Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. отражение, ассоциированное с корнем а. Формула (1) показывает, что з, ь не зависит от выбранного скалярного произведения. Опгнделзнин 1. Назовем аффинной группой Вейля системы корней Р и обозначим символом РУ, (Р) (или просто йт ) группу аффинных преобразований пространства Е, порожденную отражениями з, ь для аеп Р и й ~ Х. Пгедло>кения 1. Группа Ят является полупрямым произ- ведением йт на 6. Поскольку группа йт порождается отражениями з„она содержится в йт,. Далее, 1(а») =з, аз„если аеп Р, а это и доказывает, что я ~()т,. Поскольку Ят оставляет устойчивой (>(Рч) (5 1, и' 9), группа аффинн>ых преобразований 6, порожденная ()т и Я, является полупрямым произведением ))7 на 6.
По только что сказанному 6 с: 1)', и согласно (1) з, ь~ 6, каковы бы ни были а АР и я яУ,. Приходим к выводу; что йт,=6. Пгздложнния 2. Группа Ж'„снабженная дискретной то- пологией, действует собственно разрывно на Е и переста- вляет между собой гиперплоскости Е„ь (для а е= Р и й ~ г,).
Поскольку 6(Р») есть дискретная подгруппа в группа 6 действует собственно разрывно на Е, Стало быть, то же самое относится и к ()т, = ()т. Я, поскольку ((7 конечна. Далее, при а,йяР и йяЕ имеем зз(1.ыь)=7. ь с у=з (а)ыР, 1(()») (й, ь) = (.~, ьмь <ы З>, где п(а, й) = (р'>, а) — целое, откуда следует второе утвер- ждение.
Э 2. Ае ьиннкя Ггуппл ввпля 217 Итак, к В', как к группе, действующей на Е, можно применять результаты гл. Ч, 5 3. Чтобы избежать смешения с камерами группы Вейля Ф' в 17", мы будем называть альковами камеры, определенные системой гиперплоскостей Е„, ь (для а ен Е и й г= Х) в Е. Значит, группа )Р', действует просто транзитивным образом на множестве альковов и замыкание любого алькова является фундаментальной областью для У'„ в Е (гл. Ч, $ 3, п' 2, теорема 1; и" 3, теорема 2). Ясно, что группа Вейля отождествляется с каноническим образом (7 (Ж',) группы ч7, в ортогональной группе пространства 17* (гл.
Ч, $ 3, и' 6). Получаем в итоге, что группа йт, существенна (гл. Ч, и 3, п' 7) и что Ф', непрнводима тогда и только тогда, когда таковой является система корней )с (5 1, и' 2, следствие предложения 5). Если )с неприводима, то каждый альков будет открытым симплексом (гл. Ч, 5 3, и' 9, предложение 8). В общем случае каноническое разложение аффинного пространства Е в произведение (гл, Ч, 5 3, и' 8) соответствует разложению )г на неприводнмые компоненты. В частности, альков будет произведением открытых симплексов.
Заметим еще, что, как показывает следствие теоремы 1 из гл. Ч, $ 3, и' 2, э„ь будут единственными отражениями, содержащимися в )Р',. 2. Веса и специальные точки Пяядложянин 3. Специальными точками (гл. Ч, $3, и' 10, определение 1) для %', являются веса системы )с~'. Пусть хь я Е и а ен )с. Гиперплоскость Л, параллельная ядру Кега и проходящая через х„ задается уравнением (а, х)=(а, х,). Чтобы она совпадала с Е ы нужно, с одной стороны, чтобы а и р были пропорциональны, или ввиду приведенности )с чтобы 8= ~- а, и, с другой стороны, чтобы (а, х,) было целым, Тотчас получаем, что х, является специальной точкой для %', тогда и только тогда, когда (а, хь) гни при всех аен)г', т. е.
в тонности тогда, когда хь ен Р Яч) ($ 1, п' 9). Слядствин. (1) Если й ен Р(й'~), то существует такой альков С, что й будет экстремальной точкой замыкания С. (й) Если С вЂ” какой-нибудь альков, то пересечение С П 1е(йч) состоит иэ одной точки, которая является экстремальной точкой замыкания С. 2!8 Гл. чь системы когнеи Это вытекает из предложения 3, если принять во внимание следствие предложения 11 из гл. Ч, 3 3, и' 10, и предложение 12 оттуда же.
Пгвдложвнив 4. Пусть С' — камера система !гч. (!) Существует, и притом только один, альков С, содержащийся в С' и такой, что 0 ен С. (й) Объединение и! (С) по а! ен !ч' есть окрестность нуля в Е. (!и) Любая стенка камеры С' является стенкой алькова С. Это непосредственное следствие предложения 1т из гл. Ч, $3, и' 10. Предположим теперь, что система Е неприводима. Пусть (а,), — ее базис (3 1, и' 5, определение 2), и пусть (й,), дуальный базис. Все й; будут фундаментальными весами системы йч относительно камеры С', соответствующей базису (а,).
Пусть а = ~ п,а, — максимальный корень системы Я ! ~='! ($ 1, и'8), и пусть У вЂ” множество тех Уев У, для которых п! — — 1. Пгвдложаниа 5. Пусть С вЂ” альков, который содержится в С' и замыканию которого принадлежит 0 (предложение 4).
(1) С есть множество х~Е, таких, что (а„х) > 0 для всех !'~ У„причем (а, х) < 1. (!!) Множество С П Р(йч) состоит из 0 и весов й! для ! ~ У. Пусть й — множество х ен Е, для которых (а, х) < 1; положим С, =С'() Е!. Так как Оен С, то С с УУ, откуда С с С,. Докажем теперь, что при всех ае И и й е Х множества С и С, будут лежать по одну сторону от гиперплоскости У„ь. Это покажет, что С, с: С, и установит справедливость утверждения (!). Если й=О, то камера С' целиком находится по одну сторону от Учь„что и дает нужное утверждение в этом случае, Если же й Ф О, то можно, заменив, если нужно, а на — а, считать, что й > О. Тогда (а, х) < й на С, поскольку 0 ~ С.
С другой стороны,а — а положителен относительйо С' ($1, и'8, предложение 25). Стало быть, (а, у) <(а, у) < < 1 < й для у ~ Си а это и означает, что С н С, находятся по одну и ту же сторону от У.„ь. Пусть теперь й ~ Р(й"). Как мы знаем ($1, и' 10), й=~ р,й, с р!енХ. Включение йяС' имеет место тогда ! и только тогда, когда целые числа р, все положительны. Если йенС', то й ен С в том и только том случае, когда (а, й) = ~~', п,р, будет <1, а это и дает (!!).
$ ь АФФннн»я ггупп» веиля 219 Слпдствив. Лльков С является открытым симплексом с вершинами О и ап/пь / »и/. Это вытекает из утверждения (!). 8. Нормализатор группы Иг„ В этом и' мы предположим, что на (т выбрано скалярное произведение, инвариантное не только относительно (р', но и относительно всеи группы А(Р). Группы А(К) и ЛЯи) мы отождествим. Пусть 6 — нормализатор группы )»т, в группе перемещений евклидова аффинного пространства Е. Если д — некоторое перемещение Е и з — ортогональное отражение относительно гиперплоскости Е, то перемещение пзу ' будет ортогональным отражением относительно гиперплоскостн д (/.).
В итоге получаем, что 6 является множеством перемещений пространства Е, которые переставляют между собой гнперплоскости Еы» (для аеп/г и й Е). Ио группа автоморфизмов пространства Е является полу- прямым произведением ортогональной группы У пространства )т' и группы Т переносов. При действии д = и о /(о), где и ~ у и и ен )т', гиперплоскость /„» переходит в гиперплоскость, определяемую уравнением ('и '(а), х) =/»+ (а, о).
Следовательно, реп 6 тогда и только тогда, когда, во-первых, 'и переставляет между собой корни, т. е. принадлежит Л(Е), и, во-вторых, (а, о) еп Х для всех аен /с, т. е. о еп РЯи). Иными словами, группа 6 является полупря.иым произведением ЛЯ) на Р. Поскольку Яс Р и )г'с:.АЯ), фактор- группа 6/%' является полупрямым произведением Л(К)/))Г на Р(й'т)/6 Яи); соответствующее действие Л Я)/)Р' па Р(Р~)ЯЯ~) будет каноническим ($ 1, и'9), в чем легко убедиться непосредственно.
Обозначим символом ))т', подгруппу в 6, являющуюся полупрямым произведением ()т на Р. Она будет нормальной подгруппой в 6, и 6/йт; канонически изоморфна группе Л (й)/йГ; кроме того, каноническое отображение Р(К'т) в й7;/(»т, дает при факторизации изоморфизм группы Р(н'")/с/(н~) на )»т,'/'(р',. Пусть теперь С вЂ” альков в Е, и пусть 6с — подгруппа, состоящая из элементов де†: 6, для которых у(С) =С. Так как ()т, просто транзитивна на альковах, то группа 6 есть полупрямое произведение подгрупп Ос и йт,. Соответствующий изоморфизм факторгруппы 6/Ю', на Ос доставляет, пеп Гл.
ч>. системы кОРней в частности, канонический изоморфизм Р(УстЩ(1х'т) на "РУппу 1 с = ыс П )Р,. Предположим, что система й неприводима, и воспользуемся обозначениями предложения 5 из п' 2. Положим йр= Ю, а через )с> (( ~У) обозначим систему корней, порожденную корнями а> для 1':Рь С При 1=0 (соотв. 1ен!) пусть и>> — единственный элемент группы 1Р'(1с>) (отождествляемой с некоторой подгруппой в Ф'), который переводит корни системы Р„положительные относительно базиса(а>), в отри>'Ф >' цательные корни $1, и'6, следствие 3 предложения 17).
ПРедложенне 6. УУри любом 1~ У элемент у> — — 1(й,) ш;сор принадлежит Гс и отображение 1 > у> является биекцие>> У на Гс - (1). С самого начала отметим, что корень ш>(а) имеет внд п>а+ ~р Ьпа> >Ф 1 и является, следовательно, положительным. Докажем, что если с р= У, то у; ен Гс. В самом деле, пусть а ен С и Ь =у,(а).
При 1 ~(1~(1 и у чь1 справедливо соотно- шение (Ь а>) = (й> + ш>ьэр (а), а>) = (п>р (а), а>; (а;)) > О, (2) поскольку шр(а)~ — С' и корень ш,(а,) отрицательный, С другой стороны, (Ь, а>) = 1+ (шр(а), ш> (а>)) > 1+ (п>р(а), а) > О, (3) поскольку шр(а) ~ — С', а — сс>(а;) принимает отр>1цательные значения на — С' и (и>р(а), а) > — 1. Наконец, (Ь, а) = и, + (ир(и), ш> (а)) = 1+ (>ор(а), и> (а)) < 1, (4) поскольку свр(а) ен — С' и сэ, (а) — положительный корень. Из соотношений (2) — (4) вытекает, что Ь ~ С, откуда у, ~ Гс. Ясно, что отображение1 у, инъективно, поскольку у>(0) =йь Наконец, пусть у~Го, уФ1; положим у=рш, где р=Р и и> ен )Р'.
Так как Гс П )т = (1), то р Ф 1. Далее, р (О) = у (6) ~ я=С П Р(й"), и предложение 5 влечет существование такого Урн У, что р(0) = йь В таком случае у,. 'у(0) =О, откуда у = уо поскольку Гс () )т' = (1). Этим завершается доказа- тельство. Следствие..Веса (й,),. образуют систему представите- лей в Р(й") отличных от нуля элементов факторгруппы р(рч)1~у(рт) В самом деле, если отождествить Гс с Р(йчЩ()1"), то элемент у, соответствует как раз классу й, шод Я()х~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
