Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть М' — другой градуированный К-модуль типа У и (М'„)„— его градуировка. Предположим, что М„' равно нулю для всех и, меньших некоторого числа. Тогда Рмем'(Т) = Рм (Т) + Рн'(Т), (1) и если снабдить М ®кМ' полной градуировкой (Алг., гл. П, 3-е изд., 3 11, и'5), то Рмвм (Т)=РМ(Т)Р (Т). (2) 5 За», бк Н. Втрбама !зо ГЛ. У. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРЛЖЕНИЯМР! ! Пнвдложвние 1. Пусть 5 = 9 5„— коммутативная гра- а~О дуированная К-алгебра, которая допускает систему обраэуюи!их (хн хм ..., х ), состоящую иэ однородных алгебраически независимых элементов, и пусть й! — степень х!. Предположим, что й! > О для всех !.
Тогда Ю„будут свободными модулями конечного ранга над К и Рэ(Т) = и (1 — Т~Г~) !=! Действительно, 5 отождествляется с тензорным произведением К(х!! !Э К(хе) Э ... 8 К(х ), снабженным полной градуировкой. Ряд Пуанкаре модуля К(х!] совпадает с ~, "Т"'=(1 — Т') ', ь>О и остается применить (2). В условиях предложения ! будем говорить, что о — градуированная К-алгебра многочленов. Слгдствне. Степени й! с точностью до порядка определеньс алгеброй 5. Действительно, обратным рядом к Рэ(Т) является многочлен )!!(Т)=Ц(1 — Тг!), который тем самым однозначно ! ! определен. Если д — целое число) 1 и Г", ~ С вЂ” примитивный корень в-й степени из 1, то кратность корня ~ в !У(Т) равна числу тех й!, которые кратны д.
Это число равно нулю для достаточно больших д. Число й! равных д тоже однозначно определяется последовательным спуском. Целые числа й! называются характеристическими степенями алгебры 5. Их число равно степени трансцендентности алгебры 5 над К в случае, когда К вЂ” поле. Его же мы назовем степенью трансцендентности 5 над К и в общем случае. Это кратность корня 1 многочлена )!Т(Т). Пусть 5 =- 9 5 — коммутативная градуированная К-ал- и~О гебра и !!= 9 )г„— ее градуированная подалгебра.
Предлмь положи м, что каждая компонента !!!„— свободный модуль конечного типа и что Тг-модуль 5 допускает конечный базис, состоящий иэ однородных элементов гн ам ..., г„степеней )„ ~„ ...,)„. Тогда, обозначив через М градуированный К-модуль ~ КЕ1, мы придем к выводу, что градуиро! ! Е % 5. ИИБАРИА11ТЫ З СИММГТРИЧЕСКОИ АЛГЕБРЕ !з! ванный К-модуль 3 будет нзоморфен К ®яМ, следовательно, каждая компонента 5„— свободный модуль конечного типа и Рз(Т)=РМ(Т) Ре(Т)= ~~!', Т ~ Ря(Т). (4) А! 1 ПРедложение 2. Сохраним предыдуи1ие обозначения и предположим, что Я и (Аг — градуированные К-алгебры л1ногочленов.
(!) Я и 3 имеют одну и ту же степень трансиендентности т над К. (й) Пусть р„ ..., р, (соотв. ди ..., дг) — характеристические степени алгебры 3 (соотв. гт). Тогда Г 1 Н Ц(1 — Т';)=~ХТ' )Ц(1 — ТР ). 1 1 ! ! 1 ! (»!) 1АГР1РЕ ° ° ° Рг = Ч!Чг ° ° Чг. Во-первых, формула (4) показывает, что кратность корня 1 в многочленах Рз(Т) ' и Ре(Т) ' одинакова. Воспользовавшись равенством (3), получаем (1), а затем (В). Из (В) следует, что П (1+ т+ Т'+ . + Т' — ) = Я Т'! ) П (1+ т+ Т +...
1 1 1=! 1 ! ... +ТР' ') Положив Т=1 в этом равенстве, мы получаем !'.!1). Замечание. Пусть Я = К(Х„..., Х„| — градуированная К-алгебра многоч зенон, д! — степень Х, и Р(Х„..., Х„)— однородный элемент степени т в 5. Тогда Хд1Х! ОХ =Гпр др 1=! Действительно, очевидно, что К-линейное отображение 0 алгебры 3 в себя, переводящее каждый однородный элемент г степени р в рг, есть дифференцирование алгебры 5. Следовательно, л « тр(Х„..., Х„) =В(Р(Х„...,Х„))='~а0(Х1) ~. =~дгХ1~~ . 2. Инварианты конечной линейной группы! свойства модуля Пусть К вЂ” коммутативное кольцо с единицей, )г — некоторый К-модуль; 6 — группа, действующая на )г. Известно, что любой автоморфизм модуля т' однозначно продолжается !зз ГЛ.
Ч ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ а до автоморфизма симметрической алгебры 5 = 5((т) н, стало быть, 6 действует на этой алгебре. Обозначим через дэ.х, где х ~ 5, я я 6, образ элемента х относительно д. Пусть 1х — подалгебра 5о алгебры 5, состоящая из инвариантных относительно 6 элементов. Предположим, что О конечна, !т — конечного типа и К вЂ” нетерово. Тогда 5 есть Гг-модуль конечного типа, а 1Г есть К-алгебра конечного типа (Ком. алг., гл.
у', В 1. и'9. теорема 2). Предположим, что 5 — область целостности н )у' — ее поле отношений. Поле отношений Ь алгебры )Г является множеством элементов из М, инвариантных относительно группы 6 (там же, следствие предложения 23). Следовательно, У вЂ” расширение Галуа поля ь. Всякий элемент из Ж записывается в виде г/Г с г я 5 и ! ~ ГГ (там же, предложение 23). Согласно следствию 3 предложения 26 из А1я., саар.
11, 3' ед., $ 7, и' !О, ранг й-модуля 5 равен [1у': 1.]. Предположим, что О действует на )т свободно. Тогда группа Галуа поля ЛГ над Е отождествляется с О и [М: Ц=Сагд О. Итак, где (5) = [М: Е] = Сагд(6). (6) Для любой градуированной алгебры А = Аь гТУ А, йт ... г1) А„13... обозначим через А+ идеал пз А„. н>0 Теогемь 1. Пусть К вЂ” коммутативное поле, (т — векторное пространство конечной размерности над К, 5 =5((т)— симметрическая алгебра пространства $А, 6 — конечная группа автоморфизмов )т и Гà — градуированная подалгебра в 5, состоящая иэ инвариантных относительно 6 элементов. Предположим, что 6 порождена псевдоотражениями (9 2, и'1) и что а = Сагд (6) взаимно просто с характеристическим показателем поля К.
Тогда 1Г-модуль 5 имеет базис, состоящий' из д однородных элементов. а) Так как каждый подмодуль модуля 5/Я+5) свободен над )Г,=К, то достаточно показать (ввиду предложения 7 из А1д., саар. П, 3'ед., в 11, и'4), что канонический гомоморфизм Р+ ®я5 в 5 инъективеи. Для любого 1Г-модуля Е символом Т(Е) обозначим й-модульКег()Г+ ЭяЕ- Е) ('иначе говоря, Т(Е)=Тога(1Х)')Г.Р, Е)„). Если Е, Е' — два 1Г-модуля и если и — гомоморфизм Е в Е', то гомоморфизм 1 ® и модуля )г+ З Е в 11+ ЯРЕ' при сужении на Т(Е) определяет гомоморфизм модуля Т(Е) в Т(Е'), который мы обозначим через Т(и), Если и' — гомоморфизм Е' в )Г-модуль Е", то т(и'ои)= т(и') ° т(и). следовательно, прн )Г-линейном действии 6 на Е группа 6 действует и в Т(Е).
А е инБАРиАить! Б снмметРнческои АлГеБРе !зз б) Действуя А1-линейно в Я, группа 6, следовательно, действует также в Т(Я). Далее, Т(Я) естественным образом снабжается структурой градуированного Я-модуля. Покажем сначала, что й ~ 6 переводит каждый элемент х из Т(Я) в элемент, сравнимый с х по модулю Я,Т(Я). Достаточно проверить это для псевдоотражения А. В этом случае существует ненулевой вектор и ен )Г, такой, что й!(х) — х ~ Кп при всех х~)Г. Поскольку )Г порождает Я, приходим к заключению, что пе действует на Я/Яп тривиально.
Следовательно, для любого у ~Я существует элемент й(у) в Я, такой, что а, (р) — и=йЬ) Этот элемент определяется по р однозначным образом, поскольку Я вЂ” область целостности и вектор и — ненулевой. Очевидно, что Ь вЂ” эндоморфизм степени — ! )г-модуля Я. Итак, да†!э=и!, ° и, где!и, — гомотетия в Я относительно и. Следовательно, Т(й!Е) — 1Г!з! = Т(й!з — !э) = Т(гп„) о Т(й), и образ этого эндоморфизма содержится в иТ(Я), откуда следует наше утверждение. в) Покажем теперь, что каждый элемент из Т(Я), инвариантный относительно 6, равен нулю. Действительно, пусть Я вЂ” эндоморфизм !г-модуля Я, определенный соотношением А)(Р)=Р-' Х а (У) аий при всех и ~ Я. Тогда Я(Я) = 1г, и мы можем записать Я в виде Я=! Р1„Г', где Я' — гомоморфизм !г-модуля Я на К- модуль !г, а ! — каноническое ииъективное отображение )г в Я.
Поэтому ТЯ) = Т(!) ° Т(Я)' и Т(1;!') = О, так как Т(11)= = Кег (К+ ® Г! ~. !Г) = О. Следовательно, О = Т Ц) = д- ~ Т (д,). аяо Но !) ' ~ Т(дэ) оставляет неподвижными элементы из Т(Я), д о инвзриантные относительно 6, Следовательно, каждый из них равен нулю. г) Предположим, что Т(Я) чь О. Тогда в Т(Я) существует однородный элемент и ~ О минимальной степени. Согласно б), и инвариантен относительно 6. Согласно в), и=О. Полученное противоречие показывает, что Т(Я)=О. Ч.
Т. Д. Зах!ечанил. 1) Известно (А1й'., с)!ар. П, 3'е!1., э 11, п'4, предложение Т), что если (х„ам ..., Еч) — семейство !З4 ГЛ и. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ однородных элементов из 5, канонические образы которых в 5/(А' 5) образуют базис модуля 5/(Н+5) над К, то (»„ »„..., »,) есть базис 5 над Н. 2) Пусть д — псевдоотражение в у' конечного порядка п)2, взаимно простого с характеристической экспонентой поля К. По теореме Машке (дополнение, предложение 2) )7 можно разложить в сумму 0®Н, где Н вЂ” гиперплоскость, состоящая из векторов в )г, инвариантных относительно д, а 0 — прямая, на которой у действует умножением иа примитивный корень и-й степени из 1.
В случае когда К=)4, это возможно только при и = 2, и тогда у — отражение. В этом случае группами, к которым применима теорема 1, будут конечные группы Кокстера. (Напротив, при К= С теорема 1 применима к некоторым группам, которые не являются группами Кокстера ').) Теогемх 2. Пред!!вложения и обозначения те же, что и в теореме 1. (1) Оуи!ествцег градуированное векторное подпространсгво в 5, дополнительное к г(+5 и устойчивое относительно О. (и) Пусть Π— такое дополнение. Тогда канонический гомоморфизм 69кН в 5 является изоморфизмом О-модулей и представление группы 6 в 6 (соотв.
5) изоморфно регулярному представлению группы 6 над К (соотв. Н). Действительно, для любого целого п)0 векторные К-пространства 5„и (Н+5) () 5„устойчивы относительно 6 и из теоремы Машке (дополнение, предложение 2) следует, что существует дополнение ЕГ„к (Не5)П5„в 5„, устойчивое относительно О, Тогда ~ О„будет дополнением к йг+5 и~с в 5, устойчивым относительно 6.
Отсюда следует утверждение (1). Пусть Еà — градуированное векторное надпространство в 5, дополнительное к )7э5 в 5 и устойчивое относительно 6. Согласно замечанию 1, любой базис векторного К-пространства О будет также базисом Н-модуля 5 и, следовательно, базисом поля отношений Аг алгебры 5 над полем отношений Е алгебры )7. Таким образом, векторное Е-пространство Н отождествляется с О !Вк Е. Ввиду устойчивости ЕГ относительно 6 это отождествление совместимо с действием 6. Алгебра Е[6) группы 6 над Е отождествляется с алгеброй К(6) Э» Е.
Расширение Галуа АГ над Е допускает нормаль- ') Классифииапню этих групп можно найти и статье: с!. С. 3 и е р- Ь ага, Х А. Той о, и!п!!е шп!агу ге!!ес!!оп Кгонрэ, Сипаи. Е МаГАэ., 6 (1954), 274 — 304. 3 З 5. ИНВЯРИЛЧТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ !зз ный базис (Алг., гл. ьг, 5 10, теорема 5, и Алг., гл. И1, ф 5, и'7) — факт, который можно выразить, сказав, что йГ как В[6]-модуль изоморфно модулю регулярного представления группы 6 над 1.. Так как пространство П конечно- мерно над К, то из предложения ! дополнения вытекает, что К[6)-модуль П изоморфен модулю регулярного представления группы 6 иад К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
