Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 37
Текст из файла (страница 37)
б) Пусть 6 — ортогональнан группа формы В, а 6 — такая же лг' о группа формы п(В ). Пусть 6„— подгруппа группы 6, состоящая из элементов, у которйх матрицы относительно (е,) имеют коэффициенты в А. Показать, что 6 отождествляется с дискретной подгруппой в 6 Х 6, а' а затем, используя а), показать, что 6„является дискретной подгруппой группы 6. в) Показать, что йг — подгруппа конечного индекса а 6 А' г) Доказать аналогичные результаты для других графов упражнения 15 (поле ()()У5) заменяется полем !4(г'2)), за исключением графа в конце упражнения 18 и графа ') Ч! 20) Для любой пары (з, з'! из Я с т (з, з') = со пусты (з, з') — вещественное число ~ — 1.
Введем иа Е билинейную форму В„такую, что В (е, е,,)=В„(е,,е,,)= — соз, . если гл(з, з') Ф со; В (е,, е,) =г(з, з'), если т(з, з') = с . Определим так же, как для В, отражение и вектора е, оставляю;цее 5 3' иивариантной форму В,. а) Показать, что существует, и притом только один, гомоморфизм пд %' — ь 6(, (В), такой, что аг (дз) совпадает с определенным выше отражением а,. б) Показать, что утверждения предложения 4 теоремы 1, ее следствий и леммы 1 остаются справедливыми и для и,. ') Как показал Э. Винберг, группа В',соответствующая этому последнему графу, не является „арифметической" подгруппой группы 6. То же верно и для некоторых других графов гиперболического типа (иа этот аз некомпактных), а именно для последней четнеркн из упражнения 1б.
Первый пример такого рода был построен В. С. Макаровым, ДАН. 187 (1955). № 1, 30 — 33. — Ред.) УПРАЖНЕНИЯ 1б9 1) Описать алгебру симметрических инвариантов конечной днэдральной группы (для ее канонического представления размерности 2 см. з 4, п'2). 2) Пусть А — кольцо главных идеалов, Š— свободный А-модуль конечного ранга 1 и 6 — конечнаи подгруппа группы ОЬ(Е). Предположим, что выполнены два следующих условии: (П Если а = Сагб (О), то элемент д.! кольца А обратим; (и) группа 0 пора'кдена псевдоотражениямн модуля Е (т. е. такими элементамн з, что (з — 1) (Е) будут моногенными подмодулячи модуля Е, сц. 4 2, упражнение 1).
Пусть 5(Е) — симметрическая алгебра модуля Е, н пусть 5(Е) подалгебра этой алгебры, состоящая нз ннвариантных относительно 6 элементов. Показать, что при всяком гомоморфизме А в поле й алгебра 5(Е) ®й отождествляетсн с 5(ЕЭ!) . Применяя теорему 4. получить а отсюда, что 5(Е) является градуированной алгеброй многочленов над А. 1) 3) Пусть К вЂ” поле характеристики нуль, У вЂ” векторное К.пространство конечной размерности 1 н 0 — подгруппа группы ОЕ (У), порожденная псевдоотраженнямн. Положим д = Сагб (О). Обозначим через 5 (соотв.
Е) симметрическую алгебру (соотв. внешнюю алгебру) пространства У, а через х (соотв, х') канонический образ элемента х !в У в 5 !соотв. в Ц. а) Пусть Е=5(б)Л вЂ” тензорное произведение алгебр 5 и Л. Показать, что существует однозначно определенное дифференцирование с( алгебры Е, такое, что а!х = х' и Ых' = 0 для любого х зц У, б) Пусть 5 — алгебра симметрических инвариантов группы 0 и а Р,...„Р! — однородные элемевты в 5а, такие, что 5 =К(Рп ..., Р1). а Для любого подмножества 7 =(1ь ..., !г) интервала (1, 1) приз, <... <1г положим в =ЫР ...1(Р Показать, что в1 линейно независимы над 5 и что они принадлежат подалгебре Е инвариантных относительно 6 элементов в Е.
Получить а отсюда, что для любого в щ Е существуют а, с чц 5а с а Ф а, такие, что ав = ~~ с в 1 1 в) Показать, что любой элемент из Еа, содержащийся в 58 ЛУ, имеет внд с. МР, ... г(Р1, где с щ 5а, (Применить предложение 3.) г) Показать, что в образуют базис 5а-модуля 5а. (В обозначениях 1 упра кнення б) умножить обе стороны соотношения ав = ~с в на в 1 и применнть в). Установить, что если множество 7 дополнительно к Е то а делит с.
Отсюда следует') тот факт, что в порождают Еа.) г 1 1 !) Подробности можно найти в статье: 5 о! о щ о п 1., 1пчаг1ап1з о1 Пп!!е ге!1есНоп цгопрз, ргадора Ма(й. Е 22 (1933), бу-б4. !Тб ГЛ. У. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ $5 д) Пусть Зл (соотв. (лл)-однородные компоненты степени л(соотв. лг) алгебры 5 (соотв. Е). Положим а (Х, у) = ~ЧР~ а„, гл«лул', гь т,эе Используя г), доказать формулу "=П"" '.,' 1 — Х г где р; = деп (Р!). е) Пусть Тг„, м (л) — след автоморфизма пространства Е„.
эь определенного элементом я ги О. Положим Тг (Х, У) (я) = ~ Тгл, м (й) Х"Уль л, лг>Е Показать, что Т„ (Х у) ( ) бе!(! + УЛ) бе1(1 — Хл) ' е) Пусть д= Сагд О. Показать, что Тг(Х, У) (л) =а(Х, У). т. е ! ! ~т де! (1+ Уя) П1' ! д ~ бе!(1 — ХЛ) = И яма г=! ( Использовать следующий результат: если О векторном пространстве Е, то размерность ! %ч инвариантных относительно С. равна — аты Лма +у,х'! ' 1 — «! действует.на конечномерном пространства векторов в Е, Тгг(й). Что дает эта формула прн У = Оу ж) Для любого целого Р) 0 пусть Нр — множество элементов л щ С, допускающих ! в качестве собственного значения кратности р.
Пусть йл — — Сагб (Нр). Доказать формулу и,; АРТР=Ц(р! !+Т) Р О г=! (В формуле упражнения е) заменить У на — 1+ Т (1 — Х) и в полученном выражении положить Х = 1. Если и щ Нр, то Тг (Х, У) (а) становится равным ТР.) $4)' Пусть О, =Я.з(рз). а) Показать, что О, — простая неабелева группа порядка 168, содержащая 21 элемент порядка 2. б) Показать,что степенями неприводимых комплексных представлений группы О, являются 1, 3, 3, б, 7, 8. УПРАЖНЕНИЯ !?1 в) Пусть р: 6, — и ОЬз (С) — неприводимое представление степени 3 группы 6, ').
Показатзь что для элемента уев 6! порядка 2 имеет место равенство Тг(р(у)) = — 1. Получить отсюда, что — р(у) — отражение, г) Пусть 0 — подгруппа группы ОЬз(С), порожденнаи элементами — р (у) для любого у порядка 2 нз О,. Показать, что группа 6 изоморфна О, дс (1, — 1) и, следовательно, имеет порядок 336. Д) Похавать, что хаРактеРистические степени йн йм й, алгебРы сим- метрических инварнантов группы 0 равны 4, 6 и 14.
(Воспользоваться со- отношениями Ц й! = 336 и ~я~~ (й! — 1) = 21.) с) Показать, что 0 не является группой Кокстера., б) *Пусть К вЂ” поле, и пусть 5=К[Х!, °, Хл) — градуированная К-алгебра миогочленов, порожденная алгебраически независимыми одно- родными элементами Х; степени ) О. а) Пусть У,, ..., Уч — однородные элементы степени ) 0 в 5, и пусть Л = К [У„ ..., У„[ — подалгебра в 5, порожденная этими элемен- тами. Доказать эквивалентность следующих свойств: (!) (У„ ., „ У„) есть 5-регулярная последовательностзн (й) 5 цело над Кй (й!) идеал в 5, порожденный (У,...г, У„), имеет конечную коразмер- ность в 5; (!У) для любого расширения К поля К система уравнений Уг(ль ... хз) = 0 (1 (~ ! ~ (л, л! !ы К) имеет только тривиальное решение (О, ..., 0).
(Эквивалентность (!) фф (ш) следует из теоремы Маколея (Ком. а.юг.); (ш) б-.ф (!У) — из теоремы о нулих (Ком. алг., гл. Ъ', э 3, и'3, предложе- ние 2); эквивалентность (й) фф (й!) тривиальна.) Показать, что если эти свойства выполнены, то У; алгебраически не- зависимы над К и 5 — свободный )
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
