Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Следствие 3. Предположим, что система )1 — приведенная. В (г' существует единственный элемент ге, наибольшей длины, Еео длина равна числу положительных корней; эле,чент ьчь переводит камеру С в — С. Далее, ю'= 1 и 1(~оаь)= =-1(юь) — 1(ю) для всех ге е— : 'йт. Ясно, что — С вЂ” камера. Найдется поэтому единственный элемент геь ен Ю', переводящий С в — С. Тогда а,(а) < О для всякого положительного корня а, и первые два утверждения следствия 3 непосредственно вытекают пз следствия 2. Далее, ю~(С) =С, откуда ю',=1. Наконец, если ю ен 1Р', то длина 1(ю) (соответственно 1(юиь)) равна ввиду предложения 17 (ш) числу стенок, разделяющих С и ю(С) (соотв.
сиоь(С)= — ю(С)). Так как ы(С) и — ге(С) находятся по разные стороны от какой бы то ни было стенки, то сумма 1(ис) +1(ююь) равна общему числу стенок, т. е. длине 1(щь). Пгадложение 18. Пусть хек )т. Три еле)дощих свойства эквивалентны: 6) х е= С. (В) х>з,(х) для всех а ~ В(С) (в смысле отношения порядка, определенного посредством С). (1и) х> нт(х) для всех ю е— : )Р'. Поскольку э,(х) = х — (х, ач) а, а С является множеством элементов хе= )т, таких, что (х, ач))О для всех а е= В(С), эквивалентность утверждений (!) и (В) очевидна.
С другой стороны, ясно, что (ш)Ф(й). Покажем, что (1) Ф()И). Пусть х е— : С, н пусть ы е= )ч'. Проведем индукцию по длине 1(ы) элемента ге. Случай 1(гв) =О тривиален. Если 1(ге) ) 1, то ж 198 гл. ч!. системы кОРней можно записать в виде 1в = а1'з„, где а ~ В (С) и 1(ы') = =1(ьг) — 1. Тогда х — и1(х) = х — и1'(х) + и'(х — г,(х)). Из предположения индукции следует, что элемент х — 1с'(х) положительный. С другой стороны, ьэ' (х — з„(х)) = а1 (з„(х) — х) = — (х, а") а1 (а).
Но з„ен Т, и предложение 17, (11) гарантирует нам, что Ев(а) < О. Это дает нужный результат. Следствие. Для того чтобы хеиС, необходимо и достаточно, чтобы было х> и(х) для всех неединичных элементов а1 еи(()т. Пгвдложенне 19. Пусть ф1)1~1 „— последовательность корней, положительных относительно некоторой камеры С и таких, что 31 + рг+ ... + Є— корень. Тогда существует такая перестановка и еи С„, что 3„1н+ Р„, + ...
+ Р„111 будет корнем для всех 1'еи(1, 2, ..., и]. Учитывая, что предложение очевидно при и (2, рассуждаем по индукции относительно и. Положим 3=31+ ... +р„. л Имеем Х ФФ1)=(р1р) ) О, поэтому найдется индекс й, для которого (р~р») > О. Если р = 3», то и = 1, поскольку 31 ) О для всех 1. Если же это не так, то р — й„является корнем (п'3, следствие теоремы 1); в таком случае достаточно применить к р — р» = '„, р1 предположение индукции. 1Ф» Слидствие 1.
Пусть ае.= Я+(С). Для того чтобы а~ В(С), необходимо и достаточно, чтобы корень а был суммой двух положительных корней. Если а — сумма двух положительных корней, то по теореме 3 а~ В(С). Если аФВ(С), то снова по теореме 3 л а = ~1 9» с р»еи В(С) для всех 1г н и- 2. Переставляя р», »-1 » — 1 можно добиться того, что ~ р» будет корнем (предложе»=1 ние 19) и, следовательно, а будет суммой положительных и-1 корней ~ й» н й . 1'=.1 Следствие 2. Пусть 91 — отображение В в кочмутативную группу Г, обладающее следующими свойствами: 9 ч.
системы кОРней !99 1) ф( — а)= — ф(а) для а е= )г; 2) если ае= Я, (>ее Л такова, что а+() е= )т, то ф(а+8) = = ф(а) + ф(р). Пусть Я вЂ” подгруппа в У, порожденная системой Я. Тогда ф можно продолжить до гомоморфизма 1г в Г. Пусть  — какой-нибудь базис системы )г, и пусть >)> — единственный гомоморфизм (г в Г, совпадающий с ф на В. Достаточно доказать, что >Р(а) = ф (а) для любого корня а, положительного относительно В. Имеем а= = ~3, + ...
+ р с (); ~ В для всех 1 и (3, + ... + 9„~В >т для любого й (предложение 19). Индукцией по гп докажем, что >Р (а) = ф (а). Это очевидно, если и> = 1. Предположение индукции дает ф(р + +р -)=ф(р + . +6 ->) н ф(р )=ф(р ), откуда ф(а)=ф(а), чем и доказано следствие. Для любого корня а= ~ па() системы )г обозначим а а(с> через У(а) множество тех бее В(С), для которых и Ф О. Заметим, далее, что В(С) отождествляется со множеством вершин графа системы Кокстера, состоящей из %' Я) и образующих з, (гл, 1Ч, $ !, п'9, и гл.
Ч, 5 3, и'2). Следствие 3. а) Пусть а~ )г. Тогда У(а) является связным подмножеством в В(С) (гл. 1Ч, Дополнение). б) Пусть У вЂ” непустое связное подмножество в В (С). Тогда 2~ р принадлежит )Р. р~т При доказательстве а) можно предполагать а положительным. Утверждение тривиально, если Сагд (У(а)) = 1, поэтому далее рассуждаем по индукции относительно Сагд(У(а)). Ввиду предложения 19 существует 8~ В(С), для которого а — р я)т.
Пусть р — наибольшее целое число ) О, для которого у=а — р)>ее)1. Так как у — 9 ей)г', а у+риге)г', то (у ~))) Ф О (предложение 9); следовательно, р соединено по крайней мере с одним элементом множества У(у). Но У(а) = У (у) () (р) и У(у) связно по предположению индукции.
Поэтому У(а) связно, чем и доказано а). Пусть теперь У вЂ” непустое связное подмножество в В(С); докажем индукцней по Сагд (У), что ~ р — корень. Случай, аат когда Сагд(У)(~1, тривиален. Предположим, что Сагд(У): 2. Так как (Ф'Я), Ю) — лес (гл, Ч, $ 4, п'8, предложение 8), то У вЂ” дерево, обладающее концевой вершиной () (гл. 1Ч, До- ГЛ. Ч1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ полнение).
Множество Т вЂ” (6) связно, и его элементы соединены с(!. По предположению индукции а= ~ у~Я, и так как (а !6) < О, то имеем а + й ~ !с (теорема 1). Ч. Т. Д. 7. Замкнутые множества корней Опэеделение 4. Пусть Р— подл1ножество в )с. (1) Р называется замкнуть1м, если условия а ец Р, () с: =Р, а + р ~ Рс влекут а + (! ~ Р. (!!) Р нозьчвается параболическим, если Р замкнуто и Р () ( — Р) = !1.
(ш) Р называется симметричным, если Р= — Р. Лемма 3. Пусть С вЂ” камера системы П и Р— замкнутое подмножество в Я, содержащее й+(С) (обозначения пэ6). П усть, далее, Х = В (С) П ( — Р) и Я вЂ” множество корней', записываемых в виде линейньсх комбинаций с целыми коэффициентами (О элементов из Х. Тогда Р= Я+(С)() !е.
Нужно доказать, что РГ)( — Я+(С))=Я. Г1усть — ась(!. Тогда а будет суммой и элементов из Х. Индукпией по и убедимся в том, что — аепР. Это очевидно, если и=-!. При и ) 1, пользуясь предложением 19, и'6, можно записать а=6+ у, где уеиЕ и (! — сумма и — 1 элементов из Х. По предположению индукции — !»ЕцР; так как — у АР и Р замкнуто, то и — а~ Р. Поэтому сг с РГ)( — Я„(С)). Обратно, пусть — а си Р()( — тс+(С)). Тогда а — сумма р элементов из В(С). Индукцией по р убедимся в том, что — аепЯ.
Это очевидно при р=1, а прв р) 1, пользуясь предложением !9, можно записать а = 6+у, где у ~ В (С) и 6 — корень, являюсцийся суммой р — 1 элементов из В (С). Так как — у=и+( — а) и Р замкнуто, то — у си Р и, следовательно, у с: =х. С другой стороны, — (! = у+ ( — а), следовательно, — 6 = Р, поскольку Р замкнуто. По предположению индукции — йя1,1, поэтому — а= — 6 — у~Я, так что РП( — )с+(С)) с: Я. ПРедложение 20. Пусть Р— подмножество в Я.
Следующие условия эквивалентны: (1) Р параболично; (й) Р замкнуто, и Р:» Р+(С) для неко~арой камеры С системы 1с; (ш) существуют камера С системы П и подмножество Х с:. В(С), такие, что Р будет обьединением П+(С) и множества 1;! корней, являющихся линейными комбинациями с целыми коэффициентами (О элементов из Х. (!!) =~(ш). По лемме 3. $ х системы когнаи 20! (!!!) ~(1). Примем условия и обозначения условия (Я!). Ясно, что Р()( — Р)=Л.
Пусть а, 6 — элементы из Р, для которых а + р ен В докажем, что а +(! ~ Р. Это очевидно, если корень а+ !! положительный. Предполагая теперь а+(! отрицательным, мы запишем а+(1= ~ и у с пч(0. Но э~э~с! в а и р коэффициент при любом элементе уен В(С) — Х будет )О; если, следовательно, у~В(С) — Х, то п„=О, откуда а + р ~ Я с: Р. (!)Ф(!!). Предполагая множество Р параболическим, выберем камеру С, для которой Сагд(РД)!+(С)) принимает наибольшее возможное значение.
Пусть аеи В(С) и а ~Р, так что — аен Р. Никакой элемент (! еп Р() й+(С) не пропорционален а (ибо из р = 2а в силу замкнутости Р следовало бы а = 2а+ ( — а) ен Р). Поэтому э,(р) е= )с+(С) (и'6, следствие 1 предложения 17). Стало быть, положив С' = э„(С), получаем Р = э,„(э,„(!3)) гн э,„Яч (С)) = Р+ (С'). Таким образом, Р () В+ (С) с: Р Д )!+ (С').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
