Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(ш) =р (й). Это вытекает, скажем, из предложения 1, 9 1, и' 1. (!у) 4у(!!!). Пусть 6' — группа, удовлетворяющая условию (1У). Подгруппа переносов в 6' имеет ранг 1, а 0 является специальной точкой для 6', как это следует из предложения 9 гл. Ч, $ 3, и'!О. Предложение 8 утверждает, что существует приведенная система корней Вз в у', такая, что 6' отождествляется с (Р',(В„); группа 6 будет тогда группой Бейля системы корней, дуальной к !с„.
(!) =)~(!У). Предположим, что 6 оставляет устойчивой дискретную подгруппу М с: у' ранга !. Для любого отражения з ея 0 включение з(х) — х я М справедливо, каково бы ни было хек М, поэтому прямая В„ортогональная к В„ пересекает М, Пусть а„— а, — образующие циклической группы ВРПМ. Множество Л всех ау и — а, устойчиво относительно 0 и, следовательно, порождает подгруппу М' с:. М, устойчивую относительно 6; дискретная группа М' будет ранга 1, потому что 0 существенна. Пусть 6' — группа аффинных преобразований )т, являющаяся полупрямым произведением 0 и группы переносов на векторы, принадлежащие М'.
Обозначим через 0', подгруппу в 6', порожденную отражениями из 6'. Доказательство будет завершено, коль скоро мы установим, что 6', = 6'. Прежде всего 6',:э 6, поскольку группа 6 порождена отражениями. Далее, для любого отражения з с: 6 пусть 1, — перенос на вектор а,. Преобразование з ° !,.
будет отражением и з = !Уея6', стало быть, 1, есть произведение двух отражений из 6'. Будучи справедливым для любого отражения з с:. 6, это замечание показывает, что все переносы на векторы, принадлежащие М', содержатся в 6(. И З .ЗЬН.ВИА А ГЛ. Рь СИСТЕМЫ КОРНЕЯ 226 Опгеделение 2. Группа 6, удовлетворяюи1ая эквивалентньсм условиям предложения 9, называется кристаллографической группой.
Замечание 2). Пусть 6 — конечная группа, порожденная отражениями и существенная. Для того чтобы 0 была кристаллографической группой, необходимо н достаточно, чтобы любой элемент ее матрицы Кокстера был равен одному из чисел 1, 2, 3, 4, 6. В самом деле, в соответствии с замечанием 3) из $1, и'6, это условие необходимо. Достаточность условия вытекает из классификации конечных групп Кокстера, которая будет приведена в 5 4 (непосредствен-, ное доказательство см. в гл. Ч, $4, упражнение 6), 5 3. Эксноненциальные инварианты В этом параграфе буквой А обозначается коммутативное кольцо, не сводящееся к 0 и обладающее единичным элементом.
1. Алгебра свободной коммугативнвй группы Пусть Р— свободный Х-модуль конечного ранга 1. Обозначим через А[Р] (групповую) алгебру над А аддитивной группы Р (А1у., сйар. Ш, 3' ед., $2, п'6). Для любого р ~Р обозначим символом еР соответствующий элемент алгебры А[Р]. Тогда (е'), Р будет базисом А-модуля А[Р] и при любых р, р'~ Р будут выполняться соотношения е'еР',=еР+Р', (еР) '=е — Р, ее=1. Лемма 1. Допустим, что кольцо А факгориально (Ком.
алг., гл. ЧП, $ 3, и' 1, определение 1). (1) Кольцо А[Р] факториально. (й) Если и, о — непропорциональные элементы из Р, то элементы 1 — е", 1 — е' алгебры А[Р] взаимно просты. Пусть (ри р,,..., р,) — базис группы Р и Хь Х, ..., Х,— 'переменные. Тогда А-линейное отображение кольца А[Х»... ..., Х» Х~ ', ..., Х~ '[ на А[Р], переводящее Х", Х"ь ... Х",' (где п„пь ..., п~ еи к) в е" '+ '" ~"р', является изоморфизмом колец. Но А [Х„..., Х,] — факториальное кольцо (Комм.
алг., гл. ЧП, 5 3, п'6), а так как А [Х»..., Х» Х,,..., Х~ ]— кольцо отношений (дробей) кольца А[ХИ ..., Х,], то и оно факториально. Пусть Р' (соотв. Рч) — множество элементов из Р, кратные которых принадлежат си+ Хо (соотв. Еи). Тогда Р~Р' 2 Э Х ЭКСПОНВНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 227 и Р'~Р" будут группами без кручения, так что существуют некоторое дополнение к Р" в Р' и некоторое дополнение к Р' в Р. Существуют, следовательно, базис (г„г„..., г,) Х-модуля Р и целые рациональные числа /, т, и, для которых и=/г„с=тг, +пг,, /) О, п>0. Положив Х/=е'/ для 1(/'(!, будем иметь 1 — е = 1 — Х/„1 — е = 1 — Х, Хг.
Пусть К вЂ” алгебраическое замыкание поля частных кольца Л, так что Л [Р) отождествляется с некоторым подкольцом кольца В = К[Х/, ..., Х/, Х, ', ..., Х/ [. Для любого корня /-й степени из единицы г элемент 1 — гХ, экстремален в К[Хи ..., Х/[; кроме того, идеал, порожденный 1 — гХН не содержит ни одного одночлена от переменных Хь Мы делаем заключение, что идеал (1 — гХ,)В кольца В есть простой идеал высоты 1 (Комм. алг., гл.
(7П, $1, п'6), значит, элемент 1 — ЕХ, экстремален в В. Поэтому экстремальные множители в В элемента 1 — Х/ имеют вид 1 — гХН / Но ни один из этих множителей не делит 1 — Х/Хг в В (ибо гомоморфизм /' В-+ В, для которого / (Х/) = г ', / (Х/) = =-Х, при /) 2, удовлетворяет соотношениям /(! — ЕХ/)=0 и /(! — Х/Хг)=! — г Хг ФО). Итак, 1 — Х// и 1 — Х",Хг взаимно просты в В. Стало быть, общий делитель в Л[Р) элементов 1 — Х[ и 1 — Х~ Хг обратим в В, т. е.
с точностью до умножения на элемент вида Х, Х,,~ ... Х,/ равен некоторому элементу а~А; вдобавок а — делитель 1 в А и, значит, обратим в А. В конечном счете ! — Х, и ! — Х, Х, оказываются взаимно простыми / т и в 'А [Р[. 2. Случай еруппы весов; максимальные члены Сохраняя обозначения предыдущего пункта, мы рассмотрим приведенную систему корней )г в вещественном векторном пространстве )7.
В этом параграфе в качестве Р будет взята группа весов системы Я ($1, и'9). Группа В'=-В'(/() действует на Р, а поэтому также и на алгебре А[Р]; именно, н/ (еР) = е /Р/ для и е )Р' и р ен Р. Пусть С вЂ” какая-то камера системы Я ($1, п'5) и В= =(а;)... — соответствующий базис. Введем на !7 (а следовательно, и на Р) структуру порядка, определяемую камерой С. Соотношение р ) р' для элементов р, р' ~ Р справедливо тогда и только тогда, когда р — р' есть линейная комбинация с положительными коэффициентами корней а/. гл уе системы когиен 228 Опэеделение 1.
ГГусть х = ~ хьеь — элемент алгебрь! Л [Р|. раР Множество Я тех р ~ Р, для которых хр Ф О, называется носителем элемента х, а множество Х максимальнь!х элементов из Я вЂ” его максимальным носителем. Говорят еи)е, что хееь для ренХ есть максимальный член элемента х. Лемма 2. Пусть «енА[Р1, и пусть (хреР) „— семейство максимальных членов элемента х. При данном де: =Р пусть у — элемент из А[Р], для которого еч — единственный максимальна!й член.
Тогда семейством максимальных членов произведения ху будет (хре~+~) Положим х= ~хэеР, у=~ус' и ху=.~~а!е'. По усло- Р ! вию г(д для всех генР, таких, что у,ФО, и х!= ~, х,у,. р+г=! Если 1= р + о = р'+ г с р ен Х и хР у, Ф О, то г < а, откуда р') р и, следовательно, р'= р. Поэтому грь =х у = =хе Ф О. Это показывает, что Х+ а содержится в носителе произведения ху. С другой стороны, если 1 = р' + г с хр у, Ф О, то найдется элемент реп Х, такой, что р'<р, и 1<р+ !). Значит, максимальный носитель произведения ху содержится в Х+ а.
Так как два элемента из Х+а не сравнимы, то получается, что Х+ а есть в точности максимальный носитель произведения ху. Но, как мы уже видели выше, х +, — — хР для ренХ, чем и завершается доказательство леммы. Замечание. Так как максимальный носитель элемента хФ О не пуст, то лемма 2 показывает, что х ~ О влечет худ О всякий раз, когда у обладает единственным максимальным членом вида еч. 3. Антиинвариантные элементы Сохраняя обозначения предыдущего пункта, будем обозначать через е[!с) определитель элемента ы е= ))т. Имеем е(и!) =( — 1) ' ', где длина 1[и!) берется относительно семейства отражений з„г Опэеделенив 2. Элемент х~Л[Р) называется антиинвариантным относительно ))т, если !с (х) = а (и!) .
х для всех и! ен й7, $3. зкспонвнцикльные инВАРикнты 229 Днтиинвариантные элементы алгебры А[Р] образуют А- подмодуль в А [Р], Для любого хан А[Р] положим У(х) =,'5~ е(и!) ° и!(х). Каковы бы ни были хси А[Р] и и! ен ЯГ, имеем ги(У(х)) = ~ е(о). во(х)=е(и!) хл е (о). о(х)=е (!с)' У(х), юя !р Ое!т так что У(х) — антиинвариантный элемент. С другой стороны, пусть у= Сагб()Р'). Для любого антиинвариантного элемента хез А[Р] справедливо соотношение У(х) =в х.
Отсюда следует, что при в, обратимом в А, отображение д !У является проектированием А [Р] на подмодуль антиинвариантных элементов. Пусть й„..., й, — фундаментальные веса, соответствующие камере С. Элементами из РПС (соотв. РПС) будут веса вида п!й!+ ...
+п,йь где п!>О (соотв. и! > О) для 1(!'(1 ($ 1, и'10). Далее, р=й, + ... +й! есть полусумма положительных корней (там же), и элементами пересечения Р() С будут также веса вида р+ р с р Р() С. Наконец, если р~ РПС, то !е(р) < р для всех щ Ф 1 5 1, п'6, следствие предложения 18) и, следовательно, еР— единственный максимальный член элемента у(ер).
Предложение 1. Если 2 не является делителел! нуля в А, то элементы У (еР) для р ен Р() С образуют базис модуля антиинвариантных элементов алгебры А [Р]. При и ен (Р' и реп Р()С веса и!(р) попарно различны. Отсюда следует, что элементы У(еР) для р енРДС линейно независимы. Пусть теперь х хл хре — антиинвариантный элемент алгебры А [Р]. Если вес р, принадлежит какой-нибудь стенке, то он инвариантен относительно некоторого отражения зенВ и ~чз„х ер(р! р Получаем 2хр,=О, откуда х,=О. Любой элемент, не принадлежащий ни одной стенке, записывается однозначным образом в виде ш(р) с гвен(р и р я РИС.
Следовательно, х= ~~ ~2~ х ! >е' <р!. (2) ратас ви!р гл. еь систзмы корнаи 230 Ъ1 Так как в(х) = ~чз„х,е 'р~=0(в) ~х,ер, то х „,=е(0е) хр, и р р из (2) видно, что х = ~~ хрУ (еР); рарпс тем самым доказательство завершено. Г! Рассмотрим теперь элемент й алгебры А ! — Р1, опреде- !2 ленный соотношением Ц (Еа(0 Е я) = аая, а>0 =ер Ц (1 — е- )= абая, а>0 = е-Р Ц (еа — 1) аня. а>0 (3) Так как з; пооождают Ф', то этим доказано первое утверждение в (!). Второе утверждение в (1) немедленно вытекает из (3) и леммы 2 с учетом того факта, что 1 — единственный максимальный член элемента 1 — е " при аеп Ус, а) О.
Предположим на время, что А=У. Ввиду предложения 1 имеем й= „'~~ с У(ер) с сре=Х. Р РПС (4) Так как ря Р, то йен А!Р!. Птвдложвнив 2. (1) Элемент й„олределенный соотношением (3), есть антиинвариантный элемент алгебры А(Р); его единственным максимальным членом (п' 2, определение 1) является еа, и А= У(е"). (В) !Ури любом ре= Р элемент У(еР) однозначно делится на й и дробь У (еР)!й является элементом алгебры А 1Р), инвариантным относительно )р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
