Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Он полностью описал правильные „политопы" в каждом )А", группу перемещений, оставляющих инвариантным один из таких политопов, и фундаментальную область этой группы; как и в случае п = 3, изученном Мебиусом, эта область является „камерой", след которой на сфере 8„, представляет собой сферический симплекс. Однако он не стал заниматься обратной задачей нахождения конечных групп перемещений, порожденных отражениями в К"; эта задача была решена истогичнскии ОчеРк к главам ш — и! лишь много позднее Гурса [Н1!] для и=4, а для произвольного и ее решение должно было ждать работ Э. Картана [1Х, 1)] и Кокстера [Х1Н], на которых мы остановимся ниже.
Примерно к 1890 г., с первыми работами Киллиига и Э. Картана по группам Ли, оформился новый цикл идей, который долгое время развнвался без связи с предыдущим. При изучении строения комплексных полупростых алгебр Ли Киллииг [Н1П] и Картан [1Х, а)] сразу же осознали первостепенную роль некоторых линейных форм ю, на „подалгебре Картана" (1 такой алгебры Лн 11; это не что иное как „корни" относительно [), названные так потому, что у Киллинга онн появились как корни характеристического уравнения йе1(абз(х) — Т)=0, левая часть которого рассматривается как функция от х е= :1>. Гвойства этих „корнеи"„ установленные Киллингом и Картаном, можно выразить на геометрическом языке гл. Н1, сказав, что они образуют „приведенную систему корней" (см.
гл. Н1, ~ 1, и'4); далее, ими было показано, что классификация комплексных полу- простых алгебр Ли сводится к классификации ассоциированных „систем корней", которая в свою очередь сводится к описанию некоторых матриц с целыми коэффициентами (названных впоследствии „матрицами Картана"; см. гл. Н|, э 1, и'8). Киллннг и Картан доказали также существование для любого корня ю, инволютнвной перестановки 5, множества корней'); онн использовали существенным образом преобразование С = 5а,5,, ... 5„, — произведение перестановок, ассоциированных с 1 корнями фундаментальной системы (ныне оно называется „преобразованием Кокстсра"); они же продолжили указанную перестановку до линейного преобразования векторного пространства, порожденного фундаментальными корнями ю„, (1~(1~(1), и изучили его собственные значения ([Н111, Н)], стр.
20; [1Х, а)], стр. 58). Но ии Киплинг, ни (на первых порах) Картан не догадывались рассмотреть группу У', порожденную всеми 5„; и когда несколько позднее Картан [1Х, Ь)] описывал группу Галуа У характеристического уравнения 11 е1 (а 11 „(х) — Т) = 0 с „общим элементом" хеп(1, отображения 5, им сначала не вводились в игру; 30 лет спустя, уже под влиянием работ ') Обозначении еа и Яа с.ответствуют нашим обозначеииим а и за из та.
Н1, Э 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1Р— Р1 289 Г. Вейля, он показал [1Х, с)[, что У' есть нормальная подгруппа группы У, и описал во всех случаях строение факторгруппы У/У', которая (для простой алгебры й) имеет порядок 1 или 2, за исключением случая 04, когда она изоморфна группе аз; именно в этой связи он интерпретировал также У' как группу, индуцируемую внутренними автоморфизмами комплексной полупростой алгебры Ли, оставляющими устойчивой подалгебру Картаиа '). В работах Г. Вейля, о которых мы только что упомянули, была впервые введена геометрическая интерпретация группы У' (иазванной впоследствии „группой Вейля" алгебры й); в то время как Киллинг и Картан работали с преобразованием С, он высказал идею рассматривать все 5, как отражения в векторном пространстве линейных форм на (), В мемуаре Г. Вейля [Х111) впервые появйлась также фундаментальная область ааффиниой группы Вейля" (впрочем, связь ее с „группой Вейля" У' не была ясно указана); Вейль использовал ее для того, чтобы установить конечность фундаментальной группы полупростой компактной группы, что было, в свою очередь, основным моментом в его доказательстве полной приводимости линейных представлений комплексной полупростой алгебры Ли.
Вскоре Э. Картан осуществил синтез глобальной точки зрения Г. Вейля, своей собственной теории вещественных или комплексных полупрсстых алгебр Ли и теории симметрических римановых пространств, которую он в то время строил. В мемуаре [1Х, с))) он завершил описание фундаментальных политопов группы Вейля, обычной и аффинной, и ввел решетки весов и радикальных весов (гл. и'1, $1, па 9); в [1Х, е)) он распространил этот подход на симметрические пространства и таким именно образом столкнулся с первыми примерами неприведенных систем корней (гл.
Ъ'1, $4, и'1). Наконец, в статье [1Х,[)] дано первое доказательство того факта, что всякая конечная группа, порожденная отражениями в 11" и являющаяся не- приводимой, обладает фундаментальной областью со сферическим симплексом в качестве следа на В„б в этой работе Картан установил также геометрическими средствами единственность максимального корня (относительно произвольного лексикографического порядка на системе корней). Спустя некоторое время Ван дер Варден [ХИ], опираясь на результаты мемуара Г.
Вейля, показал, что классификация комплексных полупростых алгебр Ли эквивалентна классификации приведенных систем корней, каковую он и ') Обозначения У и э' соответствуют нашим обоэиачениям А(й) и Яр (44) иэ га. Щ, й 1, и'1. 1О За». 6!. Н. Бурсаки ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ !Н вЂ” Н! осуществил при помощи элементарных геометрических соображений (тогда как у Киллинга и Картана эта классификация следовала из сложных вычислений определителей). Почти в то же время Кокстер описал в явном виде все неприводимые конечные группы евклидовых перемещений, которь!е порождаются отражениями [Х1Ч, с)]; он дополнил тем самым результаты Э.
Картана [1Х, д)], который описал лишь „кристаллографические" группы (т. е. группы, ассоциированные с системами корней, нлн, еше, допускающие вложения в бесконечную дискретную группу перемещений). В следующем году Кокстер показал [Х1Ч, д)], что конечные группы, порожденные отражениями, суть единственные (с точностью до изоморфизма) конечные группы, допускающие задание инволютивными образующими )т! и определяющими соотношениями вида ()ТЯ!) з! =1 (гпз!-целые числа); отсюда и название „группы Кокстера", присвоенное потом группам (конечным илн бесконечным), допускающим такое задание.
Первые связи между двумя циклами исследований, описанными нами выше, были отмечены впервые, по-видимому, Кокстером [Х1Ч Ь)з], а затем — Виттом [ХЧИ]. Они установили, что бесконечные неприводимые группы евклидовых перемещений, порожденные отражениями, взаимно однозначно (с точностью до изоморфизма) соответствуют комплексным простым алгебрам Ли. Витт дал новое описание дискретных групп этого типа и, кроме того, обобщил упомянутую выше теорему Кокстера из [Х1Ч, г()], охарактеризовав подобным образом группы Кокстера, изоморфные бесконечным дискретным группам евклидовых перемещений. Этот результат н тот факт, что аналогичные группы в гиперболической геометрии также являются группами Кокстера '), привели к тому, что стали самостоятельно изучать эти последние группы, сначала (ср. гл.
Ч, $4) с упором на геометрическую реализацию ([ХЧ], [ХХЧ]), а затем, вслед за Ж. Титсом [ХХЧ], в чисто алгебраическом аспекте, принятом и в настоящем трактате (гл. 1Ч, $1). Начиная с работ Витта, теория полупростых групп Ли и теория дискретных групп, порожденных отражениями, не прекращают воздействовать друг на друга исключительно плодотворным образом. В 1941 г. Штифель [ХЧ11Ц заметил, что группы Вейля суть в точности конечные группы, поро- ') Зти группы, досконально наученные в случае размерности 2, ие рассматривались, между прочим, в размериостик~ 3 вплоть до носледвик лет.
ИСТОРИЧЕЕКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ЪЧ-ЧЪ жденные отражениями и оставляющие инвариантной некоторую решетку. Шевалле [Х1Х, а)] и Харнш — Чандра [ХХ, а)] дали в 1948 — 1951 г. априорные доказательства взаимно однозначного соответствия между „кристаллографическими" группами и комплексными полупростымн алгебрами Ли; до тех пор могли только проверять наличие этого соответствия отдельно для каждого типа простых алгебр Ли. Далее, к 1950 г. было замечено, что многочлены, инвариантные относительно группы Бейля, играют важную роль в теории линейных представлений бесконечной размерности [ХХ, а)] и в топологии групп Ли.
Со своей стороны, Кокстер [Х1У, 1)], возобновив изучение преобразования С вЂ” произведения фундаментальных отражений конечной группы ))у, порожденной отражениями, — устанбвил (проводя отдельное исследование для каждого типа), что алгебра многочленов, инвариантных относительно йг", порождается алгебраически независимыми элементами, степени которых простым образом связаны с собственными значениями преобразования С (см. гл. Ч, й 5 и 6). Априорные доказательства этих результатов были впоследствии даны сначала Шевалле [Х1Х, Ь)], а затем Колеманом [ХХП1] и Стейнбергом [ХХГЧ].
С работы А. Бореля по линейным алгебраическим группам [ХХ1Ц начался новый этап в развитии теории групп Ли, который должен был привести к значительному ее расширению. А. Борель продемонстрировал важность максимальных связных разрешимых подгрупп (названных потом „подгруппами Бореляч) в группе Ли и сделал их основным рабочим инструментом, позволяющим перенести обширную часть классической теории на случай алгебраических групп над произвольным алгебраически замкнутым полем (но не позволяющим, однако, получить классификацию простых алгебраических групп ')). Подгруппы Бореля (в случае комплексных или вещественных классических групп) встречались уже несколькими годами раньше в работах Гельфанда и Наймарка по представлениям бесконечной размерности; а в 1954 г. Ф.
Брюа открыл тот замечательный факт, что в случае классических простых групп разложение группы на ') Алгебраическая группа размерности >О называется простой (в смысле алгебраической геометрии), если она не содержит алгебраической нормальной подгруппы размерности > О, отлячиой от самой себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
