Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(ш) Если 2 не является делителем нуля в А, то умножение на й будет биективным отображением множества элементов из А !Р), инвариантных относительно (т', на множество антиинвариантных элементов алгебры А [Р!. Известно, что при 1(1(! отражение з,=з, оставляет устойчивым множество положительных корней, отличных от ао и что з,(а;)= — а, ($1, и'6, следствие 1 предложения 1?). Поэтому з0(а)=(е ' — е ' ) ° л,0 (е — е )= а~я, а>0, а Фа,. = — й=е(з;) а, э 0 з. экспонвнцизльныв инва ихнты 23! С другой стороны, нетрудно видеть, что !(=е" + ~~з„с,е'.
а<0 (5) Если р ен Р() С с р Ф р, то Р > р, и коэффициент при еа в 0( будет равен нулю, как это явствует из (5). Поэтому с =О. Далее, сравнение коэффициентов при еа в (4) я (5) показывает, что с„=1 и, следовательно, и'=У(еа). По-прежнему мы предполагаем, что А = Е. Пусть р ~ Р, а ~ Р и М вЂ” система представителей правых классов группы 112 по подгруппе (1, з,). Имеем у(Е') = ~~ З(!Э) Е" !0!+ ~ Е(аан!) Е'ав!а!. в вМ ввМ Но з,в(р)=п!(р) — (а'~, ж(р)) а=и!(р)+п а, где и ен Е. Значит, У(Е0)= ~ Е(!а)вв~~~(! — аав'). Обратимся теперь к общему случаю.
Расширяя кольцо скаляров с Е до А, мы получаем из предыдущего„что !У= = У(еа) и что всякий элемент У(е') делится на Ы. Поскольку !У допускает еа в качестве единственного максимального члена, замечание из и'2 показывает, что существует лишь один элемент уенА(Р), для которого У(е")=0(у. Отсюда тотчас получается, что у инвариантен относительно )(т, поскольку !у и У(е') антиинвариантны. Этим доказаны (1) и (!1). Наконец, если 2 не является делителем нуля в А, то замечание из и'2 н предложение 1 влекут (ш).
Замечания. 1) Если 2 не является делителем нуля в А, то, как легко проверить, г( — единственный антиинвариантный элемент кольца А(Р), допускающий еа в качестве максимального члена. 2) Лемма 2, и'2, показывает, что единственным максимальным членом дроби У(еа)у0( (для Р ~Р() С) будет е0-0. Ясно, что 1 — е" " при и >О делится на 1 — г'; то же самое верно и при и ( О, поскольку 1 — е"в"= — е"в'(1 — е "в ). Следовательно, У(е') делится в У,[Р) на 1 — е".
По лемме 1 кольцо Х(Р) факториально, а элементы 1 — е' при не= )с, а > 9, попарно взаимно просты. Отсюда следует, что У(е') делится в У,(Р( на произведение П (1 — е ) и, а>0 стало быть, на !У=е-' П (е" — 1). а>0 232 Гл. чь системы корнея 4. Инвариантные элементы Пусть А1Р)~ — водалгебра в А1Р), состоящая из элементов, инвариантных относительно (Р'. Обозначим через (У'. р орбиту точки рве Р относительно ((у, а через 5(ер)= ~~'„, еч ежи.р сумму различных образов элемента е" при действии ((т; это будет инвариантный элемент. Если реп Р()С, то 1с(р)«='р для всех 1сен(т" $1, п'6, предложение 18) и ер — единственный максимальный член суммы Я(ер). Пусть х=~з~хрегенА(Р]; очевидно, х м1=хр при всех р р е= Р и всех а ен (Ут.
С другой стороны, любая орбита группы Ч7 в Р пересекает РПС в одной и только одной точке ($1, п'5, теорема 2). Следовательно, х = ~ хр5 (ер). (6) р~рпс Получается Леммл 3. А-модуль А(Р)и' допускает в качестве базиса семейство сумм Я(еР) для рея РЯС. Более общо, справедливо Пввдложение 3. Для любого реп РЯС обозначим через х„ элемент из А1Р)зт, обладающий единственным максимальным членом еР. Семейство (х ), рг — будет базисом А-модуля А Я1т. Докажем сначала одну лемму.
Леммл 4. Пусть 1 — упорядоченное множество, удовлетворяющее следующему условию: (МИН) Всякое непустое подмножество в 1 содержит минимальный элемент. Пусть Š— А-моддль, (е1)1, — его некоторый базис и (хз),, — такое семеиство элементов из Е, что х, =е1+,г, а„е~ 1<1 для всех 1'гн1 (с а11Е=А и с.конечны,и носителе.ч сел1ейстеа (аа) при всех 1). Тогда (х;), будет базисом А-модуля Е. Для любого подмножества Хс:1 пусть Ег будст подмодулем в Е с базисом (е;)1ч т Пусть, далее, Š— множество подмножеств 1~1, обладающих двумя следующими свойствами: З к экспоненциьльные инвлеилнты тзз (а) если !'(! и ! я1, то Уев 1; (б) (х~), — базис подмодуля Ем Непосредственно проверяется, что Ь упорядочено по включению, индуктивно и непусто.
Следовательно, оно обладает максимальным элементом 1. В случае 1~1 возьмем за !ь минимальный элемент в ! — ! и положим 1'=1()(! ). Всякий элемент ! ен 1, такой, что ! < (ь, принадлежит тогда 1; отсюда заключаем, что 1' удовлетворяет условию (а). Далее, 1' удовлетворяет условию (б), ибо е =х. — ~~'.~ а. е. и ~ ! .
н! /<и Следовательно, Р сна, и мы получили противоречие. Значит, 1=1, а это и доказывает лемму. Докажем теперь предложение 3. Применим лемму 4 к множеству 1=РИС. Пусть ден1, и пусть 1р — множество рай!, таких, что р(д. Если р~1р, то соотношения д — р>0, Р~С, ояС влекут откуда (д — р]р))0 и (а — р]д))0, (р ~ р) ((р 1 у) - (ч ] ч). откуда с учетом (6) имеем также х = 5 (е") + ~~'.~ срр5 (ер). р(н рю/ Предложение вытекает теперь из лемм 3 н 4. Теоевмл 1.
!!усть рьо ..., й~ — фундаментальные веса, соответствующие камере С, и при 1 ..!ч ! пусть х, — элемент из А]Р]~, допускающий е ' в качестве единственного максимального члена. Пусть ~р: А]Хь ..., ХД- А]Р]в' — гомоморфизм алгебры многочлгнов А(Х,, ..., Х~] в А]Р]'л, переводящий Х~ в хь Отображение ~р является изоморфизмом. Следовательно, множество 1 ограничено. Поскольку ! дискретно, это значит, что 1р конечно, и ясно, что 1 удовлетворяет условию (МИН). С другой стороны, при всех реи1 справедливо соотношение х =ее+ ~с ер, р<р Гл. Ре системы кОРней Из леммы 2 следует, что образом одночлена Х", ...
Х,"~ при отображении <р будет элемент, допускающий в качестве единственного максимального члена е"~"~+"'~"~ й Поскольку произвольный элемент из РЯС однозначно записывается в виде п,й, + ... + п~ьь предложение 3 показывает, что образы одночленов Х", ...
Х,"~ при отображении ч~ образуют базис А-модуля А'1Р)н, откуда и вытекает теорема. Пгник ы. 1) Можно взять х, =5(е '). 2) Ввиду замечания 2 в и'3 можно взять х, =У(еР+')(д (в обозначениях и'3). $4. Классификация систем корней 1. Конечные группы Конетера В этом параграфе мы собираемся описать с точностью до изоморфизма все системы корней и, следовательно, все кристаллографические группы 5 2, и'5). Более общим образом мы начнем сейчас с описания всех конечных групп, порожденных отражениями в вещественных векторных пространствах конечной размерности; оно сводится (гл.
Ч, 3 4, и'8) к описанию всех конечных групп Кокстсра или же (та ч же, теорема 2) всех матриц Кокстера конечного порядка, с которыми ассоциирована невырожденная положительная билинейная форма. Пусть М=(тм)...— матрица Кокстера конечного порядка Е Положим 4;~ = — соз (и/тРч). Напомним, что дн — — 1 и что ды — — д, равно нулю или ( — '/ при 1Ф 1'. Положим Е= К' и выберем канонический базис (е,),, в Е.
Обозначим через (х ~ у) билинейную форму на Е, ассоциированную с М (гл. Ч, ~ 4, и'1), а через д квадратичную форму х «(х~х) на Е. Для х= ~ $,е,енЕ имеем !я! ~!ха=4(х)= ~~ 4ЫЗДР С1ю Символом (Х, 1) обозначим граф Коксгера матрицы М (гл. 1Ч, % 1, и'9). Если а — ребро графа Х, то будем говорить, что 1(а) — порядок ребра а. На всем протяжении этого пункта мы будем предполагать, что группа Кокстера Ф'(М), определенная матрнцей М $ С КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 2ЗН (гл. Ч, $4, и'3), конечна, так что форма у невырождена и положительна, а Х есть лес (гл. Ч, 5 4, и'8, предложение 8).
Предположим сверх того, что граф Х вЂ” связный (другими словами, что группа Кокстера В'(М) неприводима), так что Х есть дерево. Выражая тот факт, что форма д невырождена и положительна, мы получим условия на т!4, которые позволяют составить список возможностей для соответствующих графов Кокстера; затем остается лишь убедиться в том, что эти возможности действительно реализуются, т. е. что соответствующие группы В'(М) будут конечны. Леммл 1. При всех ! справедливо неравенство ~~.", д! < 1. (,*! " Пусть У вЂ” множество тех ! ЕЕ1, отличных от 1, для которых у» Ф О, т. е.
для которых (1, !) будет ребром графа Х. Если (, /' А= У и ! ~ !', то (!', Д не будет ребром (в противном случае 1, 1, !' составляли бы цикл), поэтому (е,.~е!,)=О. Пусть Р= .~'"„Кер Тогда (е!). будет ортонормальным бази- »~ т Аят сом подпространства Г. Расстояние а' от е! до Е выражаетсяя формулой й' = 1 — ~ (е, ~ е )т = 1 — ~ д! = 1 — ~ дт! 1, » .. »' из которой и следует утверждение леммы. Леммл 2.
Вершина графа Х не может принадлежать более чем трем ребрам. В самом целе, если вершина ! соединена с й другими ! вершинами, то соотношения д',. ) — для этих других вершин л влекут по лемме 1 неравенство — < 1, поэтому й(3. 4 Леммл 3. Если ! принадлежит трем ребрам, то это будут ребра порядка 3. У2 В противном случае, учитывая соотношение соз — ' 4 2 мы имели бы ХУ!! 4+ 4+( 2 ) что невозможно (лемма 1). Леммл 4. Если существует ребро порядка ~6, то 1=2. В самом деле, пусть таким ребром является (1, !). В случае ! > 2 одна из вершин (, у (например, !) была бы соеди- гл. Иь системы кОРнея вена с какой-нибудь третьей вершиной /', поскольку граф н 'т'3 Х вЂ” связный. Учитывая соотношение соз, мы имели бы 6 2 ( з)' что невозможно (лемма 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
