Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть 1) (соотв. Р')— полупрямая, получающаяся из ЙРе, (соотв. )АРе,) вращением на угол п12 (соотв. — и/2), как это показано на рис. 2. Р н с. 2. Камера С есть множество тех х ~ Е, для которых скалярное произведение с е, и е, будет > О. Это открытый угловой сектор с началом )т' и концом 1).
Согласно замечанию из э 2, п'5, любой элемент о из )(Р переводит С в угловой сектор, расположенный от 1) либо по ту же сторону, что и С (т. е. содержащийся в А,), либо по другую сторону (т. е. содержащийся в зА,), и в последнем случае 1(зо) =1(о) — !. Тем самым доказательство леммы закончено. 6. Фундаментальная область группы )Р в объединении камер Мы сохраняем обозначения п'4. Обозначим через О„ э еп 5, гиперплоскость в Е', ортогональную к е,; через А, — множество тех х'е— : Е', для которых (х*, е,) >О, и через С вЂ” пересечение всех Аэ с з ен 5. В слабой топологии о(Е', Е), определяемой двойственностью между Е' и Е (Топ. вект. простр., гл.
П. $4, п'2), множества А, будут замкнутыми полупространствами, а С вЂ” замкнутым выпуклым конусом. Далее, С будет замыканием С. В самом деле, если х' ~С и у'я С, то х*+ 1р' ЕПС для любого вещественного числа 1 > 0 и х* = !Нп (х' + 1у*).
Г.РЭ в ь ь Геометгическое пРедстьвлеиие ГРуппы кокстеРА !э! Д Хсз Сх = ( П И~) () ( П А,) . Имеем С» с: С, Со = С и Сз = (О), Множества С„с Х ее $ (3): образуют разбиение С. С другой стороны, напомним (гл. 1Ч, $1, и'8), что символом (тх мы обозначали подгруппу в (Р', порожденную множеством Х. Очевидно, что в (х )=х'для ю я (Рх н х'еесх. ПРедложение 5. Пусть Х, Х'с:5 и ш, ы'~ (Р. Если Гв(сх)Пю'(Сх) Ф Я, то Х=Х', ю)ьтх=ю')Р'х и ю(сх)= =- и'(Сх).
Все немедленно сводится к случаю, когда в'=1. Доказательство проведем индукцией по длине п элемента ю. При п= 0 утверждение очевидно. Если 1(ш) ) О, то существует з ~ 3, для которого 1(зю) =1(ю) — 1, а тогда (см. конец и'4) в(С) се(А,), откуда ш(С) се(А,). Так как С с А„то С и (С) И,. Поэтому з (х') = х' для всех х' ен С Д и (С) и тем более для всех х' =С, д (С,).
Таким обРазом, из соотношениЯ Сх П и (Сх) ~ О следует, с одной стороны, что Сх () И, Ф Я, откуда з е= Х', и, с другой стороны, что Сх () зш(СА) ~ ьд. По предположению индукции тогда имеем Х=Х' и звУРх='я7х =й"х откуда зи ее !Рх и ю~ йГх, поскольку з ее йт». Значит, шах=(т'х и ю(Сх)= =Сх=Сх. Следствие. Пусть Х вЂ” подмножество множествп Я и х' — элемент из Сх. Тогда стабилизатором х' в Ят является группа (Р'х.
Пусть теперь У вЂ” объединение всех и (С) для в ~ )Р", и пусть Я вЂ” множество подмножеств в (т' вида в(Сх) с Хс:Я и ю еи (Р'. Из сказанного выше следует, что 5 является. разбиением 1!. ПРедложениг. 6. (!) Конус У выпукл. (1!) Кпждый зпмкнутый отрезок в о пересекает лишь конечное число элементов множества б. (ш) Конус С есть фундаментальная область для группы (Р',. действующей в У. Для доказательства утверждения (ш) достаточно показать, что если в(х')=у' для х', у'ееС и ю~)ьт, то х'=у*. Но 122 ГЛ, Н ГРУППЬЕ ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕННЯЫН Р в 5 существуют два таких подмножества Х и У, что х'ен С„ и у'~СЕ. Имеем в(С„) ПСЕВД Ро н по предложению 5 Х=У и ш ~ ()У», откуда следует, что х*=у'. Пусть теперь х, у*ен (7.
Покажем, что замкнутый отрезок [х*у*] пересекает только конечное число элементов из Д, доказав тем самым сразу и (1), н (Е). С точностью до преобразования х' и у" при помощи одного и того же элемента группы (Р" можно предполагать, что х*~ С.
Пусть ш — элемент из УР", для которого у*~ ж(С). Проведем индукцию по длине элемента ш, Длн зен5 соотношение ш(С) ~ Л, эквивалентно соотношению ш(С) ~й Л, н, следовательно, неравенству 1(зш) <1(ш) (см. и'4). Поэтому из предложения 7 гл. 1Ъ', $1, и'8, вытекает, что существует лишь конечное число з ен 5, для которых ш (С) ~й Л, Стало быть, множество Т таких с~Я, что (у*, е,) <О, конечно.
С другой стороны, пересечение С() [х'у'] есть замкнутый отрезок [х"г']. Если г" =- у", т. е. если у* ~ С, то существуют подмножества Х н У в Е, для которых х* ен С» н у' ен Су. Тогда открытый отрезок ]ху'[ содержится в Схпу, откуда [ху'] сС»() Су() С»Еж Если г'чьу", то найдется такой элемент в ~ Т, что г" ен Н,. Тогда ш (С) (й Л, и 1(зю) < 1(ш). Следовательно, по предположению индукции отрезок [гу*]=з([г'(зы(у'))]) покрывается конечным числом элементов из 5. Поэтому и [х "у*] = [х" г'] () [г'у'], ибо [х*з*] с:. С. 7.
Неприводимость геометрического представления группы Кокстера Сохраним обозначения предыдущих п' и предположим, что 3 конечно. ПРедложенне 7. Предположил, что система ((Р', 5) не приводима (гл. 1Ч, $1, и'9). Г усть Еь — подпространсгво в Е, ортогональное к Е по отношению к форме Вм. Группа (Р' действует на Еь тривиально, и любое отличное от Е надпространство, устойчивое относительно (Р', содержится в Еь. Если х ~ Еь, то о, (х) = х — 2Вм (е„х) е, = х для всех з ен Е. Поэтому группа (Р', порожденная множеством Е, тривиалыю действует на Еь. Пусть Е' — подпространство в Е, устойчивое относительно (Р'.
Пусть з, в' ен Е' — два элемента, соединенные в графе Кокстера Г пары ()Р', 5) (гл. ГЧ, 5 1, и'9). Напомним, что это означает выполнение неравенства гп(з,з'))3. В З ч ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА 123 Предположим, что е, ~ Е'. Тогда о, (е,) ее Е', а так как коэффициент при е, в о, (е,) отличен от нуля, то е, ~=Е'. Ввиду связности Г из этого следует, что подпространство Е', содержащее хотя бы один вектор е„содержит их все и совпадает с Е. Этот случай исключен условием, и поэтому по предложению 3 из 5 2, и'2, для всех з ее Я пространство Е' должно содержаться в гиперплоскости Н„ ортогональной к е,.
Так как пересечение гиперплоскостей Н, совпадает с Е', то тем самым предложение доказано. Следствие. Предположим, что система ()Р', 5) неприэодима. Тогда а) если Вм невырождена, то %'-модуль Е абсолютно прост; б) если В,н еырождена, то )Р'-модуль Е является полу- простым. В случае а) предложение 7 показывает, что модуль Е прост, а тем самым и абсолютно прост Я 2, и'1, предложение 1). В случае б) имеем Е" ФО, ЕФЕь (поскольку ВМФ О) и предложение 7 показывает, что Е' не допускает устойчивого относительно )Р' дополнения. Следовательно, В'-модуль Е' не является полупростым. 8. Критерий конечности Сохраним обозначения предыдущих и' и предположим, что Я конечно.
ТеОРемА 2. Следующие утверждения эквивалентны: (1) )Р' — конечная группа; (2) Вм — невырожденная положительная 4орма. (1) =>(2). Пусть 5 = О Я, — разложение множества 8 на связные компоненты (гл. 1Ч, $1, и'9), и пусть (Р'= )1 1у;— соответствующее ему разложение группы Ж'. Пространство Е отождествляется с прямой суммой пространств Е; = 11 ~, а Вм — с прямой суммой соответствующих форм Вмс Таким образом, мы приходим к случаю, когда система (%', Я) неприводима. Посиольку %" предполагается конечной, Е будет полупростым ГР"-модулем (дополнение, предложение 2). Ввиду следствия предложения 5 отсюда вытекает, что модуль Е абсолютно прост. Пусть тогда В' — невырожденная положительная форма на Е, и пусть В" — сумма ее образов относительно (Р'.
Посиольку эта сумма инвариантна относи- 124 гл, ч. гвиппы, погождиннып отражениями в тельно (ч', она пропорциональна форме Вм (3 2, и'1, предложение !). Так как Вм(е„е,) = 1 для всех з ен 5, то коэффициент пропорциональности >О, а так как форма В" положительна, то и Вм обладает этим свойством, откуда следует утверждение (2).
В процессе доказательства был получен следующий резчльтат: Слидствин. Если система (Фг, 5) неприеодима и конечна, то à — абсолютно простой Ж'-модула. Критерий, доставляемый теоремой 2, позволяет классифицировать все конечные группы Кокстера (см. гл. Ч1, $ 4). Мы ограничимся здесь одним предварительным результатом.
Првдложиние 8. Если группа ))т конечна, то граф системы ((т", 8) является лесом (гл. 1Ч, Дополнение). Действительно, в противном случае этот граф содержал бы цикл (в„..., з„), п) 3. Если положить пзг=из(во зг+1), 1~(! < и, и т„=из(з„, з,», то это означает, что пзг) 3 для всех 1'. Пусть х = е,, + ... + е,„. Тогда В,(х, х) = и+ 2 .г! Вн(е,, е, ). Однако ') з з и и ! Вм(е,, е,. ) = — соз — < — соз — < — —,, 1' !+1) ач 1 3 2' —,! ! 'т'гЗ =О являются ! и ' . Поэтому 2 и ! соз — = †. Заметим по этому поводу, 3 2' ') Кориями уравнения аз — ! 2п ! соз — — — и, слсдовательио, 3 2 2п )13 что 51п откуда 3 2 и !'3 51П 3 2 бп УЗ и . бп ! — — з!п — з!п —, 6 2 ' 6 6 2' и соз — =ч — соз 6 !+! .Аналогично корнями уравнения я' — 1=6 являются э =, откуда У2 ' и .
и рг2 . Зп Зп !'2 соз — =з!п — — и, значит, з!п — — соз— 4 4 2 ' ' 4 4 2 (2) =>(1). Если Вм — невырожденная положительная форма, то ортогональная группа 0 (В !) компактна (Интегр., гл. ЧП, $ 3, и'1). Поскольку а(»ч) — дискретная подгруппа в 0(Вм) (следствие 3 теоремы 1), отсюда следует, что о(М7) конечна, а значит, и группа %' конечна.
Ч. Т. Д. в з е Геометгическоь пРедстАВление ГРуппы кокстсРА 125 в то же самое верно для Вм(ееи е, ). Поскольку остальные члены рассматриваемой суммы будут (О, получаем Вм (х, х) (» и — и = О в противоречие с тем, что форма Вм положительна и невырождена. Следствие. Если система (Ят, 5) неприводима и конечна, тз ее граф является деревом. Действительно, связный лес — это дерево. Сравнение с результатами $ 3. Пусть сначала ()у', 5) — конечная группа Кокстера. Обозначим через (х (у) форму В,и(х, у). По теореме 2 оиа определяет скалярное произведение на Е. При всяком з ен 5 пусть Н, — гипер~лоскость, ассоциированная с ортогональным отражением о„и пусть 9 — семейство гиперплоскостсй Гс (Н,) для з ен 5, в еи ((7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
