Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Показать, что если р (Л) конечна, то подгруппа 6 компактна. (Пусть К вЂ” компактная окрестность еди- О ницы, содержащаяся в Л. Показат1ч что существует конечное число таяня злемеитов Ь гм 6, что любое множество вида КЛ, где Ь гм 6, пересекается с одним нз КЬ. Получить отсюда, что 6 содержитси в объединении множеств К ° К ° Л! и, следовательно, компактно.) в) Пусть т — ненулевая положительная мера на ЯГ)6, инвариантная относительно О. Показать, что если т(ЕГ16)<ил, то подгруппа 6 компактна. $ 11) Пусть Н вЂ” подмножество в )(л, состоящее из точек х= = (хе, ..., х„—,), в которых форма В (х) «о+ х1+ ' + хл-! 2 2 2 строго отрицательна, и пусть РН вЂ” образ Н в проективном пространстве Р„ !()().
Пусть 0 — ортогональная группа формы В. а) Показать, что РН вЂ” однородное пространство группы 6, что стабилизатор некоторой точки в РН компактен и что 0 действует на РН собственно разрывно. б) Пусть м н Я вЂ” дифференциальные формы на Н, заданные формулами п-1 ю = ~к~~ ( — 1) хгбха Л ... Л бх1 ! Л бх1+! Л ... Л Ихи Я= ( В (х))л!2 ' Показать, что 0 — прообраз относительно канонической проекции гс Н -«РН' некоторой дифференциальной формы () на РН. Показать, что положитель- ная мера ч, ассоциированная с формой Р ()гаг.
б!11и Еез., 2 рагОе) иввариаитиа относительно 6 и едниственна с точностью до скалярного множителя, в) Пусть С вЂ” открытый симплициальный конус в Ел с вершиной О (з 1, и' б). Предположим, что С содержится в Н, и обозначим через РС образ С относительно отображения я; Н вЂ” ь РН. Показать, что если л ~)3, то т(РС) < оо.
(Отождествить РН с подпростраиством в )1" ', состоящим л-1 из векторов (хо ..., х„ ,) с х х! < 1, и определить меру, соответству!очи 2 1=! шую мере т иа этом подпростраистве,) Показать, что РС относительно компактно в РН в том и только том случае, когда С содержится в Н. 1( 12) Предположим, что форма х. у= В (х, у) левмромдзла и что 1)Р бесконечна. Отождествим Е с дуальным пространством Е' при УПРАЖНЕНИЯ 1бб помощи В, В частности, обозначим через (е,) базис в Е, дуальный базису (з,), и через С вЂ” внутренность снмплнцнальиого конуса С, порожденного всеми е,.
Пусть Π— ортогональная группа формы В , и пусть (ь — мера Хаара на О. Группа О является унимодулярной н содержит группу йт. а) Показать, что если т (йт(О) < со (где ч — мера, инварнантная относительно О). то форма В имеет сигиатуру (и — 1, Ц, где М и = й(щ (Е) = Сагй (5). и что х.х<0 для всех хгы С. (Пусть х В С вЂ” вектор, для которого х.х Ф О, и пусть Ьх — гнперплоскость, ортогональная к х.
Используя упражнение 1О, показать, что сужение формы В на Ьх либо положительно, либо отрицательно. Во втором случае форма В„имеет снгнатуру (1, л — 1); показать, что это невозможно. Получить отсюда, что х.х<0 для любого хщС, откуда х. х<0, так как конус С открыт.) б) Обратно, предположим, что В имеет сигнатуру (а — 1, 1) н х. х<0 для всех хщ С (в этом случае говорят, что группа йт, равно как и система (йг, 8) и соответствующий граф Кокстера, имеет зиаерболичесхий гиа).
Пусть Н вЂ” множество х щ Е, для которых х . х < О, и пусть И+ — связная компонента множества Н, содержащая С. Г!оказать, что Н вЂ” объединение непересекающихся компонент И+ и Н = — И+ и что Н содержится в симплициальном конусе, порожденном (е,) д (использовать тот факт, что Н обратно к Ие).
Показать, что Йэ н Н устойчивы относительно йт. в) Сохраним обозначения н предположения упражнения б). Пусть ) — линейная форма на Е, определенная равенствами ((е*) = 1 дли всех з зн 5. При х гы Н положим ф(х) =) (х) /(х.х). Если РН вЂ” образ конуса И в проективном пространстве Р(Е), то функция ф определяет функцию ф на РН. Показать, что отобрзженяе ф:РИ ) —,О) является собственным. Получить отсюда, что для всех х щ Н+ функции щ»"» ф (ы . х) и щ»"» ! (ю . х) имеют максимум при некотором щ, из йг (использовать тот факт, что группа О действует собственно разрывно на РН (см. Упражнение 1!) и что группа 07 днскретна в О).
Показать. что зти свойства эквивалентны тому, что ю,(х)тм С. Вывести отсюла. что С () Ит является грдндаменгальной областью для действия йг в Н+ и что образ этой фундаментальной области в РН имеет конечную меру относительно инвариантной меры ч в РН (воспользоваться упражнением 1!). Заключить отсюда, что т(((т!О) < со, Показать, что йт(О компактно з том и только том случае, когда С содержится в И+, т, е, когда е,.е, <О для всех зщ 5 (мы скажем тогда, что группа йт, равно как система (07, 5) и соответствующий граф Кокстера, имеет компактный зипепболический тиа), 1( !3) Показать, что для того чтобы система (йт, 8) имела гиперболический тип (см, упражнение !2), необходимо и достаточно, чтобы были выполаены слелующне два услонин'. (Н!) форма В неположительна; (Н ) для любого подмножества Т ~ 5, отличного от 5, форма В,м бр ассопнированная с системой Кокстера (йтг, Т), положительна Рбб ГЛ.
Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ $4 (Если система (В', 5) гиперболического типа, то, как мы видели, (ез,ез)~(0 для любого а~5 — в обозначениях упражнения 12. Сужение В „на гиперплоскость В(з), ортогональную к е, будет поэтому ) О. Так как Е(з) порождена всеми е, ! чь з, то мы получаем (Н ).
Обратно, предположим, что (Н,) и (Нз) выполнены. Пусть х = ~к~~ азез — элемент 5 из Е, для которого х. х< 0, и пусть х+ (соотв. х ) — сумма тех а,е„ для которых а,) О (соотв. <~0). Показать, что тогда либо к+. хх <О, либо х . х — < О. Если (г — открытый симплицнальный конус, порожденный всеми сп н Н вЂ” множество х ~м Е, таких, что х. к< О, то существует связная компонента Нз множества Н, пересекающая )г.
Используя (Нз), показать, что Н, ие пересекает стенок конуса )г, т. е. Нз г: )г, Получить отсюда, что форма В (х, р) невырождена и имеет сигнатуру (и — 1, 1) и что С содержится в — Вм откуда следует, что (Ог, 5) имеет гиперболический тнп.) 14) Показать, что для того чтобы (ОУ, 5) имела компактный гиперболический тнп (см.
упражнение !2), необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий: (Н,) форма В „ неположительна; (НС) для любого подмножества Т ~ 5, отличного от 5, группа (ЕГ конечна (т. е. форма Вм!Г> положительна н невырождеиа). (Использовать упражнения 12 и !3.) В частности, система Кокстера гиперболического типа ранга 3 имеет компактный гиперболический тип в том и только том случае, когда все пг(з, з') конечны (см.
упражнение 4). 1( 13) 'а) Показатгь что следующие девять графов ') имеют компактный гиперболический тип и что с точностью до изоморфизма имн исчерпываются все графы ранга 4, обладающие этим свойством (использовать классификацию, данную в гл. ЪЧ, $4): ЕЙЙЙ б! Тот же вопрос в случае ранга б приводит к следуюп!нм пяти гра!Рам: 5 4 5 з ~5 ') В этих графах каждое ребро, не снабженное числовой отметкой, имеет на самом деле коэффициент 3 (см.
гл. !Ъ', $1, п'9). хппаж!!пыия 16т в) Показать, что не существует графов компактного гиперболического типа и раяга ~ ~6. 16) * Показатгч ранга ) 4, хотя бы изоморфеи одному ранга 4): что любой граф Кокстсра гиперболического типа и одно ребро которого снабжено числовой отметкой 6, из следующих одиннадцати графов (некомпактных и 6 6 ~~ 6 6 б 6 17) 'Показать, что гиперболическими графами Кокстера наивысшего ранга будут следующие три (у них ранг равен !0): ч( !8) предположим, что система (й!', 8) гиперболического типа и что )Р оставляет устойчивой решетку Г в Е. Пусть 0 — ортогональная группа формы В „и 0 (Г) — подгруппа элементов я ен О, для которых яГ = Г.
Показать, что 0 (Г) — дискретная подгруппа группы О. Показать, что йг — подгруппа конечного вндекса в 0 (Г) (использовать тот факт, что мера пространства Иг!О конечна). * Показать, что если сверх того (Ж', 5) — система компактного гиперболического типа, то соответствующай граф Кокстера изоморфен одному из следующих (использовать упражнения 4, 6 н !5): Показатгч что все гРУппы, соответствУющие гРафам в УпРажнении Гб (за исключением последних четырех), оставляют устойчивой некоторую решетку (воспользоваться методом упражнения 6)., 158 ГЛ. Ч.
ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕЫИНМИ $4 !9) Пусть (йг, 5) — система Кокстера, соответствующая графу б Это система компактного гиперболического типа (см. упражнение !5). Коэффициенты формы В относительно базиса (е ) принадлежат подкольцу А поля К = () (У5), состоящему из элементов этого поля, целых над Е. а) Пусть и — погружение поля К в ((, которое отображает ) 5 г= в — г 5. Показать, что образ п(В „) формы В при погружении и является невырождеиной положительной формой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
