Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Группа называется яолулросгой, если она изогениа произведению некоммутатввных простых груни. )Оз ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ Т4-РГ двойные смежные классы по подгруппе Бореля каноническим образом параметризуется группой Вейля [ХХ1]. ХаришЧандра [ХХ, Ь)] перенес затем этот результат на все комплексные и вещественные полупростые группы. С другой стороны, в 1955 г. Шевалле [Х1Х, с)] удалось сопоставить каждой комплексной полупростой алгебре Ли й н каждому коммутативному полю й матричную группу с коэффициентами в й, обладающую разложением Брюа; этот факт он использовал для доказательства того, что, за небольшим числом исключительных случаев, определенная таким образом группа будет простой (в смысле теории абстрактных групп).
Тем самым он „объяснил" совпадение, замеченное еще во времена Жордана и Ли, простых групп Лн (в смысле теории групп Ли) типов А„В, С, )л и классических простых групп, определенных чисто алгебраическим способом над произвольным полем (совпадение, которое до той поры УДаЛОСЬ РаСПРОСтРаНИтЬ ЛИЩЬ На ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ ста и Е, Диксону [Х1, Ь) и с)]. В частности, для всех типов комплексных простых алгебр Ли в случае конечного поля й конструкция Шевалле приводит к семействам конечных проетых групп, содержащим большую часть известных тогда конечных простых групп, а также к четырем новым сериям (соответствующим простым алгебрам Лн типов Е4, Е„Е, и Е,). Чуть позднее, используя различные модификации методов Шевалле, ряд авторов (Херциг, Судзуки, Ри, Стейнберг и Тите), с одной стороны, показали, что аналогичным образом можно получить остальные конечные простые группы, известные к тому времени, за исключением знакопеременных групп и групп Матье, а с другой стороны, построили новые серии конечных простых групп (см.
[ХХ1Х] ). Почти в то же самое время Шевалле [Х1Х, 41)], применяя по-прежнему технику разложений Брюа, в сочетании с одним ключевым результатом о нормализаторе подгруппы Бореля, продолжил изучение алгебраических линейных групп и пришел к результату, что над алгебраически замкнутвтм полем га произвольной характеристики теория полупростых алгебраических линейных групп ') приводит по существу к тем же типам, что и в классификации Киллннга — Картана для к=С. Впоследствии Ж. Тите [ХХьг, а) и Ь)], анализируя методы Шевалле, нашел аксиоматический вариант разложений Брюа („ВУ-пары" ), в замечательно гибкой форме, с привлечением одной лишь структуры группы; именно это понятие под ') Существование большого числа „патологических" простых алгебр Ли нал полями характеристики р ) О могло бы вызвать сомнение в универсальном характере классификации Киллинга — Каргаиа.
истОРическии ОчеРк к ГлАВАм Г1 — ч! названием „системы Титса" было изложено в гл. 1Ч, 5 2. Все простые группы (в различных смыслах слова), о которых шла речь выше, канонически наделены системами Титса, н Тите сам [ХХЧ, с)) доказал, что наличие такой системы в абстрактной группе О, вместе с некоторыми дополнительными чисто теоретико-групповыми свойствами, позволяет утверждать простоту группы 6. Эта теорема покрыла большинство доказательств простоты, данных ранее для рассматриваемых групп (ср. гл. 1Ч, $2, п'6). Далее, в сотрудничестве с А. Борелем он обобщил результаты Шевалле [Х1Х, д)), установив существование систем Титса в группе рациональных точек полупростой линейной алгебраической группы над произвольным полем [ХХЧИ). Все системы Титса, встречавшиеся в этих вопросах, обладали конечной группой Вейля.
Другая категорйя примеров была открыта Ивахори и Мацумотой [ХХЧЦ; они показали, что если в конструкции Шевалле [Х1Х, с)) в качестве й взять р-адическое поле, то получаемая группа обладает системой Титса, группой Вейля которой будет оффинная группа Вейля исходной комплексной полупростой алгебры Ли. Совсем недавно Брюа и Титс [ХХЧПЦ перенесли этот результат на все полупростые алгебраические группы над локальным полем.
БИБЛИОГРАФИЯ (!) Л. Не в ее 1, Кгув1аПогпе1г1е одег КгуМа1!опопне ипд КгуйаПоВгарй!е (1830, герт. дапв Ов!сча)д'в К)азз)йег, !»ь 88 е1 89, 1.е)рг!д (ТеиЬпег), 1897). (!!) Ас В гача )в, Меиюсгев виг )ев ро)уедгев де 1оппе ауте)Пиие„ 1оигла! де Май., (1), 14 (1849), 141 — 180. (11!) А. М5Ьс и и а) ()еЬег дав Ссеве)а дег Вупипе1г)е дег Кгув1а11е ипд сИе Апсчепдип9 Левее Реве!ье аи1 сИе Е1п!Ье!)ипи дег Кгув1а11е 1п Вутегпе, У. с(е Ога!!а, 43 (1852), 365 — 374 (=Ссевапппе!- )е 1Чегйе, 1. 11, Ье)рг!д (Н)гае1), 1886, р. 349 — 360); Ь) Тйеопе дег вувпге!Нвсйеп Р)8игеп, беваттеИе 9)стасе, 1.
1!. $.е!ра)3 (Н!гье1), 1886, 561 — 708. (!Ч) 1.. 5 сЬ!а))с, ТЬеопе дег ч!еИасйеп Кои!!пиИаг, Реп)свсйг. дег Всйсче)а. па1иг1огвсй. СсевеИвсйа!1, 38 (1901), 1 — 237 (=Реь. табп Аййапд)ипдеп, !. 1, Вазе! (В!гййаизсг), 1950, 167 — 387). (Ч) 9)Г. И. Н а спг11оп, Метогапдит геврес))пи а пеис вув1епг о! гоо)в о) ипИу, РЬ!1 Маа.
(4) !2 (1856), 446. (Ч)) С. дог да п, Мдто!ге виг 1ев Вгоирез с)е пюисетепйи Алл. д! Ма(„2 (1868 — 1869), 167 — 215 е1 322 — 345 (=СХичгев, 1. )Чс Раг!з (Раий|ег-ЧИ!агз), 1964, 231 — 302). (Ч11) Е. Сс о и ге а 1, Виг )ев вийвП)иИопв огИго3опа)ез е) )ев сИчИюпв геди))егев де Геврасе, Алл. Ес.
Асогт. Яир. (3) 6 (1889), 9 — 102 (Ч!11] саг. К ! 11 ! п и, Р)е Хивавтепве1аипи дег з1еИдеп епМ)сйеп ТгапМоггпаИопв3гирреп: 1) Май. Алл., 31 (1888), 252 — 290; Н) там же, 33 (1889), 1 — 48; 11!) там же, 34 (1889), 57 — 122; ! Ч) тала же, 36 (1890), 161 — 189. (1Х) Е. Саг!ап: а) Виг )а в1исс)иге дев Втоирев де )свив!огтаПопв Ппй е1 сопПпив (Тйеве), Рапв (Мопу), )894 (=Жичгев сопгр!е1ев, Раг!в (Раи!Ь)ег-ЧИ)агв), 1952, 1. 1,, 137 — 287); Ь) Виг )а г4дис)соп а ва 1оипе сапопг9ие де 1а в1гис)иге д'ип дгоире де )гапв)огтаИопв Пп) е! солили, Атег.
Х. Май., !8 (1896), 1 — 46 (=(Еичгев сотр1е)ев, 1. !с, 293 — 353); с) !.е рг!пссре де диаП)е е) !а 134ог!е дез дгоирев а)тр)ев е1 зепгг-вопр)ев, Вий. Вс!. Май., 49 (1925), 361 — 374 (=(Еичгев согаР!Е!е, 1. )с, 555 — 568); д) Еа пеппе!г)е дев агоирез вопр)ез, Алл. д! Май. (4), 4 (1927), 209 — 256 (=(Еичгев сотр)е1ев, 1. 1а 793 — 840); е) Виг сег1а)пев 1огтев г)етапп)еппев гетагииаЫев дез идот41- Нев а Втоире 1опдатеп)а) вопр)е, Алл. Ес.
Фогт. Зир. (3), 44 (1927), 345 — 467 (=(Еичгев сотр!е1ев, !. 1ь 867 — 989); 1) Совр)степ! аи гпетоие «Виг )а 24оте1г!е дев 9гоирев в!тр)ев», Алл. а9 Май. (4) 5 (1928), 253 — 260 (=(Еичгеь сопгр!е1ев, 1. 1ж 1003 — 1010). (Х) И. Р г! с)с е ипд Р. К)е ! п, Тйеопе дег аШопгогрЬеи РипЫюпеп, Ее)ра)3 (ТеиЬпег), 1697. (Х1) 1.. Е. Рсс)своп: а) ТЬеогч о! 1)пеаг дгоирв )и ап агЬИгагу ПеЫ, Ггалк Атег. Май. ооа, 2 (1901), 363 — 394; Ь) А паис вуз!есп о1 зйпр1е Вгоирв, Май. Алл., 40 (1905), 137 — 150; с) А ЬИБЛИОГРАФИЯ 295 (ХП) (ХН1) (Х!Ч) (ХГЧ Ь!в) (ХЧ) (ХЧГ) (ХЧН) (ХЧПГ) (Х1Х) (ХХ) (ХХГ) (ХХН) (ХХ! 11) 4ХХГЧ) с!авь о! 8гоирв !и ап агЬ~1гагу геа!тп соппес1ед чтИЬ !Ье сопП. биге($оп о( Гйе 27 Ипев оп а сиЬгс виг(асе, Оишге У.
Май., 33 (1901), 145 — 173; 39 (1908), 205 — 209. А. 5 р е ! в е г, ТЬеоНе бег Огирреп чоп епббсйег Огбпипб, Вег- 1!п (брг!пбег), 1924. Н. У!Г е у 1, ТЬеог!е бег Оагйе!)ипб йопбпшег!Гойет Ьа!Ь-е(п(асйег Оптрреп г$игсЬ Ипеаге ТгапвГогша1$опеп, Май. 2е!Мсйт„23 (1925), 271 — 309, 24 (1926), 328 — 395, 739 — 79! (=5е1ес1в, Ва. ве1-5!и((баг( (ВГгййаивег), 1956, 262 — 366). Н.
5. М. Сохе(ег: а) Огоирв ~чйове Гипбагпеп1а! геб!опв аге в!тр(ехев, У. Ьолй Май. 5ос., 6 (1931), 132 — 136; Ь) ТЬе ро)у- !орен игИЬ геби!аг рг!япабс $$3игев, Ртос. Е.олг(. Май. 5ос, (2), 34 (1932), 126 — 189; с) Ойсге$е бгоирв бепегагед Ьу геПес!юпв. Алл. Май. (2), 35 (1934), 588 — 621; г$) ТЬе сошр1е1е епшпега- Поп о( ПлИе бгоирв оГ 1Ье Гопп У(г = ($7г УГ;) т = 1, У. Е.олг(. 2 Май. 5ос., 1О (1935), 21 — 25; е) $(еби!аг ро1у!орех, Ь)ечг Уог!с (Мвсш!11ап), 1948 (2' 46., 1963); $) ТЬе ргодис1 о1 бенета(огв о1 а $!пИе бгоир бепега(еб Ьу геПесПопв, $)ийе Май.
У.. 18 (1951), 765 — 782, Н. 5. М. С о х е 1 е г Гп Н. % е у 1, Тпе в1гис1иге а па гергевеп- 1а1юпв о1 сопПпиоив бгоирв (1пв1, 1ог Абч. 5!иду, по!ев пишео- %.. гар)беев раг ЬГ. УасоЬвоп е1 $$. Вгвиег, 1934 — 1935): Аррепб!х. . 5. М. Со х е! е г апб (Ч. О. У. Мок е г, Оепега1огв апб ге)а- 1!опв Гог йвсге1е бгоирв, ЕгбеЬ. бег Магй., Ь(еие Ро1бе, Вй 14, ВегПп (брппбег), 1957 (2' ей, 1965). В. $..
чап бег ЧУ а ег6еп, $)!е К1авюПсабоп бег е!п(асйеп $.!е- вспеп Огирреп, Май. Хегувсйг., 37 (!933), 446 — 462. Е. $Ч ! 11, бр(ебе(ипбвйгирреп ипг$ Аи(тайипб Ьа!Ье!п(асЬег 1левсЬег й!пбе, АЬИ. Май. 5елс Натой. ГУл!о., 14 (1941), 289 — 322. Е 5 1 ! е 1 е 1, $)еЬег е!пе Вех!ебипб хв Всбеп бевсЫоввепеп Ьйе'вспе Оптрреп ипб б!вйоп($пи!ег((сйеп Вечгебипбвдгирреп еиМ)йвсйег йашпе ипб йге Апигепбипя аи( б!е Аи(хаЫипб бег еш1вспеп $.!е'вспеп Огирреп, Соте. Май.
Не(о., 14 (194!в 1942), 350 — 380. С. СЬеча!!еу: а) бит 1а с)аввШса1!оп бев в!Яебгев бе $ле кипр(ев е1 бе Геигв гергевеп1в1юпв, С. $$., 227 (1948), 1!36 — 1138; Ь) 1пчаг!ап1в о1 ПпИе бгоирв бепега(ед Ьу геПес1юпв, Ашет. У. Май., 77 (1955), 778 — 782; с) бит сег1а(пв бгоирв вппр!ев. ТоИбйи Магй. У. (2), 7 (1955), 14 — 66. (Есть русский перевод: К. Ш е е а л л е, О некоторых простых группах, Математика, 2: 1 (1958), 3 — 57]; б) С!авв!ПсаПоп бев ягоирев де $.$е а!беби'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
