Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(Использовать формулу (14), и' 1О. Показать, с другой стороны, что в вещественном векторном пространстве, снабженным скалярным произведением, два базиса (еп ..., е„), (в~!,..., в,',), для которых (е! ! в~1) = ЬН, удовлетворяют условию де1(е, ) (е(, ..., е,',) >0.) 8) Пусть Я вЂ” привелеиная система корней. С вЂ” камера, 2п — сумма влементов >О в )тзг, Р'(Ю вЂ” множество кчпР(Ю, лля которых (к, и) ~и 2.
Справедливы вклю зення () (Я) <:. Р (Р) ~ Р ()7), причем Р (В7Р (Н) будет порядка 1 илн 2. Пусть (Ь!,..., Ь!) — базис в Рт, соответствующий камере С. Положим 2п=п,б, + ... + п1рг, тле п, — целые ~исаа >О, Для того чтобы Р'()7) Р()7), необходимо и достаточно, чтобы все и были четнымн. з(( 9) Пусть )7 — система корней, С вЂ” камера. Положим В (С) = ап ..., а!), ( )7+ (С) = (аи ..., аг а!+!, ..., аэ) (все а попарно различны) и а а, + ... + ак а) Пусть а'= в,а, + ... + е„а,, где вг = ж 1 прн 1=1, 2, ..., ь. Если (а" ! а!) >О при 1= 1, ..., 1, то а' = а н ег = 1 при всех Л (Пусть у (соотв.
Ь) — сумма а, для которых е =1 (соотв. — 1). Имеем (у(ат)— — (Ь !а ) >О, (у / аг) + (Ь / а!) = (а! / а!), откупа 2(у!а )>(а!/а,); так как 2(у(а )/(а!(а,.)~Е, то (у) а!)>(а ) а,) =(а(а,), откупа у — аыС, у>а, у=а и Ь=О) б! Для ! =1, 2, ..., з пусть е! — — щ 1. Для того чтобы множество всех егаг было множеством коркей > 0 относительно какой-нибудь камеры, веобхолимо и достаточно, чтобы вектор а' = ~~ вза! принадлежал некоторой камере.
(Что касается достаточности, то следует взить р! = щ 1. такие, что (а ! р а,)>0. Существует элемент ~а щ бт (17), который переводит множестпо векторов р а в множество векторов а! и, стало быть, а' — В а" = ~'~Е!Р;ач!11, ГДЕ аЧМ Ю . ПРИМЕНЯЯ а), ПОКаЗатЬ, Чта а" а, ! откуда Р,е, =1.) 10) Пусть а — максимальный корень приведенной непрпводимоп системы Н относительно некоторого базиса. Для чаксимальиостч корпя азг необходимо и достаточно, чтобы все корни были одной и тю .к. длины. ГЛ Ч1. СИСТЕМЫ КОРНЕЯ 11) В обозначениях предложения 33 из и' 11 показать, что 0;+0Х не является корнем ни для одной пары пары (У, У), 12) Пусть )2 — система корней в )г ранга >3, (аи ..., а ) — базис в Р, )г (соота.
Ч") — подпространство в Ч, порожденное корнями аг для 1)~ 2 (соотв. 1) 3), Й'= ВЙ У', )г" =)г() г'". Пусть б (соотв. ч', 1гч)— определитель матрицы Картава системы В (соотв. В', Вз). Предположим, что а, ортогоналеи ко всем а, за исключением а, и что )) а, !)=() аз)). Показеть, что б = 2п' — 11". !3) Пусть  — приведенная система корней, (а,..., а ) — базис в )с с,(а,.) а ) и а =с а1+ ...
+ с!а! — некоторый корень. Тогда ' ш 2 для 11 "' 1 (а) а) всех 1. (Рассмотреть дуальну1о систему.) !4) Пусть  — непрнводимая система корней, )г — наибольшая из длин корней, 5 — множество подмножеств в )1, состоящих из попарно орто- гональных корней длины л. Тогда лва максимальных элемента в 5 будут переводиться друг в друга группой Ж'(В).
(Использовать предложение 11 и предложение 1 из гл. Ч, $3, и 3.) ч( 16) Пусть )1 — система корней ранга б а) Для справеллнвости включения — 1 ш )Р" (УУ) необходимо и доста- точно, чтобы система В содержала 1 строго попарно ортогональных корней. (Для доказательства необходимости провести индукцию по 1, испольауя предложение 1 гл. Ч, $ 3, п'3.) б) Для каждого элемента гэ ш йг (х!) порядка 2 существует такое множество 5 строго попарно ортогональных корней, что ш будет произ- ведением отражений з„ (а 1м 5).
16) Пусть )1 — система корней,  — базис в В, Ве — множество положительных относительно этого базиса корней. Для ш ш )г'()1) поло- жим Рм = )(+ П и ( — В+). Показать, что отображение ы ь-ь. Рм является биекцией )Р (В) на множество подмножеств Р ~ Ве, таких, что Р и замкнуты.
(Применить к подмножеству Р (Ве — Р)() ( — Р) следствие 1 предложения 20.) ч! 17) Пусть )1 — приведенная система корней и  — ее базис. Для любого подмножества Х ~ В пусть )Р' — подгруппа н йг(В), порождену иая отражениями з с а ш Х, н ш — элемент наибольшей длины в )р н Пусть Ф вЂ” множество всех ш .
Г а) Показать, что дли того чтобы элемент ш ш )г' ()2) принадлежал Ф, необходимо и достаточно, чтобы ш (В) 1"' Уг+ (В)()( — В). (Для доказательства достаточности этого условия обозначим через У, множество а 1м В, для которых зз (а) ш — В, и положим Х= — ге (У,). Если а1ыХ, то ш(а)ш — Х и ш ш(а)шВ! если же аа — У, то 1* Х 1' ш щ (а) сп )1 ! в противном случае ю (а] был бы положительным, а ю ш (а) — отрицательным, нз чего следовало бы, что ш (а) прпнад- лежит подсистеме, порожденной корнями 0 1ж У, и что а принадлежит подсистеме, порожденной корнями 0 ш УР а это ие так. Вывестн отсюда, что ш щ=!.) Х б) Показать, что элемент ш 1ы йг (В) имеет порядок 2 тогда и только тогда, когда он сопрязсен с одним из ш .
(Для доказательства необхо- димости этого условия зачежязч что элемент ш порядка 2 в )Р" ()г) УПРАЖНЕНИЯ 27Т является отражением относительно подпространства, порожденного некоторой ячейкой Р. С точностью до замены и на сопряженный элемент можно предполагать, что Р !: С, где С вЂ” камера, определенная базисом В. Ячейка Р в таком случае будет пересечением гиперплоскостей ьо с а, пробегаю!цим некоторое полмножество 7 с: В, и ш = ш .) Р 18) Пусть Р— система корней, и пусть Р— параболическое подмножество в Р. По(сазать, что дополнение к Р в Р замкнуто. !9) Пусть Р— система корней, и пусть х — ненулевой элемент в (с (Р) минимальной длины. Показать, что х ш Р. 20) Пусть (а, ..., а ) — базис приведенной иг неприводимой !' системы корней Р. Пусть г и р — два целых числа р) 2, таких, что (а,)а,)= ... =(а,(а)=р.(а,,)а,,)= ...
=р.(а (а), а) Пусть а = с,а, + ... + с а — корень. Показать, что (а (а! = = (а, (а,) (иными словами, что а есть длинный корень) тогда и только тогда, когда р делит с П ..., с. г-!-!' б) Пусть й — число Кокстера группы (Уг(Р). Показать, что число корней в Р наибольшей (соотв. наименьшей) длины равно йг (соотв. Ь (! — г)). 21) Пусть Р— система корней и  — ее базис. Пусть а, () сп В и ш ш йг (Р) таковы, что () = ш (а).
Показать, что существуют последовательность ао ..., аа элементои системы Р и последовательность ш!, ..., ш„, элементов группы йт (Р), такие, что (!) а, =а, аз=р! (!!) ш = ша-~ . (ш) ш!(а )=а прн 1<!'(~п — 1; (!т) для любого !' !и (1, л — 1) существует такой корень р! ш В, что ю! будет принадлежать подгруппе в ЧТ, порожденной отражениями ! ч( 22) При тех же условиях и обозначеаиях, что и в предложении 33 из п'11, обозначим еще через йп ..., й фундаментальные веса системы Р. а) Показать, что с-'(й,.)=й — 8.
Вывести отсюда, что ! — с ото!' бражает Р (Р) на () (Р) б) Пусть ) — индекс связности системы Р, и пусть шп ..., ш показатели группы (Уг (Р). Показать, что ) = бе((1 — с) = П (! — га !) = 2 П ып(т!п(й), !=! !'=! где ш=е тп!!А в) Пусть р — простое число. Запишем Ь в виде Ь= раН с Н, не деля!нимся на р.
Показать, что для того чтобы р делило ), неооходимо и достаточно, чтобы Н делило одно из чисел ш!.') 23) Пусть Р— приведенная система корней, и пусть Х вЂ” подмножество группы Р (Р). !'оворят, что Х иасып!ено, если выполнено следувшее условие: ') Этот результат, пока нигде не опубликованный, был сообщен нам Р. Стеб!Ябергом.
ГЛ У!. ОИОТКМЫ КОРНВИ (Н) Каковы бы ни были р >ы Х, а ш Р и > ш Е, такие, что !' заключено между О и (р, а >, справедливо включение р — (а щ Х. х> х а) Показать, что всякое насыщенное подмножество устойчиво относительно группы Вейля В' системы Р. б> Показать, что для люГ>ого подмножества А щ Р (Р) существует наименьшее насыщенное подмножество 5(А) ~ Р(Р), содержащее А. в) Пусть С вЂ” камера в Р, и пусть р гм Р (Р) ДС вЂ” старший вес.
Пусть 5(р) — наименьшее насып>сивое подмножество в Р(Р), содержащее р. Пусть, наконеп, л(р) — множество таких элементов р'гм Р(Р), что (>1 р' == р шоб Я(Р); (О) лля любого ю!м )У выполнено неравенство га(р') (~ р (в смысле отношения порядка, определенного камерой С). Показать, что Х(р) конечно, содержит р и насыщено. Сделать иывод, >то Я (р) содержится в В(р). г) Показать, что если а — элемент из Р максимальной длины, то 5(а) = Р()(О).
24) Сохраняются обозначения и условия предыдуп>его упражнения. а) Пусть р щ р(Р), и пусть йу.р — орбита р относительно йг. Показать, что эквивалентны следующие условия: й 5 (р) йг р; (О) (р,а>>) О, $ или †! при всех а щ Р. (Если (В) не выполнено, то строится элемент г»м Я (р), такой, что (>) ( д) ((р( р), откуда >) ф йг.р.) б) Пусть Х вЂ” иепустое насыщенное подмножество в Р (Р).
Показать, что Х содержит элемент р, удовлетворяющий указанным выше уело. виям (В и (В). (Взять в качестве р элемент пз Х минимальной длины.) н) Система Р предполагается здесь неприволимой. Пусть С вЂ” камера в Р, В = (а.) — соответстиуюший базис и ' >ю! ,* Ър~п у > — максимальный корень дуальной системы РХ>, Пусть >' — множество тех > !и Р лля которых и =!. Пусть р — старший вес ~ О.
Показать, что условия (>) и (и) из а) эквивалентны каждому из следующих услоний: ('") (р, у*)=(; (гк) существует такой индекс ! >ы Х, что р равен соответствующему фундаментальному весу й . Вес р, удовлетворяющий этим условиям, называется ликроаесом. Показать, что всякое непустое насыщенное подыиожество в Р (Р) содержит либо О, либо микровес. Через Р обозначается приведенная система корней в вещественном векторном пространстве У. !) Пусть х >и У, и пусть йг(х) — подгруппа в йг(Р), состоящая нз элементов и, для которых ю ( к) — к гм >;> (Р).
Показать, что йг (г) порождается отражениями. (Использовать аффипную группу Верли дуалькой сигтемы Р~.) 2) предположпм, что гисхгчя Р игприводнма. пусть (аи ..., а!)— базис, а = ~ л,п, — макгпнзльпый корень и ! — индекс связности си- УПРАЖНЕНИЯ 279 стемы к. Показать, что 1 — 1 равно числу индексов С для которых и =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
