Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Группы Кокстгра, определенные графами Кокстгра Ас, Вс, ..., !Я(р) из теоремы 1, конгчньс. 242 Гл. ть системы ковиеи Это очевидно в случае 1,(р), когда соответствующая группа будет диэдральной группой порядка 2р (гл. 117, $1, п'9). Для Н, соответствующей квадратичной формой является "е+ $з+ Р+ "е — $ Š— $ $ — 2(соз — )Ь" = =Р+Р-)-У-1-~г — 5~ — ~ ~ !+ р'о 7 — 3! 5 Так как 7 — 3 ) 75 ) О, то эта форма невырождена и положительна, а соответствующая группа Кокстера конечна.
То же самое относится и к группе Н„поскольку она изо- морфна некоторой подгруппе предыдущей группы (гл. 1Ч, $1, п 8), Для типов Ло Во ..., 6, мы построим в п' 5 — 13 системы корней, группы Вейля которых будут как раз искомыми группами. Тем самым будет установлено, что эти группы являются не просто конечными, но и крисгаллографическими ($2, и'5).
2. Графы Дынкина Допуская вольность речи, мы назовем нормированным графом пару (Г, )), обладающую следующими свойстйами: !) Г является графом (именуемым графом, подчиненным паре (Г, 1)); 2) если Е обозначает множество пар (1, 1), таких, что (1, 1) будет ребром графа Г, то )' является отображением Е в 11, для которого 1(1, 1)1(1, 1)= 1, какова бы ни была пара (1, 1) ~ В. Очевидным образом определяется изоморфизм нормированных графов, Пусть И вЂ” приведенная система корней в вещественном векторном пространстве Р. Сопоставим ей некий нормированный граф (Х, )), называемый графом Дынкина системы Я. Вершинами в Х будет элементы множества 1 орбит группы Ф'(Я) в объединении множеств (В) к', В (с В, пробегающим множество базисов системы к).
Если У=(пп),, (соотв. Л4 =(ти), ! ) — каноническая матрица Картана (соотв. матрица Кокстера) системы й (9 1, п'5, замечание 7), то две вершины ! и 1 в Х будут соединены тогда и только тогда, когда пи чь О. В таком случае положим 1(1, д= — "„,",. е 4 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 243 Поскольку пц = О влечет пп — — О, тем самым вполне определен нормированный граф (Х, ~).
Пусть (х(у) — скалярное произведение на У, инвариантное относительно Нт(Д), и В=(а~),, — базис в Д с канонической индексацией. Формулы (7) и (9) из $1, и 1, показывают, что вершины 1 и ! графа Х будут соединены тогда и только тогда, когда (ас!а~) Ф. О, и в таком случае (а )а) (а (а) Принимая во внимание результаты $1, п'3 и 5, мы видим, что с точностью до перестановки 1 и !' имеются лишь следующие'возможности: 1) 1 и 1' не соединены; пц — — пи=О; тц — — 2; 2) 1(ю', )') = 7 О, 4') = 1; пц — — пи = — 1; тц — — 3; 3) )(4 1)=2 1(! 1)=ЧЕ, 'пц= — 2, пп — — — 1; т~ =4; 4) 1(1, 1)=3, )(у, 1)= /з' пц= — 3, пп= — 1; тц=5.
Это означает, следовательно, что знание графа Дынкина системы Д определяет ее матрицу Картана и матрицу Кокстера, а стало быть, определяет с точностью до изоморфизма и саму систему Д. Более точным образом из следствия предложения 15 $1, п 5, вытекает следующий результат: Пведложение 1. Пусть В, и В, — две приведенные системьл корней в вещественных векторньчх пространствах У, и У.; В, =(а~),, и Вэ=(а~),, — базисы в Д~ и Д с каноническими индексациями; А — изоморфиэм графа Дынкина системы й, на граф Дь4нкина системы Д . Тогда существует единственный изоморфизм У, на Ум переводящий Д, в йь и а; в ахи1 для всех (енlи Ясно, что автоморфизм системы Д определяет автоморфизм графа Дынкина системы Д, что приводит к гомоморфнзму ф группы А(Д) в группу автоморфизмов соответствующего графа Дынкина.
Следствие. Гомоморфизм ф определяет при факторизации изоморфизм группы Л(Д)/Ч" (Д) на группу автоморфизмов графа Дььнкина системы Д. Очевидно, что ф(д)=15 для всех дев И7(Д). С другой стороны, предложение 1 показывает„что существует изомор- гл. Еь системы кОРней 244 физм ф группы автоморфизмов графа Дынкина системы Р1 на подгруппу Е элементов в А(Е), оставляющих неподвижным данный базис В системы )с, причем ф ° ф =16. Следствие вытекает теперь из того факта, что А (Е) является полупрямым произведением Е и Ч7ф) ($1, п'5, предложение 16). На практике граф Дынкина (Х, 1) изображают схемой (или диаграммой), составленной из точек и отрезков следующим образом.
Точки соответствуют вершинам графа Х; две точки, соответствующие двум различныч вершинам и 1, соединяются О, 1, 2 или 3 отрезками сообразно тому, какой нз указанных выше случаев: 1), 2), 3) или 4)— ииеет место (с точностью до перестановки 1 и 1). Кроме того, в случаях 3) и 4), т. е. в случае, когда 1(1, 1) ) 1, нля, что эквивалентно. когда корни сн н а; не ортогональны и не одной и той же длины, поместим на двух илн трех отрезках, которые связывают точки, соответствующие вершинам 1 и 1, знак неравенства >, ориентированный в сторону точки, соответствующей вершине / (т. е.
корню меньшей длины): сс с=о (при ) (1, 1) = 2), 1 ~ж9~ю (прн )(1, 1) = 3). 1 / Ясно, что задание этой схемы позволяет восстановить граф Дынкина (Х, (). Заметим, что схема, ассоциированная с графом Кокстера группы Ф'(Е), получается из схемы, ассоциированной с графом Дынкина системы Е, путем сохранения точек и простых отрезков при одновременной замене двойных отрезков (соотв. тройных отрезков) отрезками с приписанным к ним числом 4 (соотв.
6). Обратно, если знать граф Кокстера группы Ф'(й), то противоположная операция позволяет восстановить схему, ассоциированную с графом Дынкина системы А', за исключением знаков неравенства на двойных и тройных отрезках. Коль скоро это так, теорема 1 непосредственно приводит к списку возможных графов Дынкина. А именно имеет место Теогемл 3.
Если Š— приведенная и ненриводимая система корней, то ее граф Дынкина изоморфен одному из е а с клхссишикхция систем коенен графов, представленных следующими схемими: (1 > ! вершин) !! ь а вершин) П ь 3 верисин) в> !! з Л вершин' ) Сн ш Эти графь! Дынкина попарно неизоморфны, и для калсдого из них существует приведенная и неприводимая система корней, допускающая его (с точностью до азо,иорфизма) в качестве графи Дынкина. С учетом предыдущих замечаний первое утверждение немедленно вытекает из теоремы 1, из того факта, что группы Кокстера с графами Н,, Н4 и 7,(р) (для р=5 или р ) 7) не являются кристаллографическими, и, наконец, из того, что два возможных знака неравенства при двойноч (соотв, тройном) отрезке графа Дынкина, ассоциированного с графом Кокстера Р, (соотв.
6,), приводят к изоморфным графам Дынкина. Второе утверждение очевидно, а третье вытекает из явного построения приведенной и неприводимой системы корней для каждого типа в отдельности — построения, которое будет осуществлено в и'5 — 13. Замечания. 1) Граф А, сводится к единственной вершине; его обозначают также символом В, или Сь Граф В, обозначается и символом С„а для графа Ае используется также обозначение Оз.
Наконец, обоезн~чим через О, граф, составленный из двух несоединенных вершин. (Эти соглашения приняты с учетом свойств соответствующих систем корней; см. и'5 — 8.) 2) Если (Х, !) — граф Дынкина приведенной системы корней Р, то граф Дынкина дуальной системы отождествляется с (Х, ! ). Иными слонами, схема, ассоциированная с графом Дынкина системы Рч, получается из схемы, ассоциированной с графом Дынкина системы Я, обращением знаков неравенства.
Если система Я неприводима, то, очевидно„она изоморфна !тч, за исключением систем Р типа В, или С„когда екч будет соответственно типа С! или В!. 246 Гл. Мь системы когнеп 3. Аффинная группа Вейля и пополненный граф Дынкина Пусть 14 — приведенная и неприводимая система корней с графом Дынкина (Х, )). Мы собираемся определить другой нормированный граф (Х, 1), который назовем пополненньсм (или аффинным) графом Дынкина системы Р. Множество ! вершин графа Х состоит из множества 1 вершин графа Х и одной вершины, обозначаемой символом О, которая не принадлежит к!. Чтобы определить ), выберем базис В =(а!)!, системы )с и скалярное произведение (х(у), инвариантное относительно (У ()(!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
