Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ПРедложение -1. Сужение Вм на Е,, является положительной формой. Она невырождена говда и только тогда, когда т конечно. Пусть г = ке, + уе, с х, у ее)с — элемент плоскости Е, е. Тогда П !' Вм (г, г) = х' — 2ху соз — + у' = ( х — у . соз — 1 + у' з(п' —, откуда следует, что Вм положительна на Ее е и что она невырождена тогда и только тогда, когда з1п — ~ О. Пред- ложение доказано. Отражения а, и а, оставляют устойчивой плоскость Е,, Определим порядок сужения элемента о,о; на Е,, Здесь различаются два случая: а) т=+ со, Пусть и = е, + е, . Тогда Вм (и, е,) = Вм (и, е, ) = О и, сле- довательно, вектор и инвариантен относительно а, и а,. Далее, о,(о, (е,))=о,(е, — 2е,) =Зе, + 2е, =2и+ е„ откуда (а,сс,)" (е,) = 2псс+ е, для всех а~ 2.
Таким образом, сужение элемента а,а, на Е„имеет бесконечный порядок. б) т конечно. Форма Вм наделяет Е„ структурой евклидовой плоскости, Поскольку скалярное произведение векторов е, и ег равно — соз и =соз1П вЂ” — 1, мы можем ориентировать Е„ т 1 тг' так, что угол между полупрямыми 11+в, и К+ес будет равен я с геомптю1чпское пгадстлвлннис гптппы кокстпга ! 15 аг — —. Если 0 и О' — полупрямые, ортогональные к е, ие,,то (Р', О) =и — (О, 0') = — ".
Однако сужения б, и а; элементов о; и о., на Е,„являются ортогональными отражениями относительно О и 0'. Поэтому, согласно следствию предложения б из 5 2, и'5, 2л б,б, есть вращение на угол —, В частности, его порядок равен т. Вернемся теперь к случаю всего пространства Е. Ппедложвнив 2. Подгруппа в 6!. (Е), поролсденная в, и вгь есть диэдральная группа порядка 2т(я, я'). Так как элементы о, и а, порядка 2 и различны, то достаточно убедиться в том, что порядок их произведения в,в, равен т(я, я').
Когда т(я, я') бесконечно, это следует нз рассмотренного выше случая а). Если же т(я, я') конечно, то из предложения 1 вытекает, что пространство Е будет прямой суммой плоскости Е,,; и ортогонального к ней дополнения )'и., Поскольку а, и а, действуют на )г,,, тождественным образом, а сужение в,о, на Е„; ввиду б) имеет порядок т(я, я'), то порядок а,!а, тоже равен гп(я, я'). 3.
Группа и представление, ассоциированные с матрицей Кокстера Мы сохраняем обозначения предыдущих пунктов. Пусть )Р' = )(У (М) — группа, определенная семейством образующих (д,), я н соотношениями ') (у,, де) и' ~ = 1, я, я' ~ 8, т (я, я') Ф + оо. Прадложвнив 3. Существует, и только один, гомоморфизм о: )Уг ьб!.(Е), для которого в(д,)=о, при всех яаиЯ.
Элементы группы о(Ф') сохраняют билинейную форму Вм. Для доказательства существования и единственности в достаточно убедиться в том, что (а,в, ) "'= ! прн т(я,я')= =+ оо. Но для я=я' это следует нз того, что о, имеет ') Это означает, что если й, — свободная группа с образующими из Я, то Иг есть факторгруппа Ь, по наименыпей нормальной подгруппе, содержащей (аа') О' 'Ч дли т (з, а') ~ + оо.
116 Гл, у. ГРуппы, п<>Рожденные ОТРАжеииями г порядок 2, а для эФэ' — из результатов и' 2. Наконец, поскольку отражения о, сохраняют Вм, то же самое верно и для любого элемента группы о())т). Замечание (). В и' 4 мы докажем, что отображение о инъективно. Таким образом, группа )Рт может быть отождествлена с подгруппой з 61. (Е), порожденной отражениями а,. ПРедложение 4.
а) Отображение э д, множества 5 в ))7 и нъекти вно. б) Каждый элемент д, имеет порядок 2. з) Если э, э'ее 5, то д,йе имеет порядок т(э, э'). Утверждение а) следует из того, что сложное отображение Э1 — Рй, ~О, множества 5 в 61(Е) инъективно. Для доказательства б) (соотв. в)) заметим, что порядок элемента й, (соотв. произведения й,й,,) не больше 2 (соотв. не больше тп (з, э')). Но как видно из и' 2, порядок о, (соотв. о,а,) равен 2 (соотв. т(э, э')), так что мы получаем нужные равенства. Ввиду а) можно отождествить 5 с подмножеством группы ))т при помощи отображения эР-Р д,.
Следствие. Пара (Ят, 5) является системой Кокстера с матри1(ей М. Это не что иное, как перефразировка свойств б) и в) с учетом определения группы В'. Замечание 2). Итак, мы показали, что всякая матрица Кокстера „соответствует некоторой группе Кокстера. 4. Контрагредиентное представление Пусть Е' — пространство, дуальное к Е. Поскольку Чт действует на Е посредством гомоморфнзма а, она действует также с помощью перенесения структуры на Е'.
Соответствующее представление о'1 )(У вЂ” э ОЕ(Е') называется контрагредиентным представлением для а. Имеем о*(1в)=1о(1в ') для всех и1 еи (1т. Аналогично обозначим через а1(х') образ элемента х'ееЕ' относительно о'(и1) с и1ее)(7. Символом А, при э~5 обозначим множество тех х' еи Е', для которых х'(е,) ) О. Пусть 4 Ь К ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА Ыт С вЂ” пересечение всех А„ з ен 5. В случае когда 8 конечно„ С вЂ” открытый симплициальный конус в Е' ($ 1, и' 6).
Теогемк 1 (Титс). Если и сн )Р' и С П и (С) Ф О, то ы = 1. Укажем сразу несколько следствий этой теоремы. Следствие 1. Группа )у' действует просто транзитивным образом на множестве всех сс(С), и ~ )Р'. Это очевидно. Следствие 2. Представления о и о' инъективньс Действительно, если о*(лв) = 1, то се(С) = С, откуда по теореме 1 се = !. Инъективность представления о вытекает из инъективности представления о*. Следствие 3. Если Я конечно, то о(В') — дискретная подгруппа группьл б1.(Е)(с канонической структурой группы Лн). Это же справедливо и для о'(%') как подгруппы в б(.(Е'). Пусть х яС.
Множество П тех дев б). (Е*), для которых д(х') ~С, есть окрестность единичного элемента в б). (Е"). По теореме имеем о*(йт) П П =(1). Следовательно, о" ()Р) — дискретная подгруппа группы б). (Е'). С помощью перенесения структуры получаем, что о(%') дискретна в б).(Е). Доказательство Теоремы 1. Обозначим через 1(в) длину элемента Гв ы Р7 относительно Я (гл. 1Ч, 5 1, и' 1). Мы начнем с доказательства следующих утверждений. в которых и — целое число )О.
(Р») Пусть лв — элемент из %7 длины 1(се)=п и зен8„ Тогда либо се (С) с: А,; либо св(С) с:зА, и 1(зле)=1(се) — 1. Я„) Пусть свен)р, 1(се)=п и з, з'сна, з Ф з'. Пусть, далее, В'к, — подгруппа в ят, порожденная з и з'. Тогда существует элемент и ен )Р.,е. для которого св(С)~и(А,ДАУ) и 1(и)=1(и)+1(и 'ю).
Эти утверждения тривиальны при а=О. Мы будем вести доказательство индукцией по и, следуя схеме ((Р„) и (Я ))=)л(Р»ы) и ((Р„+,) и (Я»))=)ь(Я»+,). доказательство импликации ((Р») н (ч»)))л(Р»+м) !!з ГЛ, У. ГРУПНЫ, ПОРОЖДГННЫГ ОТРАЖЕНИЯМИ 4 Пусть вен)Р", 1(в) =и+ 1 и з я Я. Мы можем записать в в виде со=я'в', где з'сии и 1(в') =и. При я'=з утверждение (Р„), примененное к со', показывает, что в'(С) с:.Л„ откуда в(С)~я(А,), н мы имеем 1(зв)=1(в)=1(в) — !. В случае я' Ф з утверждение (11„), примененное к в', показывает, что существует и ен !р.,.. для которого в'(С) с: и(А,П А,) н 1(в') =1(и)+1(и-'в').
Тогда в(С) =з'в'(С) с: я'и(А, !) А,). Лвммь 1. Пусть з, з' ен 5, я Ф з', и пусть о я )У'... Тогда о(А,ДА,) содержится либо в А„либо в з(А,) и во втором случае 1(зо) =1(о) — 1. Доказательство леммы будет дано в и' 5. Применяя эту лемму к элементу о =я'и, мы получаем ,две возможности: либо я'и(А,() А,) с: А, и тем более в(С) с: А„ либо з'и(А,ПА,) с: з(А,) и тем более в(С) с: з(А,). Кроме того, во втором случае 1(яя'и) =1(я'и) — 1, откуда 1 (зв) =1(яя'в') = 1(яя'и . и ' в ) (1(зя'и) + 1 (и 'в') = =1(з'и) + 1(и-'в') — 1 =1(в) — 1, а как известно, отсюда следует, что 1(яв) =1(в) — !. доказательство ил!алика!!ии ((Р„„,) и (с ! ))=ЬЩ +!).
Пусть в я ))т, 1(в) = и+ 1 н з, я' ен 3, я Ф з', Если в (С) содержится в Л,ПАГн то утверждение ((;!„+!) справедливо при и =1. В противном случае предположим, например, что в(С) не содержится в А,, Согласно (Р„.„), в(С) ~я(А,) и 1(зв)=и. Согласно (1;!„), примененному к яв, существует элемент о ~ )(7., е.
для которого зв (С) с: о(А, П А,) и 1(зв) =1(о) + 1(о 'зв). Тогда в (С) с: зо (А, П Л, ) 1( )=!+1( )=!+1()+1(-" )) »)1(зо) + 1((зо) в) )1(в), так что все неравенства здесь будут равенствами. Мы видим, что (ь1„+!) справедливо, например, при и =зо. е % с ГеометРическое пРедстАВлепне ГРуппы кокстГРА Ы9. Доказательство теоремы. Пусть вен(у' и в~1. Можно записать ш в виде зю' с ЕГЕРЕ и 1(ш') =1(ш) — !. Согласно (Р„) при и=1(ш'), примененному к Го', имеем в'(С) с: А,„так как случай ш'(С) с= с: з(А ) исключается равенствами 1(зш') =1(ш) =1(ш') + 1. Итак„ш(С)=зш'(С) с:з(А,), а поскольку А, и з(А,) не пересекаются, С П ш (С) = О.
Ч. Т. Л. $. Доказательство леммы 1 Пусть Е,,; — дуальная к Ее, с = Ке,9 Ке, плоскость (и' 2). Отображение, сопряженное к инъекции Е,.; — Е, является сюръективным отображением р: Е -РЕ. т. которое коммутнрует с действием группы 1у',, Ясно, что А„А, и А, П Ау — прообразГя относительно р соответствую- щих подмножеств на плоскости Е,, (рассматриваемой как пространство контрагредиентного представления группы Кок- стера (у',,е), Так как длина элемента группы )(7... относи- тельно (з, з') совпадает с его длиной относительно Е (гл. 1АГ, ~ 1, и' 8), то все сводится в конце концов к случаю, когда Е=(з, з').
Если т=т(з, з'), то Ж' — диздральная группа. порядка 2оз. Будем различать два случая: а) Гп =+ ьо, Пусть (е, е') — базис, дуальный к (е„е,). Тогда з . е = — е + 2е', з'. е = е, з.е=е' з' . е' = 2е — е'. Пусть 0 — аффинная прямая в Е', содержащая е и е'. Приведенные выше формулы показывают, что й устойчива относительно з и з' и что сужение з (соотв. з') на Й есть.
отражение относительно точки е' (соотв. е). Пусть Е:Я И вЂ” аффинная биекция 1Р 8(1) = Ге+ (1 — 1) е'. Пусть з„— образ относительно О открытого интервала ) и, и + 1(, и пусть ф— объединение И„, Х > О. Тогда Сь — — С. Далее, согласно замечанию из 5 2, и'4, примененному к аффинному пространству й, интервалы 1„переставляются просто транзитивным образом группой 1Р'.
Стало быть, то же самое относится и к С„. Если о ен (Р', то о(С) совпадает с одним из С„ и, следовательно, содержится в А, при и) )О и в з(А,) при 120 ГЛ. Н. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 6 и < О. Во втором случае 1Р и 1„лежат по разные стороны от точки е', откуда 1(зо) =1(о) — ! (там Рке). б) Гп конечно, В этом случае форма Вм невырождена (п'2) и позволяет отождествить Е" с Е. Мы видели, что плоскость Е можно ориентировать так, что угол между полупрямыми и+ес и К.Рес будет равен и — — ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
