Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Отсюда и следуют наши утверждения. в. Инварианты конечной линейной группыг свойства кольца Теорема 3. Сохраняются предположения и обозначения теоремы 1. В множестве систем образующих идеала Я+ ~ Я, состоящих из однородных элементов, выберем минимальный элемент (аи ..., аг). Пусть и, — степень аь Предположим, сто и, взаимно просты с характеристической экспонентой поля К. Тогда ! = днп и', аг порождают К-алгебру П и являются алгебраически независимыми над К.
В частности, Я вЂ” градуированная К-алгебра многочленов степени трансцендентности ! над К. условие, наложенное на Ьь излишне, но оно и не является стеснительным при применении к конечным группам Кокстера, поскольку тогда К= м. См. к тому же и'5, где будет даво другое доказательство теоремы 3.
Теорема 3 следует из предложения 2, (1) теоремы ! и следующей леммы: Лемма !. Пусть К вЂ” коммутативное поле, Я вЂ” градуированная К-алгебра многочленов и Я вЂ” градуированная подалгебра конечного типа в Я, такая, что В-модуль Я допускает базис (гь)аж а, состоящий из однородных элементов. В множестве систем образующих идеала Яв в В, состоящих из однородных элементов, выберем минимальный элемент (ан .., и,). Предположим, что при всех ! степень йг элемента аг взаимно проста с характеристической экспонентой р поля К.
Тогда а; порождают К-алгебру Я и являются а.ггеброически независи,ными над К. Согласно предложению 7 из Алг., гл. 11, 5 11, и'4, условие, наложенное на ао эквивалентно тому, что они однородны и ик образы в векторном К-простраистве Д+/(Р+)з образуют базис этого пространства. Это условие инвариантно относительно расширений основного поля. Поэтому мы можем свести все ь случаю, когда поле совершенно. Семейство (а„..., аз) порождает алгебру В по предложению ! из Ком. алг., гл. 1П, $1. и'2. Будем рассуждать 1ЗЕ гл. ч. ггзппы, погождснныв отложениями з от противного и предположим, что это семейство алгебранчески зависимо над К.
!) Мы хотим показать сначала, что существуют семейства Ф) ~;<г (М~ь<т (~а)~<~<., ~~з<, однородных элементов из 3, обладающие следуюшими свойствами: для любого 1, в не все 8, равны нулю; бедуа) О для любого й; г а~ — — ~ дну„для любого 1; ь=1 ~~~ й,ды — — 0 для любого й. 1 ! (7) (8) (9) (10) где переменным хн ..., х, приписываются надлежащие степени т~ ) О.
Пусть 0„— частное дифференцирование по хь в 5. Положим с(,,=/г,. В„(а,). Тогда равенство (10) справедливо, ибо его левая часть равна 0~(Н(он ..., аа)). С другой стороны, положив у, = т,хн ..., у„=т,х„мы прн помощи равенства (5) из и'! получим (9). 2) Пусть й — идеал в К, порожденный элементами йь Существует подмножество Х в (=(1, 2, ..., з], Пусть Х„..., Х, — переменные. Рассмотрим на К[Х„... ..., Х,] структуру градуированной алгебры, полагая сте- пень Х, равной йь В К[Хо ..., Х,] существуют однородные ненулевые элементы Н(Х„..., Х,), для которых Н(ан .., ..., а,) =О.
Выберем Н так, чтобы его степень была мини- мальной. Следовательно, если дН/дХ, Ф О, то многочлен дН/дХ~(ан ..., а,) является ненулевым однородным элемен- том в К, Если р ~ 1, то Н не может быть формой Н~~ с Н, ен К[Х„..., Х,]. Положим тогда дН й' дХ (а„..., а,). дН Так как К совершенно, то многочлены — ~[Х„..., Х,] не все равны нулю (Алг., гл. Ч, 5 1, и'3, предложение 4). Условия„наложенные на Фь наделяют теми же свойствами элементы йь Далее, 5 отождествляется с градуированной алгеброй многочленов К[х„..., х,], з А а инВАРИАИТы Б СИмметРичесКОЙ АлГеБРе !37 РУ= Х УУА (!~У вЂ” У). (1 1) 1~1 С учетом (1!) формула (10) переписывается в виде Х (!у~ УУм + Х уууу(уь) =О. (12) Положим иуА = БУу, + ~'., у11111А.
У~У вЂ” У (! 3) Тогда ~'., руиуА =О. (14) УеУ Запишем иы — — ~~'., бмАгю гДе буАА пРинаДлежат )г. Соотношение (14) влечет равенство ~~'., рубуАА — — 0 для любых й и Л. УЫ1 Если бы один из элементов бмА имел ненулевую однородную компоненту степени О, то предыдущее равенство означало бы, что какой-то элемент ~у(У(У) есть линейная комбинация других, что противоречит минимальности (31)1 Поэтому бм енЯ+ и, следовательно, иуь вне„.5 при всех у и й.
Таким образом, найдутся иуААеи5, для которых иы=- ~~'.~, иуААаА, или с учетом (13) л у(уе+ с~ ууУБУГА —,'~~ пУААаА. 1~1 — 1 А=У (13) и Умножим обе части равенства (15)ГА на уь н при фиксированном у из У проведем суммирование по я (Й = 1, 2,..., Г).
Ввиду (9) находим а, +,:У УУУаУ вЂ” — ~ ~ иУА Уьаь. 1~1-1 А 1 А=! Возьмем однородные компоненты степени й, обеих частей равенства. Поскольку бек уь > О, ау является 5-линейной комбинацией ау с !' ~ 13 Так как модуль 5 свободен над У7 н аи ..., а,ен Уг, то на самом деле а1 будет Я-линейной такое, что (!11),. будет минимальной системой образующих идеала Р. Прн этом У ~ Я, поскольку Р Ф О. Мы хотим получить из равенств (9) и (!0), что если уенУ, то ау есть Я-линейная комбинация элементов ау для)Ф1. А это противоречило бы минимальности системы (аи ..., а,) и заканчивало бы доказательство.
Существуют однородные элементыуг,в Уг (У ~У, У ез У-У), такие, что )зз ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРА)КЕНИЯМИ з комбинацией а) с ! Ф !. (Ком. алг., гл. 1, $ 3, и'3, предло- жение 9, б)). Следствие. В предположениях и обозначениях теоремь( 3, произведение характеристических степеней алгебры 1Г равно Сагб (6). Действительно, Гдя (5) = Сагб (6) (формула (б), и'2). Характеристические степени алгебры 5 равны 1.
Поэтому следствие вытекает из предложения 2, (и) в и'1. Лез(мк 2. Лусть К вЂ” ко,имутативное поле, !т — коне«номерное векторное пространство над К, 5= 6У 5„— симмел)О трическая алгебра пространства (т, з — эндоморфизм у' и з(") — каноническое продолжение з на 5„. Тогда в колы(е К[[ТЦ степенных рядов от одной переменной Т вь)полнено соотношение Х Тг(з(л)) Тл=(бе!(1 — зт)) л=ь Расширяя основное поле, мы можем предполагать, что К алгебраически замкнуто. Пусть (е„..., е„) — базис в !т, относительно которого матрица зндоморфнзма з является нижней треугольной, и пусть )(„..., Л, — диагональные элементы этой матрицы. Относительно базиса (е((!) ...
е((л)! )! И)+ ... +((л)=л в 5„, упорядоченного лексикографически, матрица эндоморфизма з(л) будет нижней треугольной с диагональными элементами М~ ) ... к,"~. Поэтому Тг(з' )= ~~ !и( ... л„(), ! (П+ ., +)(Г)=Л и, значит, ~~", Тг(з(")) Т" = р~'~.",Т" ~чз, !~Т" ... ~ ~.,"Т" =(1 — к,Т) (1 — Х,Т) ... (1 — !„,Т) = (бе! (1 — зТ)) Леммл 3. Пусть К, !т и 5 — объекты из леммы 2, 6— коне«ная группа автоморфизмов пространства 1'„д — ее порядок, (г — градуированная подалгебра в 5, состоящая из инвариантных относительно 6 элементов. Предположим, что К имеет характеристику О.
Тогда рядом Луанкаре алгебры !г будет д ' ~~ (()е!(1 — уТ)) ге а 5 Б, ИНВАРИАНТЫ Е СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ )39 Действительно, эпдоморфизм 1= г) ' ~ у<"' является еев проектированием Я„на )с„, так что Тт(1) = д!пгхЯО. Поэтому рядом Пуанкаре алгебры,Ч будет д-' ~ ~~(Т нг.)Т", о' =!г и достаточно применить лемму 2. ПРедложение 3. В предположениях и обозначениях теоремы 3 пусть Н вЂ” множество псевдоотражений в 6, отличных от 1. Пусть К вЂ” поле характеристики О. Тогда Саго( (Н) = ! -Х(йг-1). ! Согласно предложению 3 дополнения, мы можем предполагать поле К алгсбраически замкнутым.
Пусть Л,(д), ... ..., Лг(д) — собственные значения произвольного элемента д ~ 6. Так как все и ~ 0 диагонализуемы (дополнение, предложение 2), то д=! в том и только в том случае, когда все Лг(д) равны 1, а де= Н в том и только в том случае, когда число Лг(д), равных 1, есть ! — ! (Мы обозначим тогда через Л(п) собственное значение, отличное от 1). Согласно предложению ! из п'! и лемме 3, справедливо соотноп ение (г Ц (1 — Т г) = У, (де1(1 — дТ)) (!6) ! ! ее о в К[[Т)], а значит, и в К(Т). Следовательно, в К.(Т) имеем (! — т)'-' ! + кч ! кч (! — т)'-' ! — т + ЛЫ ! — Л(е) т + Г.г г)ог(! — Лт) Ц()- ") г=! что переписывается в Риде в — Ц()+т+ " +т"! ') г=! (! — т) Ц (! + т+ ...
+ т" ') г=! (! т)! — ! 1 ! — Л (Е) т лй~ г(е! (! — ггт) е~в ЕЯ!, ЕРЬЯ Видно, что г) — Ц(1+ Т+ ... + Т~! !) равно нулю при г=! Т= 1, поэтому г) = !о!!го ... йг, что мы уже знаем из следствия 140 ГЛ Ч С'РУППЫ, ПОРОЖДЕИИЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 3 теоремы 3. Заметив это, обозначим, далее, через г)(Т) многочлен (1 — Т) ' (с — П(1+ Т+ ... + Т ' ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
