Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Предположим, что эти условия выполнены. Для любого а~Р пусть ач — сужение ач на )7Р Тогда а ач будет каноническим биективным отображением системы корней Р на Р . (ш) Ф(1). Очевидно. (1)=)~(й). Предположим, что Р замкнуто и симметрично. Прежде всего Р удовлетворяет условию (СК,) в )тн Докажем, что з,(б) еи Р, каковы бы ни были а, р~ Р. Это очевидно, если а и р пропорциональны.
Если же это не так, то з„(б)= =б — п(3, а) а и р — раен й для любого целого рациональ- ного числа р, заключенного между О и п(р, а) (предложе- ние 9, ц' 3); следовательно, () — п(р, а)а ен Р, поскольку Р замкнуто и симметрично. Таким ооразом, з ч(Р)=Р, и Р удовлетворяет (СКН). Ясно, что Р удовле- а, а1 творяет (СК~Н).
Поэтому Р удовлетворяет (й), и одновре- менно доказано последнее утверждение предложения. (й) =~(ш). Считая выполненным условие (й), докажем, что Г П )г = Р. Ясно, что Р с Г П Р. Пусть р еи Г П Р. Поскольку б еи Г и Р = — Р, имеем (1 = а, + а, + ... + аь с аь..., ач АР. Докажем, что (феи Р. Это очевидно при й=1. Применим индукцию по й. Так как О < Ф ) Д) = ~ (р ( аД, то (31а;) ) О для некоторого индекса (. Если р= аь то р еи Р. В противном случае р — а, аида (следствие теоремы 1, и' 3), поэтому по предположению индукции (1 — а, ~ Р, откуда р еи Р, поскольку Р замкнуто.
ГЛ. Н1. СИСТЕМЫ КОРИЕИ Условия предложения 23 могут реализоваться и тогда, когда 'г'! = 'г', по тем не менее Р че й, Этого можно добитвся, например, взяв за й систему типа Оз, а за Р систему типа Аз,' см табл. Х. Предложение 24. Пусть пересечение ттг' систе,иы П с некоторым векторным подпространством пространства (т таково, что П' является системой корней в порожденном им векторном подпространстве (г' (см.
следствие предложения 4, и* 1). Пусть В' — базис системы тт!'. (1) Существует базис системы П, содержащий В', (й) 1!1' есть,множество элементов из й, которые являются линейными комбинациями элементов базиса В'. Утверждение (й) очевидно. Докажем (1). Пусть (в„е„ . е,) — такой базис пространства )т, что В'=(врио е +з, ... ..., Е,). Лексикографический порядок на )г, соответствую1пий этому базису, определяет некоторую камеру С системы В. Ясно, что всякий элемент из В' минимален в Ве(С). Следовательно, В' ~ В (С).
б. Максимальный корень Првдложение 25. Предположим, что система тг неприводима, Пусть С вЂ” камера системы )тг и В(С) =(а„..., а1)— соответствующий базис. ! (1) Существует такой корень а= ~~'.~ пзаг, что для любого 1=1 1 корня ~ р;а; будут выполняться неравенства и, ) р„ ! — 1 пз) Рт, ..., п1) Рь ПРУгими словами, П обладает наиболь- игим элементом й относительно порядка, определенного ка- мерой С. (й) аяС. (рй) (а( а) )(а'( а') для произвольного корня а'.
(1н) Для любого положительного корня а', не пропор- ционального а, будет п(а', а)=О или 1, 1) Пусть а= йз п,ао б= „).", р,а,— два максимальных 1=1 1=1 корпя относительно порядка, определенного С. Докажем, что а=О, чем и будет установлено утверждение (1). 2) Если бы оказалось, что (а) а,) < 0 для какого-то индекса 1, то мы получили бы, что либо а+ а, ен П, либо а= — а, (следствие теоремы 1, и' 3), но обе эти возмож- ности исключены ввиду максимальности а.
Поэтому (а) а1) вО ДЛЯ ВСЕХ 1'. %' !. системы кОРнея 3) Из а < 0 следовало бы а < — а, что невозможно. Поэтому иг ) 0 для всех г. Пусть У вЂ” множество г, для которых и; >О, и У' — дополнение к У в (1, 2, ..., 1). Имеем У Ф О. Если бы У' было непустым, то существовали бы г ен У и !'~ У', такие, что (аг! а! ) < 0 (следствие 5 предложении 20 п 7); в таком случае (а1ан) = ~ н;(а;! а! ) < О, поскольку (аг! аь)~ (О, каковы бы ни были различные 1 и й.
Но это противоречит 2), так что У'= Я и и! > 0 для всех !'. 4) Согласно 2), (р1аг))0 для всех 1. Не может быть (р!а,)=0 для всех г, поскольку р4= 0. В соответствии с 3) заключаем, что (Й ! а) = ~ и! (()1 а!) > О. ! Если у=а — реп )с, то а ) !! или р > а (теорема 3 и' 6), что противоречит максимальности а н р.
Стало быть, а=р (следствие теоремы ! и' 3). 5) Ввиду 2) а енС. Пусть а' ен )7. Докажем, что (а'1а') < ((а! а), Поскольку С вЂ” фундаментальная область для )Р'(й), можно предполагать, что а' ен С. По условию а — а' ) О, поэтому (а — а'! х))0 для всех хенС. В частности,(а — а')а))0 и (а — а'! а') ) О, откуда (а! а) ) )(а'!а) ~)(а'! а'). Значит, и (а', а) может равняться либо О, либо 1, либо — 1 (предложение 8 и' 3), если а' не пропорционален а. Если а')О, то, согласно 2), (а)а') = О, стало быть, и(а', а) = 0 и потому и(а', а) равно 0 илн 1. Ч. Т. Д.
Замечание. Корень а = ~ ага! нз утверждения (1) называется максимальным (илн наибольгиим) корнем системы й (по отношению к С). Заметим, что, согласно (!), а!~)1 для всех г. У. Веса, радикальные веса Пусть 1= !(!гп(У. Обозначим через Я()7) подгруппу в (У, порожденную )т; элементы г"„г(11) называются радикальными весами системы й. По теореме 3 и' 6 (!()Т) является дискретной подгруппой ранга 1 в )т, н любой базис системы )с суть базис группы Я(11). 2ОВ Гл гь системы когнеи Аналогично группа сгЯ ) является дискретной подгруппой ранга ( в )т'.
Пявдложение 26. Множество элементов х е= )т, таких, что (х, у*) е Е для всех у*е— : 9Я ) (или, что то же самое, для всех у" ~ Х~ ), составляет дискретную подгруппу 6 с)т, содержащую 6(Р). Если В' — базис системы й~, то дуальный к В' базис в )т будет базисом группы 6. Пусть хан)т.
Следующие три свойства эквивалентны: (1) (х, у') ен Х для всех у*~ Я(й~); (В) (х у ) ~ л' для всех у*~ В'; ((И) координаты элемента х относительно базиса, дуального к В', принадлежат Х. Мы делаем вывод, что дуальный к В' базис служит базисом 6. С другой стороны, (СКщ) показывает, что Р с: 6, откуда Я(й) ~ 6. Группу 6 из предложения 26 мыобозначим символом Р(р); ее элементы называются весами системы Й. Можно также рассмотреть группу РЯч) весов системы й'. Согласно Алг., гл. ЧП, 2-е изд., 5 4, и' 8, группы р(п)7д(р) р(г(чутз(пч) суть конечные группы, находящиеся в двойственности над ьг)Х, и потому изоморфные. Общий порядок этих двух групп называется индексом связности системы Р (или системы Вч).
Если Р есть прямая сумма систем корней Рь то группа 9(й) (соотв. Р(к)) канонически отождествляется с прямой суммой групп Я(В,) (соотв. Р(Р;)). Пгвдложвнив 27. Пусть Р, — подмножество в И, Я, — подгруппа в сгф), порожденная Рп и (У, — подгруппа в %'(Е), порожденная отражениями з„(а ~ И,). Если р ~ РЯ) и ге е:— ууо то р — ю(р) я цп Если в=з, с аенРп то р — ю(р)=(р, а") ас:— Хасф.
Индукция по г показывает, что также р — ьс(р) ~ ф, если в = з„з„... зь с ао ..., а, ен Во Группа А Я) оставляет инвариантными Р(Р) и Я(Р), действуя, следовательно, на факторгруппе Р Я))сг(Р). Ввиду предложения 27 группа )т'Я) действует тривиально на Р(Р)Я(й). Фаьторизуя, мы видим, что факьторгруппа А (Р)/(р (Р) (предложение 16, и'5) деиствует канонически на РЯЩ(В). УО $ 1: СИСТЕМЫ КОРНЕЯ 10. Фундаментальные веса, старшие веса Предположим, что система  — приведенная.
Пусть С— камера системы В и  — соответствующий базис. Поскольку система )!( — приведенная, Вч =(ач), а будет базисом )(~. Дуальныд к Во базис (й,), в будет, следовательно, базисом группы весов; его элементы называются фундаментальными весами (относительно В или С); в случае когда элементы базиса В занумерованы (а,, ..., а,), соответствующие фундаментальные веса обозначим через (й„..., й,). Пусть хе=В'. Элемент х принадлежит С тогда и только тогда, когда (х, ач) > О для всех аен В.
Отс!ода следует, что С есть множество линейных комбинаций с коэффициентами > О весов й„, а С вЂ” множество линейных комбинаций й, с коэффициентами >О. При фиксированном а элементы п(а, р) =(а, рч) матрицы Картана будут координатами а относительно базиса (й )„ а= ~2з~ п(а, р)й . (14) а~в Таким образом, относительно базисов В и (й,)„а е,-модулей 9(Р) и Р(В) матрица Картана является транспонированной к матрице канонического вложения Я (В) Р (В).
Вес й называется старшим (или доминитным), если он принадлежит С, т. е. если сго коордннаты относительно (й,), в являются целыми числами >О, или, еще„если д(й)(й для всех дан ))т(В) (и'б, предложение !8). Поскольку С вЂ” фундаментальная область для ))7(Р) (теорема 2), для любого веса й существует, и притом только один, старший вес й', являющийся образом веса й относительно ()т(Р). Каковы бы ни были элементы а, р ен В, имеет место соотношение яч) — (й ) 'р ) — б (Ь, обозначает символ Кроиекера), откуда за(й ! =й — б,ай и (й !Р)= — Ф~8)бь,г Пб) Другими словами, й, ортогонален к р для р Ф а, н его орто! гональной проекцией на Р„является — а.
Так как й„енС, то (й„(йа) > О для а, р ~ В, т. е. угол (й„, й„) — либо острый, Гл. ч1, системъ1 кОРней 210 ГВ либо прямой. Старшими весами являются элементы й Г:— 1'„ лля которых 2(й1а)/(а(а) при всех а ен В суть целые числа ) О. П~едложение 28. Пусть  — базис системь1 1Г, В' — подмножество в В, (" — векторное подпространство в (т, порожденное В', В'= В() ~" (это система корней' в (т'), В' дуальная висте,ча корней (отождествляемая с каноническим образол1 )Г' в В'Г), $', — надпространство в У, ортогональное к 1Г'~, и р — проектирование Р на Р' параллельно )Г1.
Тогда 1г(й') = 1,1 Я) () У', Р(Р') = р(Р()Г)). Множество старших весов системы (с' является образом при проектировании р множества старших весов системы Р. В самом деле, Я()г) есть подгруппа в 1Г с базисом В, Я()Г') — подгруппа в (Г с базисом В' (и'7, слелствие 4 пред- ложения 20), откуда немедленно получаем (г(Л') = — 1;1(Я) () )т'. Если й еи Р ()с) и а ен В', то (р (й), аР) = (й, а') ен Х, следо- вательно, р(й) ~ РЯ') и потому р(Р(В)) с: Р(В'). Если й' ~ Р(н'), то й' продолжается до некоторой линейной формы й на У*, обращающейся в нуль на ( — В') '; при этом (й, ам) ен У для всех а е= В, стало быть, й ен РЯ) и й' = р (й); поэтому Р(Р') ~ р(Р(Р)). Таким образом, РЯ') = р(Р(й)), а утвержление относительно старших весов показывается аналогичным образом. ПРедложение 29, Пусть р — полусумма корней ) О. (') Р = Х й, есть элемент из С, а=В (В) з (р)=р — а для всех а ен В (111) (2р 1а) = (а 1а) для всех а ен В.
Так как система  — приведенная, то з,(В+(С) — (а))= = й+ (С) — 1а) и з„(а) = — а для а ен В (и'6, следствие 1 предложения 17), откуда з„(2р) =2р — 2а. Далее, (р ам) 1 /~ Гь ач' Р поскольку з,(р) = р — (р, ач) а. Отсюда р = ~ й и, следов вательио, р ен С. Наконец, (ш) эквивалентно равенству (р, а >=1. Следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
