Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 33
Текст из файла (страница 33)
! ! ! 1 Умножив его скалярно на е» (для й~(т), получим а„+ ! + ~ а4(с!~ е»)=аа». Поэтому ! к+! Б ! т (а — 1) г" = Д ) ~2~ а! (е! ~е»)~е»= ~2'.~ а4Я (ег)е»)е» = »=! !=те! г-г+! ь=! ! а! ~ — е! + ~З~ (е4~ е») е" = !=т+ ! » ! — ~л~ ~ате! + ~л~~ а4е! = — г + ~~~~~ а4е!. 4= -ы т=г Р! ! Р+! Значит, вектор (а — 1)г" +г' ортогонален к е', ..., е', т.
е. и пространству У". Поэтому з" оставляет устойчивой пло- скость, порожденную г" и (а — 1)г" + г', т. е. Р. Анало- гично э' оставляет Р устойчивой. Так как г' еп Р П У' и г" ее РПУ", то з'! Р и з" '!Р будут отражениями относительно. йг' и йг". 1ЗО Гл. ч. ГРуппы, пОРОжденные ОТРхжГниями Теовемл 1.
Пусть группа йг неприводима. Тогда (1) ~%=1, ать=6 — 1. (й) Са~б ф) = 1 Нп Сохраним предыдущие обозначения. Сужение с = з'з" на Р есть вращение на угол 2(г", г') Я 2, и'5, следствие предложения 6). Так как порядок с равен 6, то 6 элементов 1, с, ..., с" ' группы йг попарно различны. Элементы з', з'с, ..., з'с ' тоже попарно различны и отличны от преды', и дущих, поскольку с'1Р— вращение, а з'с~1Р— отражение.
Множество (1, с, ..., с" ', е', з'с, ..., з'с" ') является подгруппой (у" с: 57, порожденной элементами з' и з" и индуцируюшей на Р группу (Р'", порожденную ортогональными отражениями относительно з(г' и Кг". Образ камеры С относительно элемента из К' либо не пересекается с — С, либо совпадает с — С. То же самое, следовательно, можно сказать по поводу пересечений РЯС и — (Р() С).
Поэтому при подходящей ориентации плоскости Р найдется целое число ПГ > О, такое, что (г", г') = — (й 2, и' 5, следствие предложения 7). Сверх того множества д'(С) для д' ~ (Р" попарно не пересекаются. Поэтому попарно не пересекаются множества йн(Р () С) для рп ен Ж'", и, значит, порядок %'н равен 26, откуда ГП= 6. По определению, с ~Р— 2п вращение на угол — „' и допускает, следовательно, в каче- 2ГП 2Гп (Ь вЂ” 1) стве собственных значений ехр — и ехр А Ь Этим доказано, что ПГ, =1, Гп, = 6 — 1. Образами прямых Кг' н Кгн относительно В" будут 6 прямых 0н..., 0„плоскости Р, а точки множества Р— (О, () ...
... () 0„) будут %"-образами точек из РПС. Следовательно, гиперплоскостн семейства 9 пересекают Р только по прямым 0; н каждая из них действием В" может быть переведена в гиперплоскость из $, содержащую либо йг', либо Кг". Но любая гиперплоскость НГ= 9, которая содержит Кг', совпадает с одной из гиперплоскостей Нн ..., Н,. Действительно, пусть е„— единичный ортогональный к Н вектор, .лежащий по ту же сторону От Н, что и С.
Тогда ен — — Л,е, + ... ... + Л,е„где все Л, = О ($.3, и' 5, лемма 6, (1)). Но О =(ен1г')=Л,,а,+, + ... + Л~ан поэтому ЛГЫ= ... =Л,=О и ен=Ле,+ ... +Ле,. 3 ! б. пгеоБРАЗОВАние кокстеРА !5! Предположим, что какие-то два Л, не равны нулю, например Л, и Л,. Так как е„..., е„попарно ортогональны, то э, (ен) = — Л,е, + Л,е, + ... + Л,е„ и координаты вектора э,ен не могут быть все одного знака, а это невозможно (гам же).
Поэтому вектор ен пропорпионален одному из векторов е„..., е„и наше утверждение доказано. точно так же любая гипсрплоскость и б— = 9, содержащая (хг", совпадает с одной нз гпперплоскостей Н, „..., НР Итак, число гиперплоскостей в 9, содержащих либо йг', либо )хз", равно 1. Следовательно, если й четно, то Сагд (9) а Ь вЂ ! равно — 1.
Если Ь нечетно, то Сагд (9) равно, 1+г, 2 2 Ь вЂ ! а также 1+(! — г). Отсюда имеем г=1 — г, так что 2 г= — н Сагб(9)= 1+ —,, = — 1. Ь А †! ! Ь 2 2 2 2 Замечание. Сохраним обозначения предыдущего доказательства. Пусть с' — С-линейное продолжение преобразования с на У ЭаС и с" — сужение с' на Р®аС. Из свойств с) Р следует, что с" допускает собственный вектор х, соот2и! ветствующий собственному значению ехр — „", и этот вектор не принадлежит никакому множеству РЯС, где В означает прямую в Р (поскольку В не является устойчивой относительно с).
Но ясно, что НД Р вЂ” прямая для любой гиперплоскости Н бн 9. Значит, х~ Н ®„С. Следствию Пусть Лб — множество единичных векторов в У, ортогональных элементам из 9. Если еруппа В' неприводима, то (х(и)'=Ь(х~ х) ч я нц для всех х бн У. Положим 1(х)= ~~'.~ (х(и)з.
Очевидно, 1 — положитель- РЕЬ ная квадратичная форма, инвариантная относительно В' н невырожденная, поскольку е, образуют базис в У. Так как группа (Р" неприводима, то существует константа р, для которой ! (х) =(!(х(х) (5 2, п' 1„предложение 1). Если (х!)!<б<! — ортонормальный базис в У относительно скалярного произведения (х(у), то ! ! (!1 = ~~.",(3(х!~ х,)= Д ~(х!) = .! ~)" (хб~ и)ч= Х 1 = Сагд (11б) = 2 Сагд (9) = 1!1. Р ~ Яб ГЛ. Ч. ГРУППЫ. ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ Отсюда ()=й, чем и доказано равенство (4). ПРедложение 2. Если й чвтно, то единственным элементом группы йк, переводящим С в — С, я'вляется сыа.
Вернемся к обозначениям доказательства теоремы !. Поскольку с! Р— вращение на угол —, то сыэ переводит г 2п в — г', г" в — г" и, значит, г = г'+ г" в — г. Так как г ~ С, то камера сьп(С) совпадает с — С. Пеедложенне 3, Предположим, что группа )Р' неприводима. Пусть и„..., и, — однородные элементы симметрической алгебры Я = 5()т), алгебраически независимые над 1! и порождающие алгебру инвариантных относительно И' элементов в 5 (й 5, п' 3, теорема 3).
Если р! — степень элемента ип то показателями группы В' будут р — 1, „, р~ — 1. Положим )т'=)т ЭЯС, 5'=о((т') =о ЭЕС и продолжим скалярное произведение на (т до эрмитовой формы на !". Если с — преобразование Кокстера группы Ю, то существует ортонормальный базис (Х,),<,м, в )т', состоящий из собственных векторов преобразования с Э 1 (Алг., гл. 1Х, $7, п' 3, предложение 4). Сверх того можно предполагать, что Х~ 21пы~ для ! (1~(! соответствует собственному значению ехр — „ преобразования с Э 1. Ясно, что 5' отождествляется с алгеброй С (Хн ..., Х ] и можно записать и! Э 1 = 7!(ХП ..., Хс), где ~~ — однородный многочлен степени р, в С]ХР ..., Хс].
Положим й! —— — и 7(ХИ ..., Х,)=йе1(ЙД). Напомним д дХ! ($ б, п' 4, предложение б), что 1(ХП ..., Х,) пропорционален произведению в 5' Сагй (9) векторов уь из )т, каждый из которых ортогонален некоторой гиперплоскости из 9. Так как можно предполагать, что Х, Ф Н Э С для всех Н ~ 9 (замечание), то Х,-компоненты векторов у„будут ~0. Следовательно, 7 (1„0, О, ..., 0) чь О. Правило разложения определителя показывает в таком случае, что сушествует перестаноека о множества (1, 2, ..., 1), такая, что (7)ьт(!) (1,0, О, ..., О) Ф Одля всех/.Таккакмногочлен 0 НД! однороден степени р~ — 1, то коэффициент при ХР! 'Х,ш в Р~(ХР ..., Х,) не равен нулю.
Но ~!(Х„..., Х,) ннвариантен относительно с Э 1, а (с Э 1)(ХР! 'Х„н) =(ехр — „(р — 1+ т„н~)) (Х,! Х„~~>) ° Это показывает, что р, — ! + гп„н>— = 0 (щод и). Однако и — т„н1 является показателем (формула (2)). Переставлян ир можно, 2 % ь. пРеОБРАВОВАние кокстеРА !53 следовательно, предполагать, что ру — 1 = — т! (Пуод и) для всех 1. Так как ру — 1)О и упу(й, то ру — 1=!и!+рууу с целыми Ру)О. Далее, согласно пРедложению 3 из 3 5, ! Сагд (9) = ~ (ру — 1) = ~ упу + (у Х р! у=! у ! у ! Учитывая формулу (3) и теорему 1, (В), мы получаем уу ~у ру — — О; следовательно, !А! = О для всех ! и, наконец, у=! ру — ! =!ну для всех 1.
Следствие 1. Порядок группы В' равен произведению (ау!+ 1)(а!2+ 1)... (ту+ 1), где (т!), куку — возрастающая последовательность ее показателей. Это вытекает из соотношений упу + 1 = ру и из следствия теоремы 3, 3 5, п' 3. Следствие 2. Если с — преобразование Кокстера группы (Р, то ехр( — '") и ехр~ — — '") явля!отея его собственными значениями кратности 1. В противном случае сушествовалн бы два однородных инварианта степени 2 в 5, а значит, и две непропорциональные квадратичные формы на (у', инвариантиые относительно Я7, что противоречит предложениуо 1 из 3 2, п' !.
Следствие 3. Для того чтобы гомотетия относительно — 1 в !У принадлежала группе Ф', необходимо и достаточно, чтобы все показатели группы (Р" были нечетны. В случае когда это так, й четно и с""= — 1 для любого преобразования Кокстера с группы )Р'. Первое утверждение вытекает из предложения 4, $5, и' 3. Предположим, что показатели Чт нечетны. Тогда !! четно, как это показывает формула (2), и ( ° ) = еуиуь 'уЬУЗ ехр — „) = ехр (!пуп!) = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
