Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Показать. что р(~1+ 1. (Свести к не- приводимому случаю и использовать классификацию.) 1О) а) Пусть (Ф', 3) — неприводимая конечная система Кокстера. Положим )Р'(Г) = ~Ч", 1згао (гл. 1Ч, $1, упражнение 26). мы я' пусть тп ..., т! — показатели группы йг (гл. ч, и 6, п'2). проверить для небольших значений 1 формулу (использовать теорему 1 и упражнение 26 к гл. 1Ч, 6 1).
з) б) Пусть /7 — приведенная непрнводимая система корней н )Уг (соотв. )Р'а) — группа Вейля (соотв, аффииная группа Вейля) системы /7, наделенная струхтурой группы Кокстера (соответствуюшей выбору некоторого алькова). Как и выше, определяются )Р' (1) и показатели тд положим также Ц7 (1) = Х СС(~>.
Проверить при небольших значениях 1 формулу ') Доказательство, ве использующее классификацию. см. в статье: В. Ко з 1 а и 1, ТЬе рг)пс)ра! (Ьгее-б(шепа!опа) знййгопр зп<$ !Ье Ве!Н пшпЬегз о1 а сошр!ех з)шр(с 1Ле йгопр, Апнг. /. Ма/й., 81 (1959), 973-! 032. ') Доказательство втой формулы, зе использующее классификацшо и верное при всех значениях А сч в статье: Ь. Во!ошоп, ТЬе огбегз о!' Рйе Вп11е СЬеча11еу игопрз, /. о/ А1- лебга, 3 (1966), 376 — 393. ГЛ ЬС СИСТЕМЫ КОРНЕЯ 284 (использовать теорему 2 и упражнение 26 к гл. !Ч, 9 1).
') 4(( 11) Пусть (йу, Я) — система Кокстера типа Нз (см. теорему 1). а) В тех же обозначениях, что н при доказательстве леммы 2 в гл. Ч, 9 6, п'2, показать, что (х', а") =м/5; вывести отсюда, что число Кокстера Ь группы 97 равно 1О и что показателями группы й" будут 1, 5 и 9. б) Используя а), показать, что Сагд (йт) = 120 н что число отражений группы йг равно 15. в) Вновь установить формулу Сагд (йт) = 120, применив упражнение 5 к гл. Ч,63. г) Пусть 9(ь — знакопеременная группа множества (1, ..., 5); для различных а, Ь, с, б из множества (1, ..., 5) обозначим через (иЬ) транспозип4по элементов а и Ь, а через (аЬ) (сг() произведение транспознцнй (аЬ) н (сг!).
Пусть г4 (!4) (23), гз — — (!2) (45), гз = (12) (34) Показать, что (г,гз)4 = (гзгз)' = (г,гз)' = 1. Вывести отсюда существование гомоморфнзма Н йг -ь 9(ь, отображающего 3 на (гь г„гз); показать, что ! сюрьективен. д) Пусть е: йг -э(ж 1) — гомоморфизм ю г-э ( — 1) !и!. Показать, что ((,.): и 9(,Х(*!) есть изоморфнзи.
(Использовать тот факт, что обе рассматриваемые группы имеют один и тот же порядок.) $ !2) Пусть (1, 1, !) Ь) — канонический базис тела кватерннонов.Н, ярн помощи которого отождествляются Н н Н4. На Н вводится скалярное ! произведение — (ху+ ух). Пусть à — мультнпликатнвная группа кватер- 2 пионов с нормой !. а) Если а 4м Г, то ортогональное отражение за в Н, которое переводит а в — а, совпадает с отображением хг — Р— аХа.
м 1. / Зя! 1 б) Пусть 4) = сов —" — — 4+(соз — ) )щГ и г — (1+ 4+ ) + Ь)щГ. 5 2 1 5 ) 2 Пусть Я вЂ” множество кватерннонов„пелучающихсн из 1, 4), г четными перестановками координат и изменением знаков некотоРых координат. Тогда ч! является подгруппой в Г порядка 120. в) Пусть йг — подгРУппа в НЕ (Н), поРожденнаЯ отРаженнами зе с а гп 44. Показать, что йг оставляет устойчивой я, является конечяой, непрнводимой, но не является крнсталлографической; вывести отсюда, что йг имеет тип Н, (см.
теорему 1). г) Показать, что йг действует на Я транзнтивно. (Использовать предложение 3 гл. 1Ч, й !.) д) ПУсть азщ 1;1, Ч вЂ” векторное подпространства в Н, ортогональное к пс н пусть 94з — стабилизатор вектора ич в 97. Показатть что сужение )Рз на )4 есть непрнводиман группа, порожденная отражениями (гл. Ч, 9 3, и'3), но не являющаяся кристаллографнческой. Вывести отсюда, что Фа — группа Кокстера типа Н,. ') Доказательство втой формулы, не использующее классификацию и верное прн всех значениях 1, см. в статьях: 1(.
В о! 1, Ап арр1!саНоп о! 1)4е Могье Гпеогу (о !йе 1оро1ойу о! )ле йгопрз, Виу. Бес. Ыа!Ь. Ргалсе, 84 (1956), 251 — 281; !4. )чга Ьог1, Н. Ма1знюо1о, Оп воще Вги)4а1 бесощроьН1оп щиб !)4е ь!гпс!пге о! !)4е Нес!4е ппйз о! Р.агВс Сйета!1еу йгопрз, РиИ. Ми!Ь. )лзй Наи!ез Е!. Яс!., Нз 25 (1965), 5 — 48. УПРАЖНЕНИЯ е) Показать, что Сагд (йт) = 2». 3э.
5» (использоэать г), д) и упражнение 11). е) Показать, что число Кокстера группы йу равно 30 и что ее показателями будут 1. 11, !9, 29. 13) Пусть )» — гиперплоскость в ((», определенная уравнением х,-(- ... ... + х, О, и Š— подмножество в У, состоящее из точек (2, 2, 2, — 1, — 1, — 1, — 1, — 1, — 1), ( — 2, — 2, — 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (3, — 3, О, О, О. О, О, О. О) и из точек, которые получаются перестановками координат этих трек точек. Показать, что Е является системой корней в У типа Е».
14) В обозначениях п" 7 показать, что аатоморфнзм пространства (1~+», который переводит е, в е, еэ в е, ..., ег в а +! и е ! в еР индуцирует преобразоаание Кокстера системы Е типа Аь 15) Дать описание микровесов ($ 1, упражнение 24) для каждого типа неприводимой приведенной системы корней. (Находятся фундаментальные веса й»,..., й для А, эес ф для Вг вес й для С, веса й», ю! », и для Вг веса й! и ф для Е, вес й' для Е; для Е, Р и 0 ничего находить ие нужно.) »(( 1б) Пусть (йг, 5) — конечная неприводимая система Кокстера, и пусть и = Сагб (8).
а) Г1оказать, что если (йу, 5) — не типа Рь то существует подмножество х »: В из и — ! элементов, такое, что (йг , х) будет тяпа А„ б) При помощи канонического представления (гл. Ч, $ 4) !г" отождествляется с подгруппой г~уппы 6(.()с~). Показать, что существует такой базис (еь ..., еп) в (1, что при любой перестановке и ш юэ автоморфизм пространства )(, переводящий е, в ее!»1, 1 «(» ~(п, при- 3 надлежит группе йг („ теорема Берисайда"). (В случае когда тип системы (йу.
5) отличен от Р„использовать а); в случае же типа Р, заметить, что (Р' содсря»ит подгруппу типа В» (см. п'9), а это сводит задачу к предыдущей.) в) Пусть Š— какая-то подгруппа группы аатоморфизмов системы (йу, 5). Показать, что полупрямое произведение Е ° )Р группы Е иа йу погружается каноническим образам а 04.()(~). Показать, что определенная таким образом полгруппа в О(.((( ) порождается отражениями, за 3» исключением следуюпгих четырех случаев; (Ц ((Р. 5) — типа Аэ, л)~4; группа Š— порядка 2; (и) (йг, 5) — типа О», группа е — порядка 3; (11!) (йг, В) — типа Р„ группа Š— порядка 2; (!У) (МГ, 5) — типа Е», группа Š— порядка 2. показать, что в случаях (») и (»ч) будет е ° 97=(щ1) л', йг. показать, что в случае (ш) группа Е (у» не оставляет устойчивой никакой решетки а )4.
г) Пусть йу» — конечная подгруппа в 0).э(((), порожденная отражениями, непрпводимая и существенная, и пусть 0 — конечная подгруппа в 6Еь((4), содержащая йу». Показать, что 0 либо порождается отражениями, либо имеет эид Е йг, где Е и йг принадлежат к одаому из типов (») — (1ч) упражнения в). (Пусть йу — группа, порожденная отражениями, которые содержатся и О.
Группа 0 переставляет между собой камеры относительно йу. Как и а 9 2, п'3, вывести, что 0 имеет указанаый впд Е ° 1Р'.) ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ !Ч вЂ” Ч! (и. В. Римские цифры в скобках отсылают к библиографии, помещенной в конце настоящего очерка.) Группы, изучавшиеся в этих главах, возникали в связи с различными вопросами геометрии, анализа н теории групп Ли то в виде групп перестановок, то в виде групп перемещений в евклидовой или гиперболической геометрии, но вплоть до недавнего времени эти разные подходы не были согласованы друг с другом.
Исторически возникновение теории намного предшествовало введению понятия группы: фактически она берет начало в исследовании свойств „регулярности" илн „симметрии" геометрических фигур и особенно в описании правильных многоугольников и многогранников (восходящем, без сомнения, к пифагорейцам), которое увенчивает „Иачала" Евклида н является одним из наиболее блистательных творений греческого гения. Позднее, а именно у арабских авторов конца средних веков и затем у Кеплера, появились зачатки математической теории правильных „покрытий" плоскости нли сферы попарно конгруэнтными (но не обязательно правильными) многоугольниками; происхождение этой теории, несомненно, свяаано с различными типами орнаментов, изобретенными античной и арабской цивилизациями (что можно с полным правом рассматривать как подлинную часть математики, созданной этими цивилизациями !ХП]).
В 1830 — 1840 г. исследования по кристаллографии (Гессель, Бравэ, Мебиус) привели к изучению проблемы, которая в точности совпадает с проблемой описания конечных групп перемещений в евклидовом пространстве трех измерений, хотя упомянутые авторы и не пользовались еще языком теории групп; последний входит в употребление лип:ь около 1860 г., и именно занимаясь классификацией групп, Жордан в 1869 г. [ЧЦ описал дискретные подгруппы сохраняющих ориентацию перемещений пространства Иа (и, более общим образом, все замкнутые подгруппы групп перемещений, сохраняющих ориентацию).
Этот цикл идей развивался в Х1Х веке в нескольких направлениях, из которых отметим наиболее яркие. НГЛОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГР— Ш 287 1 В соответствии с тенденцией, проявившейся в теории конечных групп с самых ранних пор, старались „задавать" конечные группы перемещений образующими и соотношениями возможно более простого типа. Так, в !856 г. Гамильтон [Ч] доказал, что конечные группы вращений в евклидовом пространстве 8' порождаются двумя образующими Я, Т, связанными соотношениями ЯР = Т'= (5го)' = 1, при надлежащих значениях р и г7. 2' Дискретные группы перемещений могут содержать и могут не содержать отражений. Начиная с 1852 г.
Мебиус описал, по существу, порожденные отражениями конечные группы перемещений в сферической геометрии (что эквивалентно той же задаче для конечных групп евклидовых перемещений в !аз); он нашел [ПЦ, что, за исключением циклических групп, фундаментальной областью такой группы служит сферический треугольник с углами вида и/р, пггг1, и/г, 1 1 1 где р, г1, à — три целых числа ) 1, для которых — + — + — ) 1 р д г !см. гл.
Аг, В 4, упражнение 4). Он установил также, что этн группы содержат в качестве подгрупп все конечные группы перемещений. 3' Этот последний круг идей получил новый стимул к развитию, когда вслед за работами Римана и Шварца по гнпергеометрическим функциям и конформным представлениям началось изучение „покрытий" комплексной плоскости или полуплоскости фигурами, которые ограничены дугами окружностей; Клейн и Пуанкаре заложили здесь основы теории „автоморфных функций" и рассмотрели (для случая дуг окружностей, ортогональных к фиксированной прямой) проблему, эквивалентную проблеме нахождения дискретных подгрупп группы перемещений гиперболической неевклидовой плоскости [отождествляемой с „полуплоскостью Пуанкаре") [Х[. 4' В работе, которая восходит приблизительно к 1850 г., но была опубликована много позднее и оставалась долгое время в забвении, Шлефли [117[ распространил понятия правильного многогранника и покрытия пространства 1кз такими многогранниками на все евклндовы пространства К".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
