Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 34
Текст из файла (страница 34)
! Значит, с"У'= — 1, поскольку с — полупростой автоморфизм пространства т' (Алг„гл., 1Х, в "у, и' 3, предложение 4). Дополнение ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ Следующее предложение служит обобщением предложе-. ния 13 из гл. !, 5 3, и'8: Предложение 1. Пусть К вЂ” коммутативное поле, А — не.которил К-алгебра, (т и йт — два левых А-модуля, которые являются векторными пространствами конечной размерности над К. Если существует расширение Е полл К, такое, что (А ЭкЕ) модули (т ЗкЕ и )р'ЗкЕ изоморфны, то и А модули (т и Ю изоморфны. а) Предположим сначала, что Š— расширение поля К конечной степени п.
Будучи изоморфными как (А ®кЕ)-модули, (т ®кЕ и )р' ®кЕ изоморфны и как А-модули. Но как А-модули они изоморфны (т" и Ж'" соответственно. Далее, У и В' суть А-модули конечной длины. Следовательно, )т (соотв. ))т) — прямая сумма некоторого семейства (М'с) ~<~~р (,) соотв. (тч', ) ) подмодулей, причем М, (соотв. )ч') уже р~1 не разложимы, а два М; (соот. Л';) с различными индексами не изоморфны (Алг., гл. Ш, $2, теорема !). В таком случае 1'" (соотв. Ф'") — прямая сумма подмодулей М, 1 (соотв. Ф"'!). Приходим к заключению (там же), что р=у и что с точностью до возможной перестановки Ф~ модули М, изоморфиы Л/ь а пт, равны пз; для 1(1(р. Следовательно, 1т изоморфен ))т. б) Пусть теперь К вЂ” бесконечное поле, По условию $' и Ф' имеют одинаковую размерность иад К. Пусть (е,),<, (е(), <, .
— базисы в (т и йт над К, (аь) — базис алгебры А над К. Изоморфизм и: )т ЭкЕ-+ йг Э„Е есть Е-линейное биективное отображение, которое в то же время является (А З» Е)-гомоморфизмом; иначе говоря, выполнено следующее условие: ахи(е~) и(аье) для любых Х и Е (1) ДОПОЛНЕНИЕ. О ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ 155 / / Положим а„е,=~У, е, а е, '=,с,УА! еп где У„и и У,'„, пРинадлежат К, и и(е,) =~5„е!, где $! принадлежат полю Ь.
! Условие (1) принимает внд лг ~!!ул!А = Х ул!!тг!А ! (21 с произвольными 1л, 1, я. По предположению система линейных однородных уравнений (2) имеет решение ($!!) Ее Е такое, что бе1($л!) Ф О. Поскольку коэффициенты системы (2) принадлежат полю К, то, как мы знаем (А1у., СЬар П, 3' ед., ~ 8, и'б, предложение 6), эта система допускает нетривиальные решения и в К . Пусть Š— векторное надпространство в М (К) =К, не сводящееся к О и состоящее из указанных решений.
Пусть (с!),<!< — базис а Е. Положим ($ц!) = = ~ т1!е! для любой матрицы (~!!) Вн Е. Тогда бе1 (;-;!) ! является многочленом Р(п„пг, ..., Йр) с коэффициентами в К. Кроме того, известно (там же), что решения системы (2) в Ь имеют вид ~~!с„на этот раз с !!~Е. 1лля одного такого решения де1(В!!) равен Р(Г„..., Гр). Коль скоро это так, то в случае Р(п„..., пр) =О прн произвольных и!, ..., Чр ее К коэффициенты многочлева Р ' были бы равны О, поскольку К бесконечно. Мы имели бы тогда Р(1,!, ..., ~р) = О для любых ~„..., ~ ~ Е, что противоречит предположению.
Таким образом, мы можем найти матрицу (ьи) ее Е, для которой де1(3!!) Ф О, н соответствующее отображение У- В' будет нзоморфизмом. в) Об!ций случай. Пусть 1! — алгебраически замкнутое расширение поля Е и Кь — алгебраическое замыкание поля К в 1?. Тогда по предположению у Экл) и (Р'Эклг будут изоморфными (А Зкл))-модулями. Так как К, бесконечно, то„ согласно б), изоморфны также (А З„КВ)-модули У ЗХКВ и ))т ЭкКИ В обозначениях из б) система (2) обладает решением (гл!)Ее К„, для которого де1(~!!) Ф О. Но $!! принадлежат одному и тому же алгебраическому расширению К, конечной степени над К. Значит, (А ЭкК!)-модули (т ЭкК, и %7 ЗкК, изоморфны, и мы получаем из а) то, что нужно ПРедложение 2 (Машке).
11усть А — кольцо с единицей, Š— левый А-модуль, Р— его прямое слагаемое, 6 — конечная группа порядка д, р — линейное представление 6 в Е 156 ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ Предположим, что элемент у. 1 обратим в А и что модуль Р устоичив относительно О. Тогда в Е существует дополнение модуля Р, устойчивое относительно О. Пусть р — проектирование Е на Р. Для любого х~Е положим )(х)=у ' Х р(я) 'р(р(я)х). Имеем !(х)енр н !(у)=у для всех уев Р, поэтому ) тоже является проектированием Е на Р. С другой стороны, если 1яО, то рЯ)(х)= д ' Х р(яг ) р(р(я)х)= =д ' 2'„' р(я) ' р(р(я1)х) = Я~о =1(р(1) х) Значит, ! коммутирует с р(О), так что Кег), дополнительное к Р в Е, устойчиво относительно О.
Следствие. Пусть Π— конечная группа порядка д, К вЂ” коммутативное поле, характеристика которого не делит у. Тогда групповая алгебра группы О над Т( является полупростой. Действительно, по предложению 2 любой модуль над этой алгеброй полупрост. ПРедложение 3. Пусть А — коммутативное кольцо, М— Л-лчодуль, Π— конечная группа, действующая на М, и А' — Л-модуль.
Предположим, что порядок д группы О обратим в А. Пусть Ма — множество инвариантных относительно О элементов модуля М. Тогда канонический гомомор4изм Мо ЗАА' в М ЗАЛ' определяет изоморфизм М ЗАЛ' на модуль (М ЗАА')о инвариантных относительно О элементов в М ЗА А', В самом деле, пусть 9 — проектирование М на Мо, определенное равенством ()(х)=д ',',Р, у(х) для всех х ~ М гмо Если 1 — каноническое вложение Мо в М, то О о! — тождественное отображение Мо на себя.
Следовательно, (1ч З 1А) ° ((З 1А) — тождественное отображение модуля Ма ЗАА'. Так как АЗ 1А — — У ' ~ (У Э 1А), то обРазом е~о дополнение, о'линвиных пввдстхвлшпиях 157 ~'З 1л является (М З А')о. С другой стороны, по сказанному выше ~ ® 1л инъективно. Замечание. Предыдущее предложение применяется особенно часто тогда, когда А' есть А-алгебра. В этом случае Мо ЭлА' будет А'-подмодулем модуля М ЭлА'. УПРАЖНЕНИЯ 1) Пусть К вЂ” коымутатнвное кольцо с единицей, Š— А-модуль и Е' — дуальный к нему модуль. Обозначим через р канонический гомоморфизм ыодуля Е® Е* в Епд(Е). а) Назовем псеедоотражением в Е любой отличный от 1 элемент из Епб(Е) вида з„„( — ю (х Э у'), где х~ Е и у ~ы Е". Такой элемент з называется отражением, если можно выбрать х н у*, связанные соотношением (х, у') =2.
Показать, что тогда за = 1 и з (х) = — х. б) Пусть х се Е, у*ее Е таковы, что (х, у') =1, н пусть з — отражение, соответствующее паре (2х, уз). Показать, что Е является прямой суммой подмодуля К», порожденного элементом х, и ортогонального дополнения Н к у'. Показать, что Кх — свободный модуль с базисом х и что з равно 1 на Н и — 1 на Кх. 2) В тех же обозначениях, что н в упражнении 1, показать, что бе1(з„з.) =1 — (х, и'), если Š— свободный К-модУль конечного типа. 7 3) Пусть У вЂ” номплексное гильбертово пространство с базисом е, ..., е.
Для ! ( ! ( ! пусть з, — унитарное псевдоотраженне вектора е (з 2, и !), такое, что з (е!) = с,.е, где е ~ 1. Элемент пространства У инварнантеи относительно з в том н только том случае, когда он ортогонален к е. Пусть йг — подгруппа группы ОВ(У), порожденная г всеми з. а) Пусть ! — целое число ~)1. Показать, что любой элемент прог странства Л У, инвариантный относительно йг, равен нулю. (Провести индукцию по е, Если У' — векторное подпространство в У, порожденное еи ..., е и и если е — ненулевой вектор, ортогональный к У, записать ! каждый элемент пространства Л У в виде а+(Ь А е) с аев lт У' и г-1 Ь ~ы Л У'.
Если а+ (Ь Л е) инвариантен относительно йт, то а и Ь будут инвариантны относительно группы йу', порожденной з,..., з! и н которой можно применить предположение индукции.) б) Предположим, что группа йт конечно. Показать, используя а), что для всякого эндоморфизма А пространства У имеют место соотношения де1(А — ы) = Сагб 12') . бе' (4), мые' де1(! — Аш) = Сагд (1г'). кпрлжыш пня Вывести отсюда, что длн любого А гы Епб (У) существует элемент ю ш Яг, такой, что Аш не имеет ненулевых неподвижных точек. в) Пусть à — граф с множеством вершин (1, 1) и с ребрами (1, )), где г, 1 таковы, что ег и е) неортогональны. Показать, что У является простым Яу-модулем тогда и только тогда, когда Г связен и нецуст.
с г) Пусть У вЂ” простой Яг-модуль. Показать, что Яг-модули Л У (0(1~(1) будут простыми. (Показатьь что существует такое целое число 11 что граф à — (/) связен. Провести индукцию по 1 и применить предположение индукции к подпространству У; порожденному векторами еь г зь /.) Показать, что эги модули попарно нензоморфны '). 1) Прн введенных в и 1 обозначениях н условиях показать, что камеры относительно Яг являются открытыми симплексами в том и только том случае, когда ЯГ бесконечна и неприводима, Показать, что Е1(У компактно тогда и только тогда, когда Яг — произведение бесковечнык неприводнмых групп. 2) Пусть У вЂ” вегнествениое векторное пространство конечной размерности со скалярным произведением, г" — конечная подгруппа ортогональной группы простравства У,порожденная отражениями, Л вЂ дискретн подгруппа в У, устойчивая относительно г", Яг — группа перемещений пространства У, порожденная подгруппой г" и переносамн на векторы из Л.
Пусть 9 — множество гнперплоскостей Н в У, таких, что з гы р Н Пусть Р— множество элементов из Л, ортогональных элементам из 9, а) Длн того чтобы 1У была порождена отраженинмн, необходимо и достаточно, чтобы )г порождало Л. б) В Кз со скалярным произведением ((х, у), (х, у)) ь-ы хх + уу пусть УЗ '1 / 1 УЗ') е,=(1, 0), ез=( — —, — 1, ез 1 — — — — 1, лр ((еь Р— диэдральная группа, порожденная зл, Л вЂ” дискретная подгруппа в Кз, порожденная еь — подгруппа, которая устойчива относительно Р. Показать, что Яг не порождена отражениями. 3) Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство конечной размерности н Яг — конечная подгруппа в О).(У), порожденная отражениями.
Показать, что любой элемент порядка 2 в Я) есть произведение отражений, принадлежащих Яг и коммутирующих между собой. (Провести индукцию по гйш У, воспользовавшись предложением 2.) 4) Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство конечной размерности, Яг — конечная подгруппа в ВЕ(У), порожденнан отражениями, гэ — элемент из Яг, У' — устойчивое относительно ш векторное подпространство в У и й — порядок сужения ш ) У' элемента ш на У'. Показать, что существует элемент х ш )У порядка й, оставляющий 1" устойчивым и такой, что х ) У' = ш ) У'.
(Пусть Я" — множество элементов группы Яг, оставляющих неподвижными точки в У'. Эта группа порождена отражениями, и ш переставляет камеры относительно ЯУ'. Вывести отсюда, что существует элемент й зп Яг', такой, что шй оставляет устойчивой некоторую камеру относительно Ф'. Показать, что можно положить х= шй.) ') Это упражнение, нигде не опубликованное, иам сообщил Р. Стейнберг, 160 ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ за 1( 5) Пусть У-конечиомерное вещественное векторное пространсзво, 1У вЂ” конечная подгруппа в ОЕ (У), порожденная отражениями, С вЂ” камера относительно )р и 5 — множества ее стенок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
