Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Стало быть, полная последовательность показателей такова: 1, 5, 7, 9, 11, 13, 17. (Х) Из (1Х) н из следствия 1 предложения 3 гл. Ч, 3 6, и' 2, выводим, что порядок группы )Р'Я) равен 2 6 ° 8 ° 10 12 ° 14 14 = 2)е ° 3' ° 5 ° 7. (Х1) Единственным автоморфизмом графа Дынкина является тождественное отображение, поэтому А()с) =)Р" ф) и ш,= — 1. (ХП) Группа Р(Й'тЩ()с'!) обладает единственным неединичным элементом.
Он переставляет вершины, отвечающие корням ае и а„а, и ае, а, и ам оставляя неподвижными ае и ас 12. Система типа Ее (1) и (П) Пусть Е= 142, и пусть Ее — система корней в Е, построенная в и' 10. Пусть 1' — векторное подпространство в Е, порожденное корнями а„..., а, системы 1)12; оно ортогонально к плоскости, порожденной двумя последними фундаментальными весами е) = е, + ее и я = ее+ е, + 2ец системы )се. Пусть 11 = Ее() )т. Это приведенная система корней с базисом (а„..., а,), имеющая, следовательно, тип Е,.
Ее элементами являются -Р е! -ь е) (1 - ' ! < 1(5), ) Ъ) ти) ~ — )1ев — е! — Ее+ т ( — 1) е)! с четной суммой э т(!). )=! )=! (6! Число корней п= ~ ) 4+ 2'= 72. Положительными кор- '! 2 ! нями будут ~ е, + е! (1 < ! < )-,Р 5), — ее — е,— е,+У.( — 1) е, с четной суммой лт т(!). ) Ъ-~,)!) )=! ! ! (1П) Имеем т)= — =12. 6 42 ГЛ. ЗРР.
СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 270 (147) Линейная комбинация а = — (е, + е, + е, + е4 + е, — е, — е, + ев) = 2 =а, + 2а,+ 2аз+ За4+ 2ав+а, является корнем. Сумма координат относительно (аз) равна 11 = Ь вЂ” 1, поэтому а — максимальный корень. Он ортогонален к аь а„а4, аз, а,, а (а!а,)=1. Пополненный граф Дынкина имеет вид (17) Так как (а!а)=2 для всех аен 77, то )СР= )С. По отношению к Фл квадрат длины корней равен '112, так что Фв (х, р) = (х ! 17)/24 и у ( ГГ) = 144. (Ч1) Вычисление фундаментальных весов двет 2 ! Й, = Э (ев — ер — ев) = ~ (4а, + Заг+ 5аз + ба, + 4аз + 2а„), 1 Йг = — „(е, + ег+ ез + е, + ев — ев — е, + ев) = = а, + 2а, + 2 аз + За4 + 2ав + ав = а, Р 1 Й з = —. (е, — е, — ев) + — ( — е, + ев+ е, + е, + ез) =.
1 = в (5% + бог + 10аз + 12а, + 8а, + 4а„), Й4 ез+ е4+ ез ев ер+ в- —— = 2а, + Заз+ 4аз+ ба, + 4а. + 2а„, 2 Й,= — (ев -е,— ез)+е,+е =- з 1 3 (4а, + бар -1- 8а, + ! 2а„+ ! Оа. -,— 5а,), Й, = — (ев — ер — ев) -1- ез = з 1 — (2а, + Заз+ 4аз 1- ба, + 5аз -! 1а„). % с клАГГНФиклиия ГиГтгм когней 27! ~ Ч111 Полусумма р положительных корней совпадает ч~ с 7 йь откУда р = е, + 2ез + Зе, + 4ез -'- 4 (е~ — е, — еа) = = 8а, + 11а, + 15а1-4- 21а„ + 15а„ + 8аз. (Ч111) Согласно п' 10, (ЧП1) и предложению 28 $1, и' 10, а(в=а(/7,)ПУ=ЕАПУ и РЯ)=Р(Р(й))=Р(/-), где р обозначает ортогональное проектирование Е на У.
Имеем 2 р(а,)=а7 — — и+а, Р(аа)=аз+и — 2м. з Группа ЯЯ) обладает базисом (аи ..., аа). Группа РЯ) порождена группой Я(к) и элементом р(о,), потому что Р (аз) е Р Яз) В У = (! Я ) П У = Я (Р). Так как Зр (а7) ен (! (Р), а Р(а,) ~(1(Р), то группа РЯБАЯ) изоморфна Х/ЗХ; она порождается, например, образом веса й,. Индекс связности равен 3. (1Х) и (Х) В соответствии с предложением 7 $ 2, и' 4, порядок группы Вейля равен 6! 1.2.2.3.2.1.3 = 2" .
3' . 5. По- следоватсльность показателей из шести членов заключена между ! и !1 и имеет в своем составе целые числа 1, 5, 7, 11, взаимно простые с 12. Другими показателями т, ИУ будут целые числа, такие, что гп + т' = 12, (гп+ 1)(лз'+ !)(1+ 1)(5+ 1)(7+ !)(11+ 1) =2т.з".5, как это утверждают формула (2) и следствие ! предложе- ния 3 гл. Ч, $6, п'2. Второе соотношение дает (т+ 1) к' ;к,'(т' + !) = 45, а так как т + гп' + 2 = 14, то получаем кч = 4, т' = 8. Стало быть, полная последовательность пока- зателей есть 1, 4, 5, 7, 8, !1.
(Х!) и (Х!!) Поскольку все корни одной и той же длины, автоморфизмами графа Дынкина будут автоморфизмы подчиненного графа. Кроме тождественного, имеется еще один автоморфизм з, который переводит ан а„а,, а-„аз, а, соответственно в ам аз, а„аз, ои и. Следовательно, группа А(Я)/%'(к) изоморфна л/2Х; так как — ! Ю В'Я) (гл. Ч, $6, и'2, следствие 3 предложения 3), то группа А(Р) изоморфна ЙГ(Р)Х(1, — 1), а иа отождествляется с — е. Отсюда гл, чь системы когнги тз 272 следует, что неединичный элемент из А(1г)/Ю'(Я) определяет автоморфнзм х — х группы РЯ~Щ(1сч).
Далее, в Р(Мчи(йч) имеется два неединичных элемента порядка 3. Оба они определяют по одному автоморфизму порядка 3 пополненного графа Дынкина. 13. Система типа 6 Пусть )с — множество тех а ~ ~,П*т', для которых (а ~а) =2 или (а ~а)=6. Элементами множества Я являются -ь (е, — е,), ~ (е, — е,), ~ (е, — ез), -~ (2е, — ет — е,), -<- (2е, — е, — е,), .+- (2ез — е, — е,).
Поэтому )г порождает т' н 1 ~Х, каковы бы ни были 2(е(Р) а, 6 ~ Я; это очевидно, когда 6=.+ (е, — е1) с (Ф1; если же, например, ()=2е, — е,— е,, то (а~6)АЗУ для всех а~Я, что, конечно, влечет наше утверждение. Поэтому )г есть приведенная система корней в т'. Число корней п= 12.
(П) Положим а, =е, — е„аз= — 2е, +е,+е,. Корни тогда принимают вид кс ао +. (а, + а,), -1- (2а, + ат), ~- аь .+. (За, + аз), ' (Зо, + 2аз). Следовательно, (оо оз) — базис системы )г. Так как з и, (г= 2, Ца,~~=б, (а, ~а,)= — 3, то )г — система типа О,. Положительными корнями являются аь а, + а,, 2а, + а,, о„За, + а„ За, + 2аз. (1!1) Имеем й = —, = 6. (1т') Максимальным корнем будет а = За, + 2а, = = — е, — ез + 2е,. Поскольку (а ~ а,) = О, (а ~ аз) = 3, пополненным графом Дынкина будет ~Π— -с с| аг (Ч) Дуальная система Яч дующих векторов: .+ аь +.
(а, + а.,)„ 1 — (За, + пз), совпадает с множеством сле- ! (2о,+а), — о„ ->- — (За, + 2аз). (Ц Пусть т' — гиперплоскость в Е = )сз, определенная уравнением ~1+ 4+ 1з — — О. З !. КЛАССНФИКАШ!Я СИСТЕМ КОРНЕЯ 273 Существует 1О корней, не ортогональных к а,; имеем и((1, а!)=.+.1 для 4 из этих корней, п(5, а!)= чоз для 4 других и и ((1, а!) = -г-2 для !! = -~ ао Поэтому квадрат длины корня а, относительно Фе равен 4 (4. 1 + 4. 9+ 2. 4) ' = '/м, и Фя(х, д) =(х ~ р)/24. Применяя теперь формулу (18) из $1, п'!2, с х=р=а„получаем 2+ 4.— + 4.— =у(/гг) ° —, откуда у(/!) = 48. (Ъ'!) и (ТТП) Полусумма положительных корней равна р=5а, + За, Фундаментальные веса й! и й„ортогональиые к а, и а„ пропорциональны соответственно 2а!+ а, и За, + 2а,. Имеем йг + Ыз=р =ба! + ЗО,=(2а, + а,)+ (За, + 2а,).
Следовательно, й! = 2а! + а,, йз = За! + 2а = 5. (Ъ'П1) 1;г(/с) порождается, например, корнями в, — ег и е, — в,. В силу (Ч1) и (ЧП) Р(гс) =Я(/с). Индекс связности равен 1. (1Х) Семейство показателей состоит из двух членов; так как 1 и /г — 1 — показатели, то ими все и исчерпывается. зя (Х) Поскольку (а„а,) = —, группа (Р'(/!) изоморфна диэдральной группе порядка 12.
(Х1) Единственным автоморфизмом графа Дынкина является тождественное отображение, так что А Я) = (Р'(Й) шо= 14. Неприводимые системы парией, ие являющиеся приведенными Неприводимые системы корней, не являющиеся приведенными, получаются из непрнводнмых приведенных систем по образцу, описанному в предложениях !3 и 14 $1, и'4. Для каждого целого числа !)! существует с точностью до изоморфизма единственная неприводимая и неприведеиная система корней ранга !. Именно пусть /! — система корней типа Вг, А — множество корней наименьшей длины в /с; возьмем объединение множеств /7 и 2А.
Получим, в обозначениях и'5, векторы -г- ег, -г- 2е„-> е! ~ ег (!' (/) в количестве 2!(1+ 1). УПРАЖНЕНИЯ Все рассматриваемые ниже системы корней связаны с веязестзенныли векторными пространствами. Через (х ~ р) обазначаетси скалярное пронзнедение, инвариантное относительно группы Вейля (и' 3) 1) Пусть /с — система корней, Я = !7, () йз — ее разбиение Предположимм, что если х, у — дза элемента ич Е! и х+ у (соотв .к — э) — корень, то и х+ущ/с; (соотв х — ущ К), причем это верно для /=1, 2.
Тогда Е будет пряной супной систем й, и )сэ. (Показать, используя следствие теоремы 1, и' 3, что если х еа (4ь а у ~в )7з, та (х(у) =О.) 2) Пусть /1 — система корней, а н й — два корня, Если ! — такой сиаляр, что () +!и щ Е, то 2! а 7. (Ибо и(() + !а, а) =я(й, а) + 2Е) Если корень а печения, то ! си 7.. (В противном случае, используя предложение 9, показать, что найдется ортогональный к а корень у для ко- 1 / 1 1 торого у+ —, а си )7, тогда (у+ — а ! а) >О, откуда — а щ/(.) 2 ' (, 2 ) 2 3] Пусть /с — система корней в У, неприводимая и неприве ~аннан, Существует невырождеипая симметрическая билинейная форма Ф па 1~, такая, что если отождествить У с У* при помощи Ф, то Е = й (Исч пользовать предложение 13.) 4) Пусть à — свободный 7.-модуль конечного ранга 1, Г* — дуэльный 7.-модуль, / — конечное множество индексов, (х, х,) — семейств ~ эле- ~'! га ( ментов нз Г Х Г', лля которых (х!, х,) = 2 при всех г~ю Е и = з ! Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство, дуальное к котогочу пространство )г" отождествляется с Г" ® (1.
Обозначим также ерез Ч отражение ь Я 1 в У. Пусть Л (соотз. /с') — множество элеыентов (саотв. х;). Пусть Е (соатв. Е') — подпространство в Р (соотв. )г'), порожденное множеством /г (соотв )7). Предположим, ~то з, ()7) = /1 ппи всех й Тогда Е является системой корней в Е, Е канонп ~есин отождествляется с дуальным к Е пространством, а х; — с х; при всех н Если Е у (соотв. Е') — подпространство в У (соотн.
Р"), состоящее из инвариантнык относительно всех з (соотв. ~з ) точек, то Г() Е (соотв. Г" ДЕ') порождает Е (соотв. Р'). Положив Г, =(Г() Е) (тз (ГДЕ) (соотв. Г*, = (Г'П Е) (9(Г*() Е)), придем к изоморфным конечным группам Г Г, и Г'/Г"!. 5) Пусть /с — неприводпмая системз корней. Прн лиэболэ () щ Е справедливо соотношение !ЬУ (Н) = ( эз п(а, Р)") ( х~л ч (й, а)з) 1чм Л /1аыя упплмс!!щ!Ия 275 ч! и, следовательно, у (Л!т] = у (!7) лля произвольного ненулевого скаляра Л.
(Использовать формулы (17) и (19) и' 12.) б) а) Пусть А — коммутативная группа конечного типа и Т вЂ” конечное подмножество в А, не содержащее О. Существует полгруппа Н конечного индекса в А, такая, что НП Т О. (Пусть Г ен Т. Используя строение коммутативных групп конечного типз, построить подгруппу конечного индекса в А, не содержащую С Затем применить кндукцню по Сагд Т.) б) Пусть )7 — система корнея, Р— замкнутое симметричное подмножество в Н. Существует такая подгруппа Н конечного индекса в Я ()7), что Р Н !) Р. (Перейти к факторгруппе по подгруппе в 14(Р), порожденной множеством Р, а затем использовать а) и предложение 23.) 7) Индекс связности системы корней равен определителю ее матрицы Картава.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
