Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Вывести отсюда, что Т /. где е„ = (О, 1, ..., л — 1), и что Т инвариантен относительно С,. в) Обозначим через е (1~(/~ л-!) последовательность (О, 1...,, » — 1 /г /+1... л) и положим У/= —, (см. 6)). Показать, что элементы У/ Т принадлежат /7 и что бее(У») = Ел — »/. » » » г) Пусть Ю =К(Х!, ..., Х„,), и пусть Т, У», ..., Ул з — элементы в 8', определяемые так же, как Т, У„..., У„, (с заменой л на л — 1) Пусть Д Ю-» 3' — гомоморфнзм, определенный соотношениями !(Х») =Х» (1 (/~л — 1), !(Хз) О Показать, что !(Т) О, 7(У») =Т, ((У») =У/ ! для 2 ~/(л — 1. д) Показать, что семейство (Т, У„..., У„,) удовлетворяет условию (1ч) упражнения б.
(Пусть х (х,, ..., х„) — нуль системы, !Т, У„..., У„,) в некотором расширении К поля К. Так как х аннулирует Т, то х удовлетворяют по крайней мере одному нетривиальному линейному соотношению с коэффициентами в К. С точностью до преобразования х при помощи элемента из О, можно, следовательно, считать, что х„ = О.
Закончить доказательство, используя упражнение г) и проводя индукцию по л.) е) Показать, что /7» =К(Т, У„..., 1'„,] и что Т, Уь ..., У„ алгебрзически независимы („теорема Диксона" ). (Применить д) и упражнение б. заметив, что порядок группы С, равен бей(Т)=~бее(У/).) е) Показать, что /! =К(Тч ° У» ' Ул-»1. * »(( 7) *Пусть /7 — регулярное локальное кольцо (Кодс алг.) с максимальным идеалом ш и полем классов вычетов й, Пусть 0 — конечная группа автоморфизмов кольца /7 и /г» =А» — подкольцо инвариантнык 0 относительно 0 элементов. Это локальное кольцо с максимальным идеалом ш'= ш() /!'. Выполнены следующие условию (!) кольцо /7' нетерово, а кольцо /с является /Т-модулем конечвого типа; (!1) сложное отображение /!'-ь /7-ь й сюръективно.
Положим У = ш/ш'. Это векторное й-пространство. Действие группы С на /! определяет гомоморфизм е: 0-ь СЕ ()г). з) Пусть р — простой идеал высоты 1 в /7 (Ком. алг., гл. У!1, й 1, п'6), и пусть элемент з ы С таков, что з(р) = р н 5 тривиально УПРАЖНЕННЯ действует в К/р. Показать, что з(з) — псевдоотражение в У. (Заметить, что образ идеала р в п1/п1з имеет размерность 0 или 1.) б) Показать,что если К' регулярно, то подгруппа в(0) в О Е (У) поро.
ждена пссвдоотраженнями.(Пусть Н вЂ подгруп группы О, порожденная элементами, образы которых при а являются псевдоотражениями, и пусть Н вЂ” подкольцо в Н инвариаитвых относительно Н элементов. Показать Н с помощью а), что никакой простой идеал высоты 1 в 1г' не разветвлен в Д~. Используя тот факт, что кольцо 1гН целозамкнуто, вывестн с помощью теоремы '), что К = Н и тем самым Н = О,) Н в) Предположим теперь, что порядок группы 0 взаимно прост с характеристикой поля й.
Показать, что отображение в инъектнвно. / I Пусть (из) — фильтрапия в Н, нндуцированная и-адической фильтрацией (п1п) кольца Н, н пусть 1; йг ()У) -ь йг (К) — канонический гомочорфизм градуированных колец, ассоциированных с Н' и )г (Ком. алг., гл. П1, э 2). Показать, что гомоморфизм 1 инъективен и что его образ совпадает с нодкольцом йг (й) в йг (О), состоя- 0 щим из иивариантиых относительно 0 элементов. г) Сохраним обозначения и условия упражнения в) и предположим, кроме того, что подгруппа а(0) порождена псевдоотражениями. При ! = 01щ У пусть Рь ..., Р! — однородные алгебраически независимые образующие й-алгебры яг (Н) (такие элементы существуют по теореме 4 ввиду того факта, что йг (К) отождествляется с симметрической алгеброй пространства У).
Пусть р, ..., р — их степени. Согласно в), можно 1' ''' l найти к; щ ш, для которых йг(х;) = Рп Показать, что х; порождают Р,' идеал и' и вывести отсюда, что 1г' регулярно. „ !1 8) * Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство над полем К, 3 — симметрическая алгебра пространства У и 0 — конечная подгруппа в ОЕ(У). Предположим, что алгебра 5 симметрических инварнаптов 0 относительно 0 есть градуированная алгебра многочленов. а) Пусть и — элемент дуального к У пространства У" и 0„ — подгруппа в О, состоящая из элементов, переводящих и в себя. Показать, что 0„ порождена псевдоотражениями.
(Линейная форма и продолжается до гомоморфизма )з. 5 -ь К, Локализация Зи кольца 5 относительно ядра гомоморфизма (з является регулярным кольцом. Закончить рассуждение, применив упражнение 7, б) к подгруппе Оз, рассматриваемой как группа автоморфизмов кольца Зз.) В частности, О порождена псевдоотражениями. б) Пусть А — подмножество в У" и О = Й 0 .
Показать, что 0 А пыл порождена псевдоотражениями. (Расширяя, есчи нужно. основное поле, можно считать К бесконечным. Показать, что тогда в линейной оболочке множества А в У* существует элемент и, для которого О = Ол. Применить к и утверждение а).)ь 9) Пусть У вЂ” векторное пространство размерности 4 над конечным полем К характеристики, отличной от 2, и пусть 14 — невырождевная квадратичная форма на У индекса 2 (Алг., гл. 1Х, $4, и'2). Пусть ') А и з 1 е и д е г М., Оп Уйе рцп!у о! 1Ье Ьгапсй !оспа, Аглег. У.
МаМ., ВЯ (1962), 118-!25. 174 ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 4 а 0 = 0(О) — ортогональная группа формы (4. Эта группа конечна и порождена отражениями (там жс, 5 6, и'4, предложение 5). а) Пусть Š— максииальное вполне изотропное подпространство в К и 0 — подгруппа в 6, состоящая из элементов и, таких, что и (х) = х Е для всех хеиЕ.
Показать, что С изоморфна аддитивной группе поля К и не содержит псевдоотражений. б) Показать, что алгебра симметрических инвариантов группы С не является градуированной алгеброй многочленов (поспользоваться предыдушим упражнением). В следующих ниже упражнениях (за исключениеи упражнения 3) обозначения и предположения такие же, как в 4 Б. !) Предположим, что группа йг неприводима. Пусть с — преобразованне Коистера группы йг, à — подгруппа в йг, порожденнаи с, и Ь вЂ” множество единичных векторов, ортогональных элементам нз 9.
Показать, что Г обладает 1 ороитаии в 9 и что хаждая из этих орбит содержит й элементов. (Рассуждать так же, как при доказательстве предложения ЗЗ, гл. Ъ'!, й 1, п'!1.) !! 2) Предположим, что группа йг неприводима. Пусть С вЂ” камера относительно %7, (УХР . „ Н ) — ее стенки, ег — ненулевой вектор, ортотональный к Н. Предположии, что векторы е, ..., с (соотв. е„+Р..., с ) попарно артаганальны (см.
и'2). Для любого игы2 определим Н„и аа следующима равенствами Н = Н, если и ма й (юоб 1), и с =зн . и ь' а ни а) Показать, что элементами множества 9 служат з,з, ... за — ~Н» 1й лля и=1, 2, ..., —. 2 ' б) Пусть з'=а ... з и з" з ... з таковы, что с=а'з" есть ! '' г г+! ''' преобразование Кокстера, ассоциированное с упорядоченной камерой С. Пусть юь — элемент из йт, переводящий С в — С (си. 5 4, упражнение 2).
Показать, что если й нечетно, то а-! А-! в) Пусть В=(зн ..., з1). Пара (йг, 5) есть система Кокстера. Обозначим через 1 (ю) длину элемента гс~ йг относительно о' (гл. !Ч, $1. и'!). Показать, что 1,(з)-П 1з(8")-1-г, 15(с)=1. Вывести отсюда, что в предположениях упражнения б) И вЂ” 1 й — 1 1,(юа)(г+ — 1 и 1з(гсо)~(1 — «+: й1 Показать, с другой стороны, что 1 (ю ) = Сагб (9) — (воспользоваться 3 а 2 упражнением 22, гл. !'У, $1). Вывести отсюда, чта г = — и что 2 (а!, зз, ..., агь)з) — пРиведенное разтожение элемента ю .
а' г) показать, что если й четко, то (з!, ..., зга)з) ЯвлЯетсЯ пРиведенным разложением элемента юа = с ' (метод тот же). УПРАЖНЕНИЯ Г!б з( 3) Пусть К вЂ” коммутативное кольцо, Š— снободный К-модуль с базисом (ен..., ез) и (,, )1 — элементы дуального к е пространства. Положим а,! — — ! (е.). При 1 ~~ з (~! пусть з — пссвдоотражение е 1' е! (э 2, упражнение 1). Тогда з,(е ) = е! — а е! Положим с=з ...з и а =с(е) а) Для 1~(1, й~(1 положим уз =з! ... зь (е ) и уз =з! ... эз, (е!) у,'. э Далее, у,=ез и уз=в!, Показать, что ь-! э у — у! =а уь.
Получить формулы е; =у + ~~ аэ,уэ, е(1 а =у — ~а зу. ь '! б) Пусть С вЂ” матрица преобразования е относительно бааиса (е,). Пусть 0 = (и !) и )е = (о !) — матрицы, определенные соотношениями ~ аз, если зч,1, О, если ! С!', и о О в противном случае; з! ( а в противном случае. з! Матрица !+ У обратима и имеет определитель 1. Показать, что С =(! — )г) (1+ Ъ') Вывести отсюда, что бе! (Л! — С) = де!((!з — 1)1+ У+ Л0).
Иначе говоря, (Л вЂ” 1) + ан Лаы Лам (Л вЂ” 1) + азз Лазз азз (Л вЂ” 1) + азз Лан Лаз! Лаз! аю бе! (Л1-С)= а„ а аю " (Л !)+аи ал ° =П . амх в) Пусть Г=(1, Я) — граф с множеством вершин ! =(1, П н множеством ребер Я, состояшим из таках пар (1, !) элементов множества 1, что либо аз чь О, либо а эь О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
