Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Лемма 5. Никакая вершина грагра Х не может принадлежать двум различным ребрам порядка )4. Если бы 1 была такой вершиной, то выполнялось бы соотношение х'-~ — ")'+ Ж'= ь 3" Ф а это невозможно (лемма 1). Пусть (1, 1) — ребро графа Х. Мы определим новый граф Кокстера, о котором говорят, что он получается из графа матрицы М отождествлением 1 и 1. Множеством Г его вершин будет фактормножество множества 1, получающееся при отождествлении 1 и у. Пара р=(1, 1) является элементом в !', отождествнм элементы множества 1, отличныс от с' и 1, с их каноническими образами в Р.
Пусть я, й' — два различных элемента нз т'. Тогда (й, й') будет ребром нового графа в следующих случаях: 1) й и й' отличны от р, и (й, й') является ребром Х; в этом случае порядок нового ребра полагаем равным т,„; 2) й = р, и одно из множеств (ь', й'), (1, й') является ребром графа Х; полагаем порядок ребра (р, и') равным и,.;„ если (1, й') — ребро Х, н гп „если ребром Х является (1, й') (обе возможности не могут встретиться одновременно, поскольку Х вЂ” дерево). Пусть М'=(т,';),, — определенная таким образом новая матрица Кокстера; положим а'. = — соз —,.
При й Ф р н м ь / имеем а' =дм+ вг„. Следовательно, если (Е,) еи )х', то Х у',4,5„= Х у„4,$н+ 2 Х (ум+у,„)~А+",. Полагая 5,=~~ — — ~Р, получаем ,уьь~А = с~ уь'Ы'+~', — ~' — ~! — 2ЧН~А= мь а~ ' ьь Х у„4,5м — (1+ 2ун) $', (1) 5 С КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 237 Леммь 6. Если ребро (1, 1) порядка 3, то (Р'(М') — конечная группа Кокстера. 1 В самом деле, о»= — —, поэтому соотношение (1) принимает вид (2) и, стало быть, ($А) ~ ~ дьь,$ сь, — невырожденная ь,ь ~г положительная квадратичная форма. Поэтому достаточно применить теорему 2 из гл.
Ч, $4, и'8. ЛРММА 7. Имеет место следующая альтернатива: а) Х обладает точкой ветвления (гл. 1Ч, Дополнение, п' 1), причем только одной, и все ребра Х имеют порядок 3. б) Х является цепью и обладает не более чем одним ребром порядка )4. Рассуждаем по индукции относительно 1. а) Предположим, что Х обладает точкой ветвления й Тогда 1 принадлежит трем ребрам порядка 3: (1, й1), (1, й,), (1, йг) (леммы 2 и 3). Если 1= 4, то лемма доказана. Если жс 1> 4, то одна из вершин, например йи принадлежит ребру, отличному от предыдущих, поскольку граф Х вЂ” связный. Отождествим 1 и й, в графе Кокстера матрицы М. Получим новый граф, к которому по лемме 6 можно применить предположение индукции.
Но образ р точки 1 будет точкой ветвления нового графа Х'. Поэтому у графа Х' нет других точек ветвления, а все его ребра имеют порядок 3. Значит, и у Х все ребра будут порядка 3, и никакая точка, отличная от 1 и й„ пе будет точкой ветвления. Если бы й, была точкой ветвления в Х, то р принадлежала бы по крайней мере четырем ребрам в Х', вопреки лемме 2. б) Предположим, что Х не обладает ни одной точкой ветвления. Тогда Х является цепью (гл. 1Ч, Дополнение, и' 3, предложение 3). Пусть (с', 1) — ребро порядка ) 4. Если 1= 2, то лемма тривиальна.
Если же это не так, то, скажем, вершина 1 принадлежит ребру (1, я) с й чь ! (из-за связности Х). Это ребро будет порядка 3 (лемма 5). Отождествим ( и й в графе Кокстера матрицы М. Ввиду леммы 6 можно применить предположение индукции. Пусть р — образ точки с в новом графе Х'. Ребро (р, 1) в Х' имеет порядок 4, поэтому в Х' нет други< ребер порядка 4 и, стало быть, (1, 1) — единственное ребро порядка - 4 в Х. ГЛ РЕ СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 238 ЛеммА 8, Пусть еершинь» аи »ьь ..., »р графа Х такоеьц что (»н »г), (1„»г)... „(1Р,»Р) будут ребрами порядка 3. Тогда 1 Имеем (е; )е» )=1, (е~,(е~ )= — — и (е; (е; )=.О при г > г + 1. Следовательно, » р ~ р р — ! Р-~ д ~ ~„ге~ ) = ~~ г' — 2.~ — г (г -1- Ц = р' — ~у~ г. г г 1 Согласно следствию предложения 14 из Теор. множ., гл. 1П, $8, п'8, это равно ! 2'(» ) 2»(»+ Леммь 9.
Предположим, что Х вЂ” цепь с вершинами 1, 2, ..., 1 и с ребрами (1, 2), (2, 3), ..., (1 — 1, 1). (~) Если одно из ребер (2, 3), (3, 4), ..., (1 — 2, 1 — Ц имеет порядок ) 4, то это ребро будет на самом деле порядка 4, а граф будет следующим: (11) Если ребро [1,2) имеет порядок 8, то граф будет одним из след»»ющих: 5 5 Можно считать 1) 2 (лемма 4). Допустим, что ребро '(1,1+ Ц с ! <1.
1 — 1 имеет порядок ')4. Положим х=е,+2е,+ ... +»еи у = е, + 2е», + ... + (1 — 1) е, ь, и 1' = 1 — 1. По лемме 8 будет 8х~~= — 1(1+1),!!уф~= — 1(»+ 1). С дру! 1 той стороны, (х ~у)=ц(е,!е,~,) = — цсое — с гп =4 или 5 (лемма 4). Имеем (х ~ у)' < 'е х ~('1 у ~~, 4 4. клАссгтпикАция систем кОРней 239 т. е. — ц (г + 1) () + 1) > г'г)г созе — ' (!+ 1)() + 1) > 4цсозг — )2ц'. откуда (3) Это дает г) — г — ) — 1 <О, или (г' — 1)0 — 1) < 2. Если 1<4<! — 1, то и 1 < ! <! — 1, поэтому г =)=2 и, кроме того, 9 > 16 созг —, следовательно, созе — '" < соз' —" ) Лг ' т 5 Лемма 10. Если Х допускает точку ветвления г, то целый подграг)г Х вЂ” (г) является одъедггнением трех цепей, и если р — 1, 4) — 1, т — 1 — длины этих цепей, то тройка (р, д, т) с точностью до перестановки сов!гадает с одной из троек (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 1, гп) (для какого-нибудь пг) 1).
Верщина г принадлежит трем ребрам (лемма 2) и не существует никакой другой точки ветвления (лемма 7), поэтому целый подграф Х вЂ” (г) состоит из трех цепей Х„Х„Ха, концевые вергцины которых (по одной в каждом Х,) соединены с г в Х. Пусть (гг„гг), (гю г',), ..., (гр „гр) — ребра цепи Х44 Ц„)г), ..., (1, „)ч) — ребра в Х,, (йг, йт), ..., (Уг, г й,)— '! Корни 5-й степени нз 1, отличные от 1, являются решениямн уравнения и + г + х'+а+! =О. Прн ппдстановке х — ! х+ — ) ато 4 2 2 1! 11 2! х) уравнение принимает вил (2х)2 — 2+ 2х+ 1 =О, нля 4х'+ 2х — ! =О, — 1 чл !2 5 или х = .
Отсюда 4 , 22 2п у 5 — 1 :г 3 -1- !К5 5 9 2 сов — — ! = соа— 5 5 4 ' ' 5 8 8 !6' 8 и !+!'5 соа— 4 так что пг=4. Этим доказано (!). Если г=! и пг=б, то, согласно(3),2)+2>41, или) ' < 2, ) < )гб+1<4 и, стало быть, 1=)+ 1<4. Тем самым доказано утверждение (й). Гл. ч!. системы КОРиеи 240 ребра в Х,, где !и 1'„й, соединены с 1 в Х. Можно пред- полагать р' «д~)г) 1. Положим х=вч + 2е, + ... + Ре!и у=ег + 2ег, + ... + цаги г=еь + 2еь, + ...
+ геь Поскольку все ребра в Х порядка 3 (лемма 7), лемма 8 2 Р(Р+1) 1(Уе 2 ч(э+ 1)' (~хи 2 г(г+ 1)' Далее, ег ортогонален к еси ег,, ..., е;, откуда (е;(х)= 1 1 1 =р(е, ~еь) = — — р. Аналогично (е, ~ у)= — — д, (е, !г) = — — г. Векторы 11 х1~ ! х, (!у1! ~ у, 11г1! 1 г являются единичными и попарно ортогональными, и е, не принадлежит порожденному этими единичными векторами подпространству Р. Квадрат расстояния от ег до Р равен 1 — (е; ~ — !) — (е, / !1! >" ! ) — (е, ! ~ ! ) = 1 р д 1 г 4+1 2 г+1 2 я+1 2 1 1 1 1 1 1 =1 — — + 1 1 1 2 2 р+1 2 24+! 2 2 г+1 Выражая тот факт, что эта величина ) О, приходим к неравенству (р + 1) ' + (Ч + 1) ' + (г + 1) ' ) 1.
(4) Таким образом, 3(г+1) ~ ) 1, откуда г <2 и, наконец, г = 1. Поэтому (4) дает так что 2(д + 1) ) —, откуда д (2. Наконец, если д = 2, 1 2 ' то (5) приводит к (р+1) '> —., откуда р~4. 5 4. клАссишикАция систем кориги 24! ТеОРемА 1. Если (Ж', О) — нгприводимая конечная система Кокстгра, то гг граф Кокстгра изоморфгн одному из следующих графов: А, ... — (1Р! вершин) В, <, ...
4 (1Р2 вершин) ц, — ... с~ (1Р4 вершин) Я с 6 н о — О(Р=5 влвР > 7'!. Р !4(Р) Эти графы Кокстгра попарно нгизоморфны. В самом деле, пусть 414 = (с!с!с) — матрица Кокстера системы (Ф', 8), и пусть 1=Сагй(Э). Если одно из чисел т» будет ) 6, то 1= 2 (лемма 4), и граф Кокстера системы (Ф', Э) должен иметь тип 67 или 17(р) с р) 7. Предположим теперь, что все тсс(5. а) Если не все тсс равны 3, то графом Х системы (Ф', 8) будет цепь, и лишь одно из пссс будет равно 4 или 5 (лемма 7). Если одно из тсс равно 5, то, как показывает лемма 9, возможны лишь типы Н„Н4 или рт(5).
Если одно из чисел и» равно 4, то снова по лемме 9 возможен лишь один из типов Вс, Р4. б) Предположим, что все пс,с равны 3. Если Х является цепью, то наш граф Кокстера имеет тип Аь В противном случае на основании леммы 10 заключаем, что он имеет тип Ев, Е„Е, или 01. Попарная неизоморфность перечисленных графов Кокстера очевидна. Обратно, имеет место Творгмг 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
