Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 54
Текст из файла (страница 54)
!с, 5 б, и'2, й = в11 = 21. (!'!Т) Пусть а=е, + е,=а, + 2а, + 2а,+ ... + 2ас, это, очевидно, — корень. Сумма его координат относительно базиса (а,) равна 21 — 1 = Ь вЂ” 1. Ввиду предложения 31 из 1, п'!1, а является максимальным корнем системы Имеем (а(ас)=0 при с'Ф 2 и (а(ос)=1. Так как а, имеет длину 1 (соотв. $'2), когда 1=2 (соотв. 1~)3), то приходим ГЛ Р! СИСТЕМЫ КОРНЕЙ к заключению, что пополненным графом Дынкина системы 14 будет при 1=2 х,".к=хпл лэ аз а1 Ь1 при 1) 3 ае аз ~1 1 Зе (Ъ') Формула ае = — дает для Я~ множество векто(а1а) ров + 2е, (! ~ (1 < 1), -~ е1 ~ е1 (! ~ (1 < 1(~ 1). Граф Дынкина дуальной системы )7~ получается из графа Дынкина системы )т способом, изложенным в п'2, и сразу видно, что 141' имеет тип С1.
Корнями, не ортогональными к () = е„будут а: е, и + е, а: е1 при 2<1<1; их обшее количество равно 41 — 2. Для каждого из этих корней а имеем п(а, 8) = -+ 2. Формула (!7) из $ 1, и' !2, показывает, что по отношению к Фл квадратом длины корня 8 является (41 — 2) '. Стало быть, Фл(х, р) =(х ~р)/(41 — 2). Применим формулу-(18) из $1, и'12, с х =у= 8. Получим 2+ 4(41 4)=у%) 4 откуда у()1) =(1+ !)(41 — 2).
(Ч!) Без труда вычисляются фундаментальные веса й, (! <1~(1), для которых (й, ~а,")=бы: й1=е, +е,+ ... +е,= =а,+2а1+... +(1 — 1) а1 1+1(а,+а,.„+... +а1) (1' < 1), 1 1 й1 = 2 (е, + ее+ ... + Е1) = ~ (а, + 2а, + ... + 1а1). (~чП) Суммой положительных корней будет 2р=(21 — 1)е1 + (21 — 3)е1+ ... + Зе,, +е1= = (21 — 1) а, + 2 (21 — 2) ае + ... + 1 (21 — 1) а, + ... + Ра1. (11!П) Я(11) = 1.„(п'4), а группа Р(Р) порождена подгруппой 9(17) и весом й, и совпадает поэтому с Ц (п'4). Следовательно, факторгруппа Р(Я)ЯЯ) изоморфна Х/2Х, а индекс связности равен 2. % 4.
КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕИ 253 ~!Х) и (Х) Ортогональное отражение з2. „и (2' ~ () переставляет е, и е2 н оставляет инвариантнымн е„с индексами й, отличными от 1 и ). Отражения з,, порождают группу 6И изоморфную симметрической группе Ьь Ортогональное отражение з, переводит е2 в — е2 и оставляет инвариантными ЕА с индексами я, отличными от 1.
Отражения з. порождают группу 6„изоморфную (У(2л)'. Группа Вейля йт®) ИЬрождается 6, и 6„причем группа 6, нормальна в йх(Р), так что группа %'()с) изоморфна полупрямому произведению Я, на (Х/2Е)'. Ее порядок, следовательно, равен 2' Е. Симметрическая алгебра Я (11') канонически отождествляется с алгеброй полиномиальных функций Р($и ..., 1,) на 11'. Лля того чтобы такой многочлен был инвариантен относительно йеЯ), надо прежде всего, чтобы Р(Ь. 52 ° ° .~ Ы=Р(+ $2 + 12 ° ° ., + 2) каковы бы ни были 1 знаков в правой части, т. е. чтобы Р(2 $ ) — Я(~2 22) где Π— многочлен; затем необходимо, чтобы О задавал симметрическую полиномиальную функцию; эти условия являются уже достаточными. Следовательно (Алг., гл.
Ч, приложение 1), 5(м') ~ есть алгебра, порожденная 1 полиномнальными функциями 2МЕ, Кроме того, степень трансцендентности над Е поля отношений алгебры 5(К')™ равна 1, поэтому 12 алгебраически независимы. Так как (2 — многочлены степеней 2, 4, ..., 21, то мы приходим к заключению, что показателями группы ях я) будут (гл. Ч, $ б, и'2, предложение 3) 1,3,5,...,21 — 1. (Х1) Единственным автоморфизмом графа Дынкина является тождественное отображение. Поэтому А (к) = (Р И) и — 1~йх(12).
Поскольку — 1 переводит В в — В, мы приходим к выводу, что н22= — 1. (ХИ) Группа РЯч)ЩЯ'~) дуальна к Р(МУ~Я(Й) и, стало быть, изоморфна Е/2Е. Ее нетривиальный элемент переставляет вершины, соответствующие а и аи и оставляет неподвижными другие вершины. гл, ю, системы когнеи б. Системы типа С~ (1)~2) (1) Существование систем корней типа С, было доказано в п'о, поскольку, как мы видели, система, дуальная к системе типа Ве, имеет тип Сь Система корней Е1 типа Сг получается, таким образом, при выборе в к' векторов -~-2ег (! <Е<Е) и ~- е, -~- еЕ (! <Е < 1 <1). Число корней равно 2ЕЕ.
(П) Построим базис в ЕЕ, взяв образ при отображении а — базиса системы, рассмотренной в п 5. Получим 2а о (а~ а) а,=е, — ет, а,=а,' — ез, ..., Ое, =зе, — зь ае=2еь Положительными корнями являются 2ес и ес -+. Ее (Е <Е). (П!) Число Кокстера то же самое, что и у дуальной системы: 6= 21. (е'Е) ПУсть а = 2е, = 2а, + 2а, + ... + 2а,, + а, — линейная комбинання, являющаяся корнем, Сумма координат этого корня относительно (а,) равна 21 — ! =Е! — 1.
Поэтому а — максимальный корень. Имеем (а ~ а;) = О при Е Ф 1, (5)а,)=2. Отсюда получается пополненный граф Дынкина: ео1 ОЕ ОЕ З ОЕ т ОЕ (Ч) Система Е1", имеющая тип Вь уже определена. По формуле (!9) из $ 1, и'!2, и в соответствии с и'5, (Ч) квадрат длины корня 2е, относительно Фя равен ((1+ 1)(41 — 2)) '((41 — 2) ') ' =(1+ 1) поэтому Фя(х, у) =(х)р)Е4(1+ 1) Получаем у(Е1)=у(ЕЕ~)=(1+ !)(41 2) (1Е!) Без труда находятся фундаментальные веса: й~ —— е,+ет+ ... +е,= ! =а, + 2а, + ...
+(Š— 1) Ое, + э(а, +не+, + ... + — о.,) (Е (1). (теП) Суммой положительных корней будет 2р=21е, + (21 — 2)е,+ ... + 4ее, + 2ее —— =21а, + 2(21 — !)а, + ... + Е(21 — ! + !) Ое+ ... + +(1 — 1)(Е+ 2)еи, + — 1(1+ 1) Ое, 1 (Ъ'П1) В соответствии с п'4 и и'5, (ЧП1) Ее®)=Си Р(ЕЕ) = Е; факторгруппа Р(ЕС)/Я(Е1) изоморфна ХЕ2Х, а индекс связности равен 2. $ !. КЛАССТИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 255 (1Х) и (Х) Этн вопросы относятся только к йтЯ), поэтому результаты будут тсми же, что и для типа В!. (Х1) Такое же рассуждение, как в и'5, показывает, что А(Р)=)Р'(!!) и !со= — !. (Х11) Единственным неединичным элементом .
группы РЯ")Я()т") задается однозначно опрсделенный нетривиальный автоморфизм пополненного графа Дынкина; этот автоморфизм переставляет вершины, соответствующие корням а! и а! ! при 0<!<Е 7. Системы типа А! (1~1) (1) и (П) Пусть à — гиперплоскость в Е=)х, опреде- !.Р ! !+! ляемая уравнением,~~~ ';=О, Заменяя ! на 1+ 1 в п'5, ! ! получаем систему !г' типа В,+, в Е, допускающую базис а, =е! — Ее, а,=е, — е„..., а!=е! — е!+н аьы =е!„Р Так как ан ..., а, порождают Г, то Р = )г!!) !' будет системой корней в )г с базисом (а„..., а!) 5 1, и'7, следствие 4 предложения 20), Из проведенных в и'5 вычислений скалярных произведений непосредственно следует, что Я имеет тип А!.
Элементами системы В будут е, — е! (! Ф1, ! <!'< ~«1+1, 1<1<1+ 1). Их общее число равно п=1(1+1). Положительными корнями будут е; — е;, где ! < 1'. (1П) Имеем Ь= — "=1+ 1. (1Ъ) Линейная комбинация а=е,— вью =а, +а -1- ... -(-а, является корнем.
Сумма координат относительно (а,) равна 1= 6 — 1. Поэтому а — максимальный корень. Прн ! = 1 имеем а = а„откуда (а ) а) = 2; графом Кокстера группы )Р",()т) будет Π— -О а При 1~~ 2 выполнены соотношения (а ~ а) = 0 для 0 < ! < 1 и (а(а!)=(а~а!)=1, так что пополненным графом Дынкина будет а, ае ас-! а! (!!') Отождествив пространство !' с дуальным к нему при 2а помощи скалярного произведения получим ач = — = а Ф ((а а~ а) для всех а~ )1, так что )г'! = )т, Гл ч!. системы кОРней Относительно формы Фл длина корней равна Ь !'=(1+1) (2 1, и'12); стало быть, !Рл(х, у)=(х!у)/2(1+ 1). Получаем уЯ) =(1+ 1)' ($ 1, и'12, формула (20)).
(Ч1) Пусть (й1)1<1<! — семейство фундаментальных весов. Положим 1+! й! = 2~ сцец где с! ! ~ В. 1=1 Выражая тот факт, что (й,~а")=бц и й,. с=У, получаем 1Р! $ц — ":1,1+1=1, Е! ! — Е! !~! — — 0 при /Ф1, .~., АДЕ!= 0, 1 а зто непосредственно дает ! й,=е,+ ... +е! —, (е,+ ...
+е1.1!)= +, [(1 — 1' + 1) (а! + 2аз + ... + (1 — 1) а! !) + +1((1 — 1+ 1)а!+ (1 — 1)а1„„1+ ... +а!)). (!/11) Сумма положительных корней такова: 2р = 1е! + (1 — 2) ее + (1 — 4) е, + ... — (1 — 2) е! — 1е! ь, —— = 1а, + 2 (1 — 1) аз + ... + 1 (1 — 1+ 1) а; + ... + 1а1. (Ъ'П1) Введем в Е= и'+~ подгруппу 1е из и'4. Пусть Р— ортогональное проектирование Е на 11. В соответствии с предложением 28 5 1, и'1О, 9 (/!!) = Я (/1') () 1' = 1., П !1 и Р Я) = р (Р (/!')); принимая во внимание тот факт, что последний фундаментальный вес в Л' ортогонален к к', получаем Р(1к)=РЯ(/!'))= = р(Е,). Таким образом, РЯ) есть группа, порожденная 1Е! корнями е, — е; и весом Р(е,) =е, — (1+!) ! ~! е1, т.
е. 1Е1 Р(й)=ЯД)+Х е, — (1+1) ~! е, . 1.= ! Но 1+! является наименьшим целым числом гл > О, для которого тр(е1)е='Я(Я). Поэтому факторгруппа Р(1г)/(1(/г) изоморфна 2/(1+ 1)2, а индекс связности равен 1+!. (!Х) н (Х) Для всякого автоморфнзма д гиперплоскости 1' обозначим через !р(д) автоморфизм пространства Е, который продолжает д и оставляет инвариантным е, + ее+ ... +е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
