и — 1, а я„соединена с яи то положим с=я~ ... я„и заметим, что Тг(п(с)) не является целым числом). 7) Пусть система (йг, 5) неприводима, а форма Е положительна.
а) Показать, что для всякого подмножества Т ~5, отлачного от 5, группа йг является конечной (воспользоваться теоремой 2, а также леммой 4 из $3, п' 6). б) Показать, что если Сагб (5) )~3, то все лг(я, я') конечны. в) Предположим, что йг бесконечна. Показать, что при Т ~ 5, Т Ф 5 группа п(Ю' ) оставляет устойчивой некоторую решетку в Й . Получить г отсюда, что если Сагб(5))3, то все т(я, я'), я Ф я', принадлежат множеству (2, 3, 4, 6) (воспользоватьси упражнением 6). 8) Пусть ящ5 и шщ йг.
Показать, что при 1(шя))1(ш) (соотв. 1(шз) <1(ш)) элемент ш (е,) является линейной комбинацией с коэффициентами ~)0 (соотв. «О) векторов ег для (еи5. (Применить свойство (Р„) из п' 4 к ш ' и рассуждать от противного.) 9) Показать, что пересечение подгрупп конечного индекса в йг состоит только из 1 (использовать упражнение 6), Получить отсюда, что 164 ГЛ.
Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 4 4 существует подгруппа конечного индекса группы йт, не содержащая никакого элемента конечного порядка, кроме 1 (использовать упражнение 2, г)). $10) Пусть 0 — замкнутая подгруппа в ОЕ(Е), содержащая Чг. Предположим, что 0 унимодулярна (Икгегр., гл. ЧП, $1, л' 3). Пусть Π— полупрямая в Е», лежащая в С, и пусть 6 — стабилизатор 0 в О. и а] Пусть Л вЂ” множество элементов дгн 6, для которых у(Р) сС. Показать, что Л открыто, устойчиво относительно умножении справа на 0 и что композиция отображений Л -ь О -ь йт!О инъективна, где йг)0 — однородное пространство правых смежных классов 6 по йт. б) Пусть р — мера Хаара на О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
