Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В случае а =(1, з) ев 5 обозначим через а„ транспознцию з и ! (рассматрвваемую как элемент симметрической группы ю ) и положим а = — а а а !!И' Пусть 7 — множество подмнозкеств я 5, состояших из ребер с различными концами. Обозначим через С (Х), Хя')Л множество тех з зм1, которые не являются концами ребер из Х, и положим а,= Ц а„, аюд 176 гл. и. гриппы, погождннныи отражиннямн % а Пусть осмЗс, и пусть с(а — член, соответствующий о в разложении определителя матрины (Л вЂ” !) У+ )г+ ЛУ. Показать, что если о имеет внд о с Хсийс, то ".=' "'""' П (Л-!+ н) сыс схс Предположим теперсь что à — лес (гл.
!Ъ', дополнение, п'8), Пока. вать, что если оспа ие имеет вида о с Хщср, то о =-О. Вывести о ото!ода формулу бс1(Л вЂ” с)= ~~~ а Л " СХС И (Л вЂ” 1+а!С). Х сгр с схс г) Рассмотрим многочлсн Х аы...ан азс Х ... асз Р(Х) = ап асз... Х УО предположениям упражнения в) добавим требование, чтобы а = ! для всех с. Показать, что тогда 8 е1 (Л вЂ” с) = ).! Р (Л + Л с).
4) В обозначениях и предположениях п'! обозначим через псс пои рядок произведения з з и положим а, = — Ясов — '. Имеем асс =2 и, ис и и, и а (О, если с чь с (см, 9 3). показать с помощью предыдущего упражнения, что Х аы...ас оз! Х ° азс Ц (Х вЂ” 2 соз — '), с ! о, о, где лс, ..., си — показатели группы йг '). и " ' с ') Подробности можно найти в статье: Со хе1ег Н. 8, М., Т(се ргобпсс ос сйе иепега1огз ос а 1!ппе ягопр иепега(еб Ьу ге(!ех!опз, Риде Маги. 7., 43 (!95!), 765 — 782. ГЛЛВЛ Ч1 СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 5 1. Системы корней В этом параграфе й — поле нулевой характеристики, Начиная с п'3, предполагается, что й= И. 1.
Определение системы корней Лкммь 1. Пусть У вЂ” векторное пространство над й, )г — конечное подмножество в У, порождающее У. Для любого аеи ь(, а Ф О, существует салюе большее одно отражение э пространства У, такое, что э(а) = — а и э()г) =лг. Пусть 6 — группа автоморфизмов пространства У. оставляющая )г устойчивым. Поскольку Я порождает У, группа 0 изоморфна подгруппе симметрической группы множества Д и поэтому является конечной.
Пусть э, э' — два отражения пространства У, для которых в(а)=э'(а)= — а, э()с)=)т, э'(й)=)с. Тогда 1=ээ' принадлежит 6 и имеет, следовательно, конечный порядок пс. С другой стороны, имеем 1(а)=а и 1(х) хгаобйа для всех хкиУ. Поэтому на У существует линейная форма 1, такая, что 1(х) =х+1(х)а для всех х~ У и 1(а) =О. Индукцией по и получаем, что 1" (х) = х + п( (х) а для всех х ~ У. Полагая и равным т, видим, что т)(х) =0 для всех х ~ 1', откуда 1=0, с=1 н э=э'.
Опэкдклнник 1. Пусть У вЂ” векторное пространство над й и й — некоторое его подмножество. Будем говорить„что лг есть система корней (или корневая система) в пространстве У, если выполнены следующие условия: (СК~) Я вЂ” конечное множество, не содержащее нулевого вектора и порождающее пространство У; (СКн) для любого а сэ )с сушествует элемент ач дуального к У пространства У", удовлетворяющий равенству 178 Гл ть системы когнеи (а, ач)=2 и такой, что отражение э ч (гл.
Ч, 5 2) переводит )с в себя; (СКш) а'т()1) с Е для всех а я Д. Ввиду леммы 1 отражение з„,,> (а значит, и линейная форма ач) однозначно определяется элементом а, что придает смысл условию (СКц,). Положим г ч — — з, так что з„(х) =х — (х, а")а для всех хе= У. Элементы множества Е называются корнями (рассматриваемой системы). Размерность пространства У называется рангом системы.
Автоморфизмы пространства У, переводящие Е в себя, называются автоморфнзмамн системы )(>. Они образуют конечную группу, обозначаемую символом А(Е). Подгруппа в А(Е), порожденная отражениями э„, называется группой Еейля системы Е и обозначается символом В'(Е) или просто В'. Замечание 1). Пусть й' — расширение поля й.
Отождествим канонически У с подмножеством пространства У 19 й' и У с подмножеством пространства У*Э й'=(У 61 й')'. Тогда А> будет системой корнея в У ® й', а ач будут теми жс, что н ранее. Лвммл 2. Пусть )1 — система корней в У, и пусть (х ~у) — невырожденния симметрическая билинейная форма на У, инвириантная относительно Ж" (Е). Отождествим с У* при помощи этой формьи Тогда любой корень аенЕ будет неизотропным и ач = 2а (а)а) Это следует из формулы (4) гл.
Ч, $2, и'3. Пгндложвнив 1. Пусть Уа (соотв. Уа) — векторное (1-надпространство в У (соотв. в У*), порожденное векторами а (соотв. ач). Тогда Уа (соотв. Уч) является ч1-структурой на У (соотв, на У') (Алг. гл. 1, $8, п'1). Сужение на Уо ХУс1 канонической билинейной формы произведения У ХУ' позволяет отождествить каждое из пространств Уч, Уч с дуальным к другому. Множество Е является системой корней в Уч.
Если я = Тс, то существует скалярное произведение на У инвариантное относительно Ж'(Д) (Интегр., гл. ЧП, 5 3> и'1, предл. 1); лемма 2 утверждает тогда, что элементы а" порождают У'. Согласно замечанию 1), ач порождают У и в случае й=(1. Переходим к общему случаю. Положим Е=Уч. Ввиду (СКщ) каждый элемент аи отображает Е в ч), определяя тем самым элемент а ен Е*. Ясно, что 7 5 1.
СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 179 !~ — система корней в Е н что в Е' элементу а соответствует а. Как отмечалось выше, а порождают векторное пространство Е'. Рассмотрим канонический гомоморфизм Е Е®чк-ь)т и сопряженный к нему '1: )т'-+Е'®чу. Так как Е порождает )т, то 1 сюръективен и, следовательно, инъективен; но образ гомоморфизма '1 содержит элементы а, поэтому '1 сюръективен. Мы приходим к заключению, что 1 и '1 — изоморфизмы.
При их посредстве отождсствим 17 с Е®к, *т'" с Е'чтя, аР с а н (т~ с Е*. Таким образом, Р'а (соотв. )тч) становится Я-структурой на (соотв. на )т'). Сужение на Р'чХ(тч канонической билинейной формы произведения )т Х)т' отождествляется с канонической билинейной формой на Ек', Е', чем и доказано предложение. Замечания. 2) Благодаря предложению 1 изучение систем корней можно свести к случаю, когда к=Я. Замечание 1 обеспечивает, далее, возможность сведения к системе корней вешественного векторного пространства )та =(та ®а к. Ассоциированные с этими различными системами группы Вейля отождествляются канонически.
3) Так как а" порождают Г, то группа У'()с), рассматриваемая как подгруппа группы 61.(Р'е), является существенной (гл. Ч, 5 3, п'7). Кроме того, следствие теоремы: 1 гл. 7, 5 3, и'2, показывает, что единственными отражениями, содержащимися в ЯКЯ), будут э,. Предложение 2. Элементы аР образуют снстему корней в Г и аР ч = а для всех аен Е. Согласно предложению 1, ач удовлетворяют условию (СК,).
Так как э,,Р— автоморфизм векторного пространства наделенного системой Я, то (э,,ч) оставляет устойчивым множество й'т дуальных элементов ач, но (Е,,Р) =э ч „, а это и доказывает, что к'т удовлетворяет (СКН) и что аР ч =а. Наконец, (а7, й) ~ Е, каковы бы ни были аР ен Я'7 и вен Е, поэтому ЕР удовлетворяет (СКш). Система корней тс'т называется дуальной (или обратной) к Е. Видно, что отображение а~ — РаР является бнекцией Я на ЕР, называемой канонической биекцией Е на йч.
следует, однако, иметь в виду, что если а, () — элементы из Е, такие, что а+()ЕЕ Я, то, вообще говоря, (а+р) чна" +()ч. Так как э,(а) = — а, то в соответствии с аксиомой (СКИ) — Я=И. Очевидно, что ( — а)' = — аР и — 1енА(Е) (хотя не всегда — 1 се Ф'Я)). ГЛ. ЧЬ СИСТЕМЫ КОРНЕЙ Из равенства '(в, „) '=в,ч вытекает, что отображение и ~ 'и ' является изоморфизмом группы (т ()г) на группу (!Г()гч). Отождествим обе группы при помощи этого изоморфизма; иначе говоря, будем считать ((т(й) действующей как в У, так и в У'. То же самое относится к А(й). ПРедложение 3. Для х, ус= У пОлОжим (х ~у) = ~ (а" х)(ач, у).
я Тогда (х ! у) — невырожденная симметрическая билинейная форма на У, инвариантная относительно А()т). Если х, у ее УО, то (х |у) еи (г. Каноническое продолжение формы (х !у) на УН=УОЗагч будет снова невырожденной положительной формой. Ясно, что (х !у) — симметрическая билинейная форма на У. Если уев А()с), то (у(х)!у(у)) = Х ('у(а'), х>('у(а'), у) =(х !у), поскольку ('д) (1(ч) = !с~'. Если х, у ее Уч, то, согласно (СКш), (х ~ у) ее !л. Если г ен У„, то (г ! г) = ~ (а", г)г ) О, и ввиду ьяя предложения 1 (г!г) ) О для г Ф О, поэтому каноническое продолжение формы (х ~у) на Ук будет положительным и невырожденным. Будет невырожденным и сужение (х~у) на УО. Следовательно, форма (х !у) на У является невы- рожденной.
ПРедложение 4. (!) 11усть Х вЂ” подмножество в й, У» — порожденное им векторное подпространство в У, и пусть Ух — векторное надпространство в У'р порожденное элементами ач, где аенХ. Тогда У будет пря,мой суммой У и подпространства, ортогонального к Ух, а У будет примой суммой Ух и надпространства, ортогонального к У», причем / Ух отождествляется с подпространством, дуальным к (й) Пересечение )тПУх является системой корне~ в Ух, и каноническое биективное отображение 1с ДУ» на дуальную систему отождествляется с отображениел~ а ~ач, суженным на 1т ПУ». Благодаря замечанию 2 можно предполагать, что я =(с. Отождествим У с У' при помощи симметрической билинейной формы из предложения 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
