Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 59
Текст из файла (страница 59)
3) При тех же обозначениях и условиях, что и в п' 3, пусть и — автоморфнзм аффинного пространства Е, который переставляет между собой гиперплоскости Е» ь (а ш (7, й ен »). Показать, что и является перемешеииеч. (Показывается, что отображение, сопряженное к линейному отображению и,, ассоциированному с и, оставляет устойчивой )г и, стало быть, принадлежит группе А (7().) Вывести отсюда, что 6 — нормализатор группы йу» в группе автоморфизмов аффинного пространства Е. 4) !Тусть С' — камера относительно Цг(к) в Ч', и пусть С вЂ” альков с першиной О, содержащийся в С.
Пусть 5» (соотв. 5) — множество отражений относительно стенок алькова С (соотв. камеры С'). Пары ((Р», 5») и ((Р, 5) являются системами Кокстера, и 5 <~ 5». Показать, что для (5, О)-приведениости (гл. 1Ч, й 1, упражнение 3) элемента ю ен йг» необходимо и достаточно, чтобы ю (С) с С'. '(( 5) Предположим, что система !г неприводима, и выберем какую- нибудь камеру С системы к в Ч; обозначим через В соответствующий базис в к. а) Показать, что микровеса (й 1, упражнение 24) системы В образуют систему представителей в Р (!() ненулевых элементов фактор- группы Р ()г)(О ()г).
(Применить к кт следствие предложения 6.) б) Пусть Х вЂ” насыщенное подмножество (й 1, упражнение 23) группы О()7). Предположим, что Х непусто и не сводится к (0). Пусть р — отличный от нуля элемент из Х минимальной длины. Показать, что р чм и. (Ввиду а) р не удовлетворяет условию (!!) Упражнения 24 к з 1; понтону существует а ш )г, для которого (р, ач ) ) 2, откуда р — а сн Х. Так как р — а имеет строго меньшую длину, чем р, то р — а =О, откуда р чм )г.) в) пусть р — старший вес„ие принадлежащий !;1(!2).
показать, что насыщение 5(р) веса р (см. э 1, упражнение 23) содержит мвкровес, и притом только один. (Заметить, что 5(р) содержится в нетривиальном классе по молулю (с(!7); сделать нужный вывод, применив а) и упражнение 24, в) к э 1.) г) Пусть р — старший вес, не принадлежащий !2 (0). Доказать эквивалентность двух следующих свойств: (!) р есть микровес; (ч) ие существует старшего веса д ~ р, такого, что р — Ч было бы линейной комбинацией с пелымн коэффициентами ЪО элементов базиса В. (Если д удовлетворяет условиям свойства (ч), то рассмотрим микровес р!, принадлежащий 5 (о). Имеем р~ — = р шод Я()г), р, < р, и а) показывает, что р не является микрояесом. Следовательно, (!)»)ь (и). Обратно.
если р не является микровесом, то рассмотрим о чм 5(р) — (»'. р; с точностью до преобразования д при помон!и йт можно предполагать, чтод чм С; в соответствии с упражнением 23 к э 1, о< р, О Ф р и д м» ~ р вод О (Р). Поэтому (ч) ~ (!).) Обозначения и условия те же, что и в и' 2-4. !) а) Показать, что для любого 1, заключенного между 1 и 1, сУшествует, и притом только одно, дифференцирование О! кольца А (Р), Удовлетворяющее следующим условиям: а,) О! А-линейно; /мъ м аз) ()т!» (у= ОП» ! (ЬП вЂ” символ Кронекера). 2ВО ГЛ. Ч!. СИСТЕМЫ КОРНЕЛ б) Пусть (л ) — семейство элементов из А(Р(, удовлетвои" ! 1~!~! ряющее условиям теоремы 1. Показать, что бе1(0 (х/)) = И. (Доказать, что бе1(0 (х )) является антиннвариантным элементом с максимальным членом е", откуда н вытекает нужный результат, в случае, когда 2 — не делитель нуля в А.
В общем случае воспользоваться принципом продолжения алгебраических тождеств.) ') 2) Пусть Р' — подгруппа в Р(/1), содержащая 0(Е). Показать, что Р' устойчива относительно Яг. Построить пример, когда алгебра А [Р')гг не изоморфна алгебре многочленов (взять в качестве /! произведение двух систем ранга Ц. Символом йг Я), где Р— система корней, обозначается множество + элементов в Его) с определителем 1. $ Ц Пусть Я вЂ” система корней типа Е,. а) Показать, что если а, !) зж й сравнимы 'по модулю 20 (Я), то 9 жа. б) Вывестн из а), что если ы !и йг Я) действует в 0 (/с)/2Я (к), то ы=ж( 1 в) В обозначениях п'!О показать, что квадратичная форма — (х)л) 2 на 0 (Р) определяет ори факторизации невырожденную квадратичную форму с, на векторном гз-пространстве Я (Р)/2() (/с).
Показать, что псевдодискримннант формы дз (Алз., гл. 1Х, 3 9, упражнение 9) равен нулю и что пз имеет индекс 4. г) Пусть 0 (д,) — ортогональная группа на 0 (/г)/2Я (Е) относительно этой формы. Определить при помощи факторизации гомоморфизм дс йг (/!) -+ 0(дз). Показать (сравнив порядки), что последовательность 1-ь(1, — Ц-эйтан) — ьО(дз)-ь1 точная. д) Показать, что образом при Ь группы йт Я) является подгруппа 0 (сз) группы О (пз), определенная в Алг.. гл. 1Х, $ 9, п' 5. Вывести отсюда, что йг (/г)/(1, — Ц является некоммутативной простой группой. $ 2) Пусть Р— система корней типа Е,. а) Положим Е= Я (Р)/ВР(/1).
Это — векторное Р,-пространство размерности 5. В обозначениях п' 12 показать, что скалярное произведение (х) у! определяет на Е невырожденную симметрическую билинейную форму йх Показать, что образы в Е двух различных элементов системы к различны. б) Пусть 0 (9) — ортогональная группа формы 9. Справедливо равенство 0 (и) =(1, — Ц Х 50(и). Спннорная форма определяет сюръективный гомоморфнзм группы 50(ф) на (1, — Ц, ядро которого обозначается символом 50 (ф). Группа $0+ (9) — простая, порядка 25920 ') Этот результат.
пока нигде не опубликованный, был сообщен иам Р. Стейнбергом. УПРАЖНЕНИЯ 281 Факторгруппа О(ф)/5О (ф) имеет тип (2, 2). Вывести отсюда, что О(ф) содержит единственную подгруппу О(ф) индекса 2, отличную от 50(ф) и не содержащую -!. в) Вспкий элемент группы А (/7) определяет при факторизации элемент группы О (ф). Показать (сравнив порядки), что прн этом получается нзоморфизм А (/с) на О (ф). Образом группы (Г (/7) при этом нзоморфизме будет О(ф), а образом группы (Г (/г) — БО (ф). Следовательно, (Г(/7) является расширением 2/22 при помощи простой группы порядка 25920, г) Пусть Г=О (/г)/2С> (Е). Это — векторное Гз-пространство размерно! сти 6.
Показать, что квадратичная форма — (х(х) определяет при факторизации невырождеииую квадратичную форму дз на Е с псевдодискриминантом, равным 1. Пусть О(пз) обозначает соответствующую ортогональную группу. Определить при помощи факторизации гомоморфизм /и й'(г)- О(йз). Показать, что гомоморфизм Ь ннъективен (обратить внимание, что — ! ~ 97(Е)), а затем, что он является нзоморфизмом (сравнить порядки). Получить отсюда изоморфнзм В'~ (/1) на О+ (д,) (ср.
Алз.. гл. 1Х, з 9, п'5). д) Сравнив в) с г), показать '), что группа $О (ф) нзоморфиа группе О (фа). 1( 3) Пусть /г — система корней тица Е,. а) Положим Е= О(Е)/2Р(Е). Это — векторное Гз-пространство размерности 6. В обозначениях и'11 показать, что скалярное произведение (х( у) определяет' ца Е невырожденную знакопеременную билинейную форму. б) Вывести из а) существование точной последовательности ! -ь (1, — !) -> 97 (Е) †.ь 3Р (6, Гз) -ь 1.
(Использовать тот факт, что Бр(6, Гз) имеет порядок 2э.3'.5.7.) в) Показать, что сужение А на йг (Д) является изоморфнзмом ЧГ (/1) на бр(6, Гз). г) Используя квадратичную форму д, иа векторном Г,-пространстве ! О(/с)/2О(/7), получающуюся из — (х)х) при факторизации, дать другое 2 доказательство утверждения б), а также установить нзоморфизм О (Чг) -ь 5Р(6, Г,).
1( 4) Пусть /7 — приведенная и неприводимая система корней в Г, (а, ..., а ) — базис в Е, а — максимальный корень. Положим а = п1а1+... 1' ... + пса!. Предлагаетси дать описание симметричных и заыкнутых подмножеств в /7, отличных от Е и максимальных относительно этих свойств. а) ПУсть ! Я (1. 2 - - ° * /), и пусть Ег — множество корней а чм /(, явлпющихся линейными комбинациями а/ для / ~ 1. Показать, что Йг максимально тогда и только тогда, когда йг —— !. ') М. Кцезер показал, что аналогичный метод позволяет получить все „исключительные" изоморфнзмы между классическими группами конечного порядка; см. М.
К п е з е г, ОЬег гйе АцзпаЛше.!зошогрйгзшеп хм(- зсЛеп спи((сйеп Ь!азз!зсЬеп Огпрреп, //атйигиег АЫь, 31 (1967), 136-140. ГЛ. Н!. СИСТЕМЫ КОРИЕИ 282 б) Г!усть 1 еж(1, 2, ..., !); предположим, что п >1. Пусть 5 — мпо! жество корней ~ЧР~ т!а! с еп ~ 0 (той и,.). Показать, что 5 максимально 1=! тогда н только тогда, когда и — простое число, (Если и = аЬ, где а > 1, Ь > 1, то рассмотреть подмножество 5'1: )7, состоящее нз корней ~ЧР~т а! ! с т! = 0 (тод а). и показать, что 5' строго содержит 5 . ) Показать, что корни — а, а! (!чь!') образуют базис в 5! (ранга !).
Получить отсюда граф Дыикина системы 5. в) Всякое замкнутое, симметричное и максимальное в Я подмножество переводится каким-нибудь элементом группы йг Я) и одно из подмножеств, описанных в а) или б). (Пусть Х вЂ” такое подмножество. Тогда Х = ДД Н, где Н вЂ” подгруппа конечного индекса в 1,! Я) (з 1, упражнение 6, б)); можно предполагать, что !'! Яу~Н вЂ” циклическая группа. Существует, следовательно, такой вектор и' ен )е*, что Х будет множеством корней а еи )7, для которых (и", а) я Х. Множество Х не изменится, если добавить к и" элемент из !) ()ен). Используя йее ()7), показать, что и' можно взять таким, чтобы (и*, а,) > О, (и", а) (1.
Пусть и = (и', а!). Если два из и! будут тьО, то Х не максимально.) г) Перечислить максимальные симметричные замкнутые подмножества в Д для различных типов приведенных неприводимых систем корней. 6) Пусть )7 — система корней и Р'()7) — подгруппа в Р()7), введенная в упражнении 8 к з 1. Показать, что Р'()7) = Р ф), если )7 имеет тип А! с четным 1, или тип В! с 1=0, 3(гпод 4), или О! с !в = О, 1 (гпоб 4), нли Нь или Р„, илн Ее, илн Ее. Показать, что Р'(Р) = Я Я), если Р имеет тцп С1, или В! с !в = 1, 2(гпод 4), или Рж или А,.
Если Р имеет тип А! .с нечетным 1>1, то Р'()т)/9 Я) является единственной подгруппой ннлекса 2 циклической группы Р ()т)1й Я). Если, наконец, )7 имеет тип 7)! с 1= — 2, 3 (щод 4), то Р'()7)Я ()7) является единственной подгруппой порядка 2 в Р ()т)1!'„! Я), устойчивой относительно А ()7). Я 6) Пусть )7 — приведенная и непрнводимая система корней, (ап ..., а ) — базис в )7, Р, и,+ ... +р а — максимальный корень, а,а, + ... + а а! — сумма положительных корней, тп ..., т — показатели группы йг ()7), и — ее порядок, ( — индекс связности системы )7. а) Проверить в каждом случае, что 1!!!2'''!! ! ''' ! ! 2''' Г б) Показать, что т! (' а!аз ' " а! (Использовать а) и предложение 7 из 6 2, и' 4.) в) Для любого положительного корня а = ~~'~ с!а! пусть е (а) = ~~ г! Вычислить в каждом случае многочлен ! ~Ч 1 !е!а! а>в УПРАЖНЕНИЯ проверить, что Р(!) =1 ~ (1+ г+ + г / г=! 7) Пусть /7 — приведенная и иепризоличая система корней.
а) Проверить, что канонический гомочорфизм А (/7)/)г'(/7) в группу автоморфизмов группы Р (/7)/!;)(/7) иньективен. б) Вывести отсюда, что — 1 принадлежит )уг (/1) тогда и только тогда, когда 1с (/7) ~ 2Р (/7). 8) Пусть )7, н /(з — две приведенные и иепрнаодимые системы корней, Показать, что если группы йт (/7,) и )Р'(/7А одного н того же порядка, то система /7! изоморфна /7з или /7т. (1!спользоаать классифика- У цию.) Продолжает ли зтот результат оставаться верным, если ие предполагать, что система )7, неприводимзр 9) Пусть )7 — система корней ранга 1, и пусть р — простое число, делящее порядок группы А()1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
