Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть о — полусумма элементов Р 0 системь1 Р" (относительно Вч). Сумма координат любого элемента а ~ (т относительно базиса В ровна (а, о). Если а ен Я, то эта 1 сумма равна также — э п(а, р). 2 .ь1 а а Я„1С1 систгмы когнеи 211 Поменяв ролями гЧ и ге~ в предыдущих рассуждениях, получим при любом а еи В соотношение (а, о) = 1, эквивалентное нашему следствию. 11. Преобразование Кокстера Пусть С вЂ” камера системы гг', (а„..., аг) — соответствующий базис в Я, и пусть с =э, ... э,. Элемент с еи Ят называется преобразованием Кокстера группы Ю', определенным камерой С и биективным отображением г а~ (гл. Ч, 2 6, и'1). Его порядок й называется числом Кокстера группы йт (или системы Р), Првдложвнин 30.
Предположим, что система гг неприводима. Пусть т — целое число, заключенное мемеду 1 и гг — 1 т 2йпп 1 и взаимно простое с и. Тогди ехр( „) является собственным значением преобразования с кратности 1. (В частности, т — один из показателей группы !Г; ср. гл. Ч, $ 6, и'2.) Докажем сначала одну лемму. Лнммх 4. Характеристический многочлен любого элемента ш ~%' имеет целые рациональные коэффициенты.
Известно (и'6, теорема 3), что подгруппа Я(гс)~)г порождена базисными элементами (а„..., а) системы Я. Так как ю оставляет устойчивой (г(гс), то его матрица относительно (а,, ..., аД будет иметь целые коэффициенты; стало быть, тем же свойством обладает и характеристический м ногочлен. Пусть Р— характеристический многочлен элемента с. Только что приведенная лемма показывает, что коэффициенты Р целые.
В соответствии с следствием 2 предложения 3, гл. Ч, $ 6, и'2 примитивный корень гг-й степени из т 2тн ! единицы г=ехр~ „) будет простым корнем многочлена Р. Все сопряженные с г над Я будут также простыми корнями Р. Но известно '), что все примитивные корни и-й степени из единицы сопряжены над б!. Поэтому они все являются простыми корнями многочлена Р, чем и доказа но предложение. Првдложвник 31. Предположим, что систе.на тс — неприводимая и приведенная, и пусть () = п,а, + ... + и а~ — ее максимальный корень (см.
и'8). Тогда и, +... + а~= гг — 1. ') Сн., например, С. Л е н г, Алгебра, „Мир", !988, гл. ЧШ, й 3.— Прим. ред. Гл. че системы кОРнея !т 212 Пусть ߄— множество корней, положительных относительно С. Имеем (и'10, следствие предложения 29) и,+ ". +п(= —.„',(', .(й )=1+ —, 1 1 а а я+ У .е,)= а~Я„,ач а (а Ю) (а1а) ' а~я+,абаз Ввиду предложения 25, (!ч), и'8, п(а, 6) =О или! для а ен )( з 4(а(Р)' 2(ч(()) н а ~(), поэтому п(а, (1)е=п(а, р), т. е. (Р ! ())! (Р ) (1) Отсюда (а (р)! вы я+. ч рва я Согласно следствию теоремы ! из гл. Ч, $6, п 2, '~' ~+~)))'=дев ажд откуда и, + ... + а!+ 1 = й.
Пусть !(' — множество корней, не пропорциональных и не ортогональных а. Согласно следствию теоремы 1 из гл. ((', $6, и'2, (а (а)-+ (а ! — а)" + ~э (а (й)г = )! (а (а)х, в=я т. е. (а (6)' = (/г — 2) (а) а)'. а а я' Как показывает список нз и'3, (а(6) =- н: —,(а(а) для 8 ~ Г. 2 Следовательно, — Саг!(Я'=й — 2, Сат!1Р'=4п — 8, 1 и число корней, не ортогоиальных а, равно Сатд тс'+ 2=4Л вЂ” 6. ПРедложеннг: 32.
Предположим, что системи !с непрнво димо и что все корни и.меют одну и ту же длину. Пусть а ен й. Тогда число элементов системь! 14', не ортогональных а, ровно 4/г — 6. % ь системы кОРнеЙ 2!З ПРедложение 33. Допустим, что система 1» — неприводимая и приведенная. Положим з„=з,, и «бозначим через Г подгруппу в Ф, порожденную элементом с=э, ... зь (!) Пусть 6, = з з,, ... з;~, (а,) (1= 1, ..., 1). Тогда 6; > О, с(6с) ( О.
(!!) Если а — корень > О, для которого с(а) < О, то а совпадает с одним из 6,. (ш) Се.чейство (6;), <, <, есть базис группы Я()7). (!ч) Пусть О, — орбита элемента 6; относительно Г, Множества 11~ попарно не пересекаются и исчерпьчвают все. ороиты Г в 1»! в каждой из них й элементов. Заметим сначала, что (зо ..., з~) — приведенное рпзложение элемента с (гл. 4, $ 1, и'1) относительно множества 3 отражений зи Действительно, в противном случае нашлось бы подмножество Х=З вЂ” Я из 1 — 1 элементов, такое, что с ~ Ч7»; но тогда было бы з; св Р'», что противоречит следствию 2 предложения 7 из гл.
1Ч, $1, и 8. Применяя к с=э, ... з, следствие 2 предложения 17, и'6, получаем утверждения (!) и (В). Пусть 9~ — подгруппа в Я(к), порожденная корнями ар 1) 1. Немедленно проверяется, что Я, инвариантна относительно зн ! > 1, и что зь(а~) = а, той Я; для 1) 1. Следовательно, 6~ = зс зьы (а;) = а~ той !гь Другими словами, существуют целые числа спь такие, что 6~ =ар+ хг снап ))г а это не что иное, как утверждение (1!1). Наконец, пусть а — корень.
Элемент ~ сь(а) ииварнан- 1=0 тен относительно с и, следовательно, равен нулю (гл. Ч, $ 6, и' 2). Значит с (а) не могут быть все одного и того же анака, и найдется такой индекс й, что сь (а) ) О, а с'+'(а) < О. Согласно (й), с (а) совпадает с одним из 6;.
Стало быть, любая орбита подгруппы Г в Д будет одной из оь Продолжим, далее, (х!у) до эрмитовой формы на К !Э С. В соответствии с замечанием из гл. Ч, $ 6, п' 2, существует такой /2ьп '1 элемент ге:-К!В С, чтос(г)=ехр~ —,! з, причем (у !Е) ~ О для всех у ~1», Если се(а)=а, то (г)а)=(г!сг(а)) =(с Р(з))а) =ехр(, Р) (г!а), гчч. тк системы кОРней тг, 214 откуда ехр1 ) = 1, и р = — О пзос( й.
Это показывает, что ! — 2спр 1 й орбита элемента а содержит В элементов. По теореме 1, (И) гл. Ч, 2 6, п' 2, общее число орбит Г в )с будет, таким И образом, равно — =1. В итоге получаем, что Я, попарно й не пересекаются, Тем самым доказательство ((ч) закончено. 12. Каноническая билинейная форма (как мы уже знаем (п' 1, предложение 3), симметрическая билинейная форма (х, у) ь-м В (х, у) = ~' (ач, х) (ас у) «я Но (а, о (х)) = В, (о (а), о(х)) = Ф (а, х) Отсюда я Ф (х,у)= ~ Ф (а,х)Ф,(а,у). «ея (16) Учитывая предложение 7, и' 2, мы приходим к заключению, что Ф я единственная ненулевая симметрическая билинейная форма, ннвариантяая относительно Ят()7) и удовлетворяющая тождестиу (16).
Для 6 си )с формула (16) дает Фя (р,()) = (~~~ Ф (а, Р)з = — Ф (Р, р)' ~) и (а, (Оз, «я 4Фя(р, Р) 1= ~ и(а,р)'. откуда (17) В то же время по лемме 2, п* 1, для х, у ш 'т' имеем В (ку)= ~Ь Ф (Ф, к)Ф ( —, у) аыя = 4 ~~~ Ф,(а, х) Ф (а, у)Ф (а, а) на )с является невырождениой и инвариантной относительно Л я). Поменяв роляии Р и В~, мы видим, что симметрическая билинейная ф«Рма (х', У*) т-в- В зс (к', У") = У~ (а, х') (а, У') иа У' тоже ЯвлЯетсЯ язс «ея невырожденной и навариантиой относительно А (Ф. Обратная форма для В о (соотв. В ) на т' (соотв.
(с') называется я ' я канонической би шлейной формой на )с (соота. )с") и обозначается через Фя (соотв. Ф „). Она невырождена и инвариантна относительно А(В). яч Пусть о — нзоморфизм )с на Р', определенный формой В . зсля х, у~)с яч. справедливо соотношение Ф (х, у)=В, (о(к), о(у)) = ~я~~, (а, о(х)) (а, о(у)). «ня 4 2. АФФИПНАЯ ГРУППА ВЕИЛЯ Стало оыть, если система й иеприводпх«а, то найдется такая константа УИ)>0, что л (а, х) Фл (о, у) фл (н н)-2 т(!2) ф а«э и По определению т(к) имеем В (х, у) =4у (!««) Ф (х, у), поэтому и Ф, (х, у ) =(4у(2()) ' В У(х*, у ) для х", у' ~ У*.
Этим доказано пре«кде всего, что у(!«) = У(!«~). Далее, для р «и )! получается Ф У(рч ро)=(4у(Л)) ' т (р~,а)т=у()«) ' аыл а«э я или ввиду (!6) ф (()у ру),(й)-«ф (р р)-2Ф (р р), окончательно Фл(р, р)флу (рн, рн)=т(я)-'. («9). Если сверх того все корни системы «2 одной и той же длины Х относительно Ф, то формулы (!6) и (!6) показывают, чтз 7(к) =А (20) Если, далее, А — число Кокстера группы Чг, то, квк утверждает след- ствие теоремы 1 из гл. У, $6, п' 2, а «2 АФ (х,х)= ти Ф «х,— ! для всех хыУ. Сравнивая это с формулой (!6), видим, что Х = ь — у«и 7 (г) = Аз.
(2!) Наконец, из формулы (!9) следует, что корин системы к~ будут также длины )Ь относительно Ф лч. 5 2, Аффинная группа Вейля В этом параграфе (за исключением и' Б) через Р обозначается приведенная система корней в вещественном векторном пространстве У. Группу Вейля системы )с обозначим символом (г'; отождествим ее с некоторой группой автоморфизмов дуального к У пространства У' 5 1, п'1) и снабдим У* скалярным произведением, инвариантным относительно ((У. Пусть Š— аффинное пространство, ассоциированное с У*; обозначим через г(о), о ен У*, перенос пространства Е на вектор о.
Наконец, через Р (соотв. Я) обозначим группу переносов, векторы которых принадлежат группе весов Р(йу)(соотв. группе радикальных весов Я()го)) системы корней )су, дуальной к «с. 2>6 гл чь системы коенеи 1. Аффинная группа Вейяя Для а~ Р и й си г. пусть 1.„ь — гиперплоскость в Е: Е, ь = (х еи Е ~ (а, х) = я), и пусть з,,ь — ортогональное отражение относительно Е„ ы По определению, з„ь (х) = х — ((а, х) — й) ач = з„, е (х) + йам для всех хеи Е. Иными словами, з, „=1(йач) ° з где з, — ортогональное отражение относительно гиперплоскости Е,=).„ы т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
