Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Система типа Р4 (1) Рассмотрим в )с4 группу Сз (и'4). Пусть /1- множество тех аен/м для которых (а1а) =1 или (а1а) =2; оно содержит векторы 1 — 1 е1 (1(1), — ( е4~ ез е). Гл ч!. СР!стены хогне!а 262 Обратно, если аснар, то координаты вектора а принимают ! !вы лишь значения О, .+ —, +. 1 ) потому что ~ — ) ) 2); эти (,2) координаты будут либо все целыми, что приводит к аекто! рам ье„-~е,~е!, либо все равными !- —, что приводит ! к векторам — (~ е, ~ е, ~ е, ~ е4). Покажем, что 2(а !6)1(а !а) ~Х для любых а, бенй.
Если а= -+-е! или — (ч-е, !-еэ+-ез д е), то (а!а) = 1, а в и'4 мы видели, что (а!8)ен — Х, поскольку а, 6~1, Если же а= ! =.+.е!.+е!, то (а! а) =2, и опять-таки на основании и'4 мы заключаем, что (а!8)енХ, поскольку а~(.! и Стало быть, )г' является приведенной системой корней в К' (и'4). Число корней и = 8+ ! ) 4+ 24 = 48. 4 (П) Снабдим К' лексикографическим порядком, определенным при помощи базиса (е„е„, е,, е,) (5 1, п'7). В частности, е, ) ез > е, > ео Положительными корнями будут еь е! +- е! (! ( 1), — (е! ~ е, .ь е, +- е,).
Наименьшим является корень а,=е,. Среди положительных корней, содержащихся в Ке!+ Као но не в !сео наименьшим будет а,=а,— е,. Среди положительных корней, содержащихся в Ке, + !се, + Кео но не в Ке, + Кео наименьшим будет а, = е, — е,. Наконец, среди положительных корней, не содержащихся в Кеэ+ Ке, + Кео наименьшим будет ! а!= 2 (е! — еэ — ез — е!) Ни один из а; не является суммой двух положительных корней. Поэтому (а„а,„а„а,) есть базис системы й ($1, п 6, следствие ! предложения 19). Имеем !!а, ))!=~!аэ!г= — 2, ~!а„!)!=!!ад!г=!, (а, !а )=(а, ~а!)= — 1, ! !а, !а,) = — —, (а, )аз) — (а, !а!) = (а,! а4) = О. Мы видим, что 2 ' система )г соответствует графу Дынкина типа Р, и, стало быть, является неприводимой.
(П1) Имеет место равенство Ь = —.=12. ! (1Н) Пусть а=е, +е,,=2а, +За,+4а,+2а,. Сумма координат вектора а относительно (а;) равна 11 = Ь вЂ” 1, поэтому а — и аксииаль |ый корень. Так как (й !а,) = 1, (а ! аэ)= =(а !а„) =(а !а!! = —.. о, т! пополненным гр1 ьом Дынкина будет аа аз а4 4 С КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 2вз 2а (Ч) Как видно из формулы аа= =, Рт~ совпадает (а! а) ' с множеством вектоРов Р 2ео -Р е; Р еи .Р е, +. е, ~- е, ~- е„. Граф Дынкина системы й~ получается из графа Дынкина системы способом, описанным в и'2, н непосредственно видно, что КР имеет тип Р,. Корнями, не ортогональными к () =еи будут Ре, -<-е, з-е1 1 (!)2) и — (Ре, Рее-Раз-Раз); число п(а, 8) =2(и!!1) равно -Р 2 для первых 14 этих корней и -~-! для 16 остальных; значит, квадрат длины корня 8 относительно Фя равен 4(14 4+ 16.
1) '= —, и поэтому Фя(х, р) =(х! у)/18. Применяя теперь формулу (!8) из $ 1, и' 12, с х= у=р, получаем 2+ 12. +!6 =уЯ). ! 1/4 '4 1 '1З' откуда уЯ) 2 34 (Ч1) Вычисление фундаментальных весов здесь дает аз, = е, + е, = 2а, + За, + 4а, + 2а4 —— а, й, = 2е, + е, + ез= За, + 6а, + 8аз+ 4а4, ! азз= 2 (Зе, +ее+а, +е„) = 2а! + 4а, + 6аз+ За4, «з, =-е! — — а, + 2аз+ Заз+ 2а„. (ЧП) Сумма положительных корней равна 2р = 11е, + 5ее + Зе, + е, = 1ба, + 30а, + 42аз + 22а4. (ЧП1) Справедливо равенство (;1(Р)=1., (и' 4), и, согласно (Ч1), РЯ)=Я(к). Поэтому индекс связности равен 1.
(1Х) Семейство показателей состоит из 4 членов, а поскольку Ь= 12, целые числа 1, 5, 7, 11, взаимно простые с 12, должны входить в это семейство (3 1, и' 11, предложение 30); ими исчерпываются, следовательно, все показатели группы В" Я). (Х) и (Х1) Единственным автоморфизмом графа Дынкина является тождественное отооражение, поэтому А Я) = )Р'Я) и ма= — 1. Г1усть )с' — множество элементов в !г наибольшей длины, т. е.
~ е! ~ е1! й' есть система корней типа 1)и построенная в и' 8, Всякий элемент группы А(Р) будет, очевидно, элементом группы А Я'). Обратно, элемент из А Я') Гл. Р!. системы кОРней 264 оставляет устойчивым модуль 7.! (который порождается системой 14'), а также ассоциированный с ним модуль С, и, следовательно, Л. Получаем отсюда н!' (Л) = А (Я) = А ()т').
Поэтому, согласно и' 8, 'йг(Я) является полупрямым произведением Ь, и (Р'()с'), а ((КЯ') в свою очередь является полу- прямым произведением б4 и (л/2У)~. Порядок группы В~(!4) равен 31412з=2' 3' 1(А Система хипа Ез (1) Рассмотрим в й' группу Ц (п' 4). Пусть Я вЂ” множество тех а~ 1.м для которых (а(а)=2; оно содержит векторы !аз н! + е,.+ е!(!'<1), — г ( — 1) е! (сумма ~т(!) — четная). !=! Обратно, если (а!а) =2 для какого-то элемента а~ 1ея то 1 его координаты могут принимать лишь значения О, -!- —, 2' -!-1; согласно и' 4, эти координаты будут либо все целыми, что приводит к векторам -!- е! -!- ер либо все равными -~— ! и с четной суммой, что приводит к векторам 4 с четной суммой ~ э(!).
!=! Мы видели (и' 4), что (а!р)сии, каковы бы нн были а, рс=т'э Поэтому Е является приведенной системой корней. Число корней п=( ).4+2'=240. !8! 12! (П) Пусть р — вектор (О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) нз Лэ )-!и один элемент в 17 не ортогонален к р (это ясно для .+е;+е;; е если бы вектор — т ( — 1) е, был ортогоналеи к р, то имело 1 %з Р!!! 2 Л4 !=! 6 бы место равенство ~ !( — 1)'"эп+ 23( — 1)'1'=О, что не!=! возможно, поскольку ~ ! < 23 . Значит (ф 1, а' 7, след!=! стане 2 предложения 20), векторы аен Е, для которых (а1р)) О, 4 С КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕИ будут положительными корнями относительно некоторой камеры. К этим корням относятся Р ез+ е1 (з' </) и 7 с.
7=! 7 с четной суммой ~~з~ т(1). Имеем (а~р) ~ Е для всех аен)с 7=1 (и' 4), причем (а!р) равно 1 для следующих корней: 1 1 а, = — (е, + ез) — — (ее+ ез+ ез+ ее + ез+ е,), а,=е,+е„а,=ез — еь а,=е,—,е,, аз=е,— е,, аз = ез — еи а,=е,— ео а,=е,— ез, и эти восемь корней образуют базис в (сз. В соответствии с следствием 1 предложения 19 $ 1, и' 6, (а„аз, ..., а,)— базис системы )с, для которого положительными корнями будут как раз определенные выше корни. Так как (а~ ' «з) = (аз1 «з) — (аз1«7) — («71«з) = («41«з) = = («,1«з) = (аз!«~) = — 1 и (аз~«1) =0 для других пар индексов, то граф Дынкина системы /с имеет тип Ез, а система /с является неприводимой.
(111) Имеем й= з = 30. (1Ч) Линейная комбинация а = е, + ез = 2а, + Заз + 4а, + 6«4 + 5«з + 4аз + За, + 2а, является корнем. Сумма координат относительно (а,) равна 29=0 — 1, так что а есть максимальный корень. Он ортогонален ко всем а;, за исключением аз, причем (а!«з)=1. Отсюда заключаем, что пополненным графом Дынкина будет ( з7) Так как (а(а) = 2 для всех а ен Я„то й" = )с.
1 По отношению к Фе квадрат длины корней равен— ($ 1, п' 12). Поэтому Фз(х, у)=(х)у)/60 и у(/т)=900 (9 1 и' 12, формула (20)). Гл чь системы колики (Ч1) Вычисление фундаментальных весов дает Й, = 2ез = 4а, + боя + 7аз+ !Оа, + 8а; + баз+ 4ат + 2аз, 1 Йз = ~ (е~ + ез + ез + е4+ еь + еч + ет + без) = = 5а, + 8аэ + 10а; + !ба4+ 12а-, + 9а„+ ба, + Зам ! Й ~ = ~ ( — е, + еэ + ез+ ее + е, + е„+ е, + 7ез) = = 7а, + 10аз + 14а, + 20а4+ 1ба,.
+ ! 2аз + 8а, + 4а„, Й, =е,+ е,+ е;+ ее+ в, + без= = 1Оа, + 15а, + 20а, + ЗОаз + 24а; + ! 8а, + 12а, + баз, Й; =е, + е„+ е, + е, + 4ев= = 8а, + 12а, + 16а, + 24а4 + 20а; + ! 5ае + 10а, + баз, Й„= ез + ез + ег + Зев = = ба, + 9а., + 12а;+ 18а4+ 15а, + 12а, + 8а, + 4ам Й~ = ее+ еу+ 2ез = 4а, + ба, + 8а, + 12а4+ 1Оа;+ 8а„+ ба, + Зае, Й,,=е,+е,= = 2а, + Заэ + 4а, + ба4 + 5а-, + 4а, + Зо + 2аз = а. (Ъ'П) Полусумма положительных корней совпадает с суммой фундаментальных весов ($1, и' 1О, предложение 29) и, следовательно, равна р = ее+ 2ез+ Зе, + 4ез+ бее + бе, + 23ез = =4ба, + 68а, + 91а, + 135а, +! !Оа-„+ 84а, + 57а, + 29а,. (У!11) Группа Я()1) порождается корнями е, ~ е! и — ~~ е, и совпадает с 7,, (и' 4). Поэтому группа Р()г), которая ассоциирована с ЯЯ")=1;1Я)=Ьз, тоже есть Е.з !и 4).
Индекс связности равен 1. (!Х) Семейство показателей состоит из восьми членов, а поскольку Ь = 30, целые числа 1, 7, 11, 13, !7, 19, 23, 29, взаимно простые с 30, должны входить в это семейство; это будет, следовательно, полная совокупность показателей группы )р'(Р). (Х) Из (!Х) и из следствия 1 предло.-гния о гч 'ч' $ б и' 2, выводим, что порядок грзппы )р'!Р! равен 2 8.12.14.!8.20 24.30 = 2" . 3'. 5-. 7. 5 С КЛАССИФИКАИИЯ СИСТЕМ КОЕ!ТЕ!Т 1К1) Единственным автоморфизмом граФа Дыикина является тождественный, поскольку три цепи, исходящие из точки ветвления, имеют различные длины.
Стало быть, А(/7)= =Ф'(/!) н таз= — 1. П. Сыстелш тыны Ет (1) и (П) Пусть Е= 1!', и пусть /1, — система корней в Е, построенная в и' 1О. Пусть Р' — гиперплоскость в Е, порожденная корнями аи ..., а! системы /1,; она ортогоиальна к восьмомУ фУнДаментальномУ воск !Я =ет+аз системы /7,, Пусть )!=/7,ПГ. Тогда /! будет приведенной системой корней с базисом (аи, ат) (см. следствие 4 предложения 20 5 1, и' 7); значит, эта система имеет тип Е,. Ее элементами являются -!- е! -!- а! (! (! ( / 6), .Р (е, — ее), б Т 6 -~ — е, — е, + Р ( — 1) е, ~ с нечетной суммой ~ т(!). 1 згт т !и !=! Число корней п = 2+ ~ ). 4+ 2'= 126. Положительными те! '! 2 ) ' корнями являются -ь е! + е1 (1 ( !' < / ( 6), — ет + ем (П1) Имеем й= — =18.
1 (1т/) Линейная комбинация а =е„— е.,= 2а! + 2ае+ Воз+ + 4ИТ+ Зое+ 2ое+ ат является корнем. Сумма координат относительно (а!) равна 17=/! — 1, так что а есть максимальный корень. Он ортогоиален к а! при 2~~/(~7 а (а!а!)=1 поэтому пополненным графом Дынкина будет (!/) Так как (а)а) =2 для всех а ~ /7, то /!!! = /7. По отношению к Фа квадрат длины корней равен !/!8, поэтому Фа(х, у)=(х~у)/86 и у(/() =22.31 ($1, п' !2 формула (20)). гл.
чз, системы когняи (Ч1) Вычисление фундаментальных весов дает й, =ев — е,=2а, + 2аз+ За,+4ав+Заз+2ав+аз=а, 1 взз 2 (е! + аз+ е:!+в, +аз+ ее 2ез+ 2ез) = = — (4а, + 7аз + 8аз + 12а4+ 9аз + 8ав + За,), 1 взз — — ( — е! + ез+ ез+ ез+ е, + ев Зе! + Зев)— 2 = За, + 4аз + без + 8а„+ 6а, + 4ав + 2а„ вз, =ез+ ез+ ез+ ев+ 2(ев — ез) = = 4а, + 6аз + 8аз + 12а4 + 9ав + ба, + За„ з Йз=ез+ ез + ев+ 2 (ев ез) = = — (6а, + 9аз + 12аз + 18ав+ 15а, + 10ав + 5а,), Йв = ез + ев — ез + ев = = 2а! + Заз + 4аз + ба! + 5аз + 4ав + 2ап 1 взу ев + (ев е7) 2 1 = — (2а, + Заз + 4аз + ба4+ 5а, + 4ав + За!). 7 (Ч11) Сумма 2р положительных корней равна 2~ й! (6 1, з=! и 10, предложение 29), откуда 2р = 2е + 4е, + бе, + 8ез + 1Оев — 17е, + 17ев = = 34а, + 49аз+ 66аз+ 96а4+ 75аз+ 52ав+ 27а,. (ЧП!) Согласно и' 10, (Ъ"П1) и предложению 28 $1, и' 10, Я ()1) = Я (йв) П 1' = 7з П ~' и Р(К) = р (Р Яв)) = Р (~з) где р обозначает ортогональное проектирование Е на Группа 1;зЯ) обладает базисом (а,, ..., а,); группа Р(Р) порождается группой зз(1с) и элементом 1 Р (ав) = ав ы.
2 Имеем в~Р(згв), — вз Ф Р(згв) поэтому 2р(ав) ея ЮЮ) 1 а р(ав) ~ 1,1()т). Получаем, таким образом, что группа Р(й)Я(11) изоморфиа Х/2У и порождена, например, образом веса йз. Индекс связности раасн 2. Е ! КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ те 269 (1Х) Последовательность показателей группы )(Я(Е) состоит из семи членов. Числа 1, 5, 7, 11, 13, 17, взаимно простые с Ь = 18, входят в эту последовательность. Последний показатель и, следовательно, должен быть таким, чтобы и+т=!8 (гл. !), э 6, п' 2, формула (2)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
