Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В силу предложений 7 и 8 это возможно только тогда, когда Н и Н' — единственные стенки камеры С и Е одномерно. Таким образом, единственный случай, когда одно из тяя бесконечно, — это тот, когда Е одномерно, а группа ОЯ порождена отражениями относительно двух различных точек (см. 5 2, и'4). В общем случае у матрицы Кокстера группы ИГ будут конечные элементы, исключая ситуацию, когда по крайней мере одно из Еп ..., Е, имеет описанный выше тип. !!о гл.
ч. гетины, погождениыв отехжвниями ю 10. Специальные точки Пусть Л вЂ” множество переносов, содержащихся в Ят, и Л вЂ” множество !ен Т, таких, что перенос х «1+ х принадлежит Е. Очевидно, что Л устойчиво относительно У (Ят) и что Š— нормальная подгруппа в Ят. Поскольку %' действует в Е собственно разрывио, то же верно и для Е, и отсюда ясно, что Л вЂ” дискретная подгруппа в Т. Обозначим через Ят„ стабилизатор точки х ен Е в )Р'. Пгвдложвниа 9. Пусть а е= Е.
Следующие условия эквивалентны: (!) 1)т = Яг, . Тй (И) сужение гомояорфиэма У на )ь', есть изоморфизм группьс Ят, на У(Ят); (и!) для любой гиперплоскости Нен Р существует гиперплоскость Н' ~ 9, параллельная Н и такая, что а ен Н'. Ясно что (1) (=э (й), поскольку Š— ядро гомоморфизма У и ЕП)У.=(1). Пусть выполнено (1), и пусть Нен$. Тогда зня)(т,.1„ так что существует вектор 1~ Л, для которого а = зн(а)+ г.
Вектор 1 ортогонален к Н, и если Н'= Н+ — 1, то зн (х)= 2 =зн(х)+ ! для всех х~Е (см. 5 2, и'4, предложение 5). Так как 1~ Л и зн~ В', то зн е В', откуда Н'~ ь". К тому же а= — зн (а) и, значит, аенН'. Таким образом, из (!) следует (Ш). Предположим, что выполнено (ш) и что гиперплоскости Н, Н'спи такие же, как в (ш). Тогда зн(а)=а, откуда зн ен ен Ят,. Поскольку Н параллельна Н', элемент м =зн .зн группы Ят есть перенос (5 2, и'4, предложение 5), откуда гв~ Е. Тогда зн-— — зн . н!~ В',.Ь.
Так как )Я' порождена семейством (зн)н, то Ят=йт,. 1„и из (ш) следует (1). Опгвдвлвнив 1. Точка а из Е назь!вается специальной точкой для Ф', если она удовлетворяет эквивалентным услови.ям предложения 9. Ясно, что множество специальных точек в Е устойчиво относительно В'.
Пзвдложкние 1О. Существует точка, специальная для Ят. Предложение 6 из и'8 дает нам возможность ограничиться случаем, когда Ят — существенная группа. Группа У ((Р") автоморфизмов пространства Т конечна (и'б, теорема 3) и У(зн) — ортогональное отражение относительно гиперплоскости Н. Кроме того, У (Ят) порождена |о е 3. ГРуппь! пеРемещен!|и, поРожденыые ОТРАженияьц! семейством (У(зц))ц . По предложению 7 из п'9 существует базис (е,),.
в 7, такой, что группа У(Ф) будет порождена множеством отражений (е!)! ! вида з,(1) =1 — 2(11е!). е|. Следствие теоремы 1 из п'2 показывает, что всякое отражение зев У(Ф') имеет вид а= У(зц) с Нен9. Поэтому в 9 можно найти семейство гиперплоскостей (нг)! !. для которых з,=У(гц,) при всех |. Ввиду линейной независимости векторов е| существует точка а яЕ, такая, что ая Н, для всех | ы1.
Имеем ец,ен Ф'„откуда У(УР') = У(ИУ,), т. е. 'иг" =()г,.1., поскольку 1 — ядро гомоморфизма У. Следовательно, а — специальная точка. В случае когда Иг — су|пественная конечная группа, имеется только одна спепиальпая для Ит точка, а именно единственная точка, инвариантная относительно |т. Поэтому рассмотрение спепяальнык точек интересно главным образом в случае бесконечной группы Ит.
ПРедложение 11. Предположим, что группа 1у' су|цественна. Пусть а — специальная для )ьг точка. Камерами относительно У"„буд1>т открытые симплициальные конусы с вершиной а. Для всякой камеры С' относительно Ж', существует, и притом единственная, камера С относительно Ф', содержащаяся в С' и такая, что а~С. Объединение ю'(С) для и>'~ В', будет замкнутой окрестностью точки а в Е. Каждая стенка камеры С' есть стенка камеры С. Если Ф' бесконечна и неприводима, то стенками С будут стенки С' и аффинная гиперплоскость, не параллельная стенкам камеры С'.
Пусть 9' — множество гиперплоскостей Н ~ 9, содержащих а. Группа (Р', порождена отражениями ец для Н~9' (и'3, предложение 2). Камерами относительно У(г, будут открытые симплициальные конусы с вершиной а (и'9, предложение 7). Пусть С' — такая камера и У вЂ” непустой открытый шар с центром а, не пересекающий гиперплоскостей из 9 — Ф'. Так как аенС', то существует Ье= У()С'.
При этом в Ь~ Н для всех Нен 9, так что Ь принадлежит некоторой камере С относительно 9. Поскольку 9'с:9, верно включение СсС'. 1т!но>кество У()С' не пересекает никакой гиперплоскости Нен 9 и выпукло, поэтому У() С'сС. Стало быть, аенС. Обратно, пусть С, — камера относительно (тг, содержашаяся в С' и такая, что аевСР Тогда С, пересекает У и У()С>с: У()С'= У()С. Камеры С и С„имея 112 ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 1о общую точку, совпадают. Для любого элемента Ге' сн йт, будет и!'(У) = и, и, следовательно, ип (с)=ш (ипс)=ш'(ипс')=ип '(с» Поскольку объединение Ге'(С') с ш' ~ (Р', плотно в Е, объединение У П Ге'(С') = У П и!'(С) является плотным в У, и поэтому объединение Гв'(С) с в'ен(у', содержит У.
Наконец, если Н вЂ” стенка камеры С', то существуют точка сяУПН н открытая окрестность У'си точки с, такие, что у ПС' есть пересечение У' и открытого полупространства, ограниченного Н и содержащего С'. Поскольку У П С' =у'ПУПС'=у'ПУПС=1'ПС, мы видим, что Н вЂ” стенка камеры С. Если (Р' бесконечна и неприводима, то С вЂ” открытый симплекс (и'9, предложение 8) и поэтому имеет одной стенкой больше, чем открытый симплициальный ко. нус С'. Следствие. Пусть (р' — существенная группа. (1) Если а ен Š— специальная точка, то существует камера С, такая, что а будет экстремальной точкой замыкания С. (Е) Если С вЂ” камера, то в С существует экстремальная точка, специальная для Чг, Первое утверждение следует из предложения 11, а второе — из первого и из того факта, что (Р"" действует на множестве камер транзитивно.
Напротив, ие всякая экстремальная точка аамыкания С является специальной точкой лля Е' (см. Гл. Ч1, таблица Х, системы Вэ и От). Зал!ечание 1). Предположим, что группа (Р' — существенная, неприводил!ая и бесконечная, и вернемся к обозначениям предложения 11. Так как У вЂ” изоморфнзм группы (Р'а на и((у'), то мы видим, что граф Кокстера группы перемещений и(Ю) (порожденной отражениями У(эн) для Н~ф) получается из графа Кокстера группы йт зачеркиванием вершины !', соответствующей единственной стенке камеры С, которая не является стенкой камеры С'.
Предложение 12. Предположим, что группа И' существенна. Пусть а — специальная точка, Е(а) — множество ее образов относительно группы переносов Е и С вЂ” некоторая камера. Тогда С пересекает О(а) в одной и только одной точке. Эта точка будет экстремальной в эамь!кании С.
Существует камера Сн такая, что а будет экстремальной точкой ее замыкания С, (следствие предложения 11). Каждая г ч с гяомятгичяскбя пгядстхвляиия ггхппы кокстяяа ыз камера имеет вид С=!м'(С,) с и'еи(Р', и !я 7., поскольку В'=)г",. !.. В таком случае С имеет экстремальную точку !ы'(а) = !(а) ~ Ь(а). С другой стброны, С не может содержать двух различных точек из Е(а), так как С вЂ” фундаментальная область для !Г (и'3, теорема 2). Замечание 2). Множество !.(а) содержится в множестве специальных точек, но, вообще говоря, с ним не совпадает (см, гл. Ч!, $2, п'2, и таблицы 1 — ч'!). $4. Геометрическое представление группы Кокстера В этом параграфе будут рассматриваться только вещественные векторные простраяства.
1. Форма, ассоциированная с магрицей Коксгера Пусть  — некоторое множество и М =(пг(з, з'); матрица Кокстера (гл, !Ч, 5 1, п'9) типа Я. Напомним, что все это означает следующее: 1) элементы матрицы М суть целые числа илн + оо; 2) матрица М вЂ” симметрическая; 3) нт(з, з)=1 для всех в; 4) оч(з, з')»)2 для зФ в'. Пусть Е=!(<е', (е,), — канонический базис в Е и Вм— билинейная форма на Е, такая, что Вм(е„е,) = — соз Форма Вд — симметрическая. Говорят, что эта форма ассоциирована с матрицей М. Имеем Вм(е„е,) =1 и Вч(е„е,) <О, если зле'.
Пусть з~5, и пусть ),— линейная форма х ~2Вм(е„х). Обозначим через о, псевдоограхсение, определенное парой (е„!,) (см. $2. п'1). Поскольку (е„!,) =2, это будет отражение (5 2, п'2). Имеем о, (х) = х — 2В,ч (е„х) . е, и, в частности, о,(е,)=е, +2соз (, .е,. т (г, е') 114 ГЛ. У. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМ!! г Так как е, неизотропен относительно Вм, то пространство Е есть прямая сумма прямой 11е, и гиперплоскости И„ ортогональной к е, Ввиду того что а, равно — 1 на Ке, н 1 на В„ псевдоотражение а', сокраняет форму Вм.
Понятно поэтому, что, когда 5 конечно, а форма Вм невырождена (к этому случаю мы вернемся в и'8), о, будет ортогональным отражением ($2, и'3). 2. Плоскость Е,,; и группа, порожденная отражениями о, В этом пункте через з и з' обозначаются два элемента множества 5, з Ф з'. Положим пг =т(з, з') и обозначим символом Е,,; плоскость йе,9 йег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
