Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ПРедложение 1О. Пусть а, р — два непропорциональных корня, такие, что и+а тоже будет корнем. Пусть р, д— целые числа ив предложения 9. Тогда (у+а)9+«) д+1 (Р1Р) Пусть Я вЂ” а-серия, содержащая 3, и у — ее начало; ее длина 1 будет ь1, поскольку р+ а — корень. Можно выделить следующие случаи: 1) 1=1; тогда Р=у, у=О, р=1, (у+а1р+а)=(Р1Р); 2) 1=2, р= у; тогда у= О, р = 2, (3+ а1р+ а) = з Ф1Р)' 1 3) 1 = 2, р = у+а; тогда д = 1, р = 1, (в+а 111+а) = 2 (11 111); 4) 1 = 3, р = у; тогда д = О, р = 3, (3+ а 1Р + а) = — (Р 1Р); 5) 1= 3, у=у+ а; тогда д 1, р = 2, (Д+а1(1+а~ =(р! р)' 6) 1= 3, р = у+2а; тогда д = 2, р=1, ф+а1Р+а) = 3 (р1р).
Во всех этих случаях нужная нам формула подтверждается. Пведложение ! 1. Предположим, что система Я неприводимо. Пусть а и р — два корня, такие, что !|а!~=~1Р1. Тогда найдется элемент у~ЮГ()т), для которого д(а)=р. Образы корня а относительно %7(1с) порождают Р (и'2, следствие предложения 5), поэтому существует дееФ'(1х).
для которого (д(а)~р) чь О. Можно, таким образом, предпо- Гл. ч!. систямы коэнеи 188 лагать в дальнейшем, что (а)б) Ф О. Согласно формуле (9) и'1, п(а, й) =п(Р, а). Заменяя в случае необходимости () на з (й) = — й, можно считать п(а, й) ) О. Тогда в соответствии со списком, приведенным в начале этого п', будет либо а=(! (когда предложение очевидно), либо п(а, й)=п(й, а)=1; в последнем случае (заэаза) Ф) = заза Ф а) = за ( 5 а + Р) = а.
4. Приведенные системы корней Система корней называется приведенной, если любой корень системы неделим (и'3). Пгидложинив 12. Предположим, что )т — неприводимая и приведенная система корней. (1) Отношение — для ая)г, бек)г может принимать (В ! В) (а| а) ! ! только значения 1 2, —, 3, —. 2' ' 3 (й) Множество значений (а(а) для аек )г состоит не более чем из двух элементов. Поскольку система Я неприводима, образы любого корня относительно )Р()г) порождают т' (и'2, следствие предложения 5). Поэтому, каковы бы ни были корни а, б, найдется корень В', такой, что (а(б') Ф О и (й'3') =(Р(й). В соответствии с формулой (9) и'1 и списком из и'3, прини(а!а) мает одно из значений 1, 2, —, 3, — (напомним, что сн! ! стема предполагается приведенной). умножая (х! у) на подходящий скаляр, можно предполагать, что (а (а) = 1 для некоторых корней и что другими возможными значениями (р!Р) для Р~Й будут 2 и 3.
Значения 2 и 3 не могут достигаться оба, поскольку тогда существовали бы Д чн Р, у ен г!> для которых — = —, в противоречии с тем, что было (т)т) з (В!В) 2 ' сказано выше. Пгидложвнив !3. Предположим, что система )г — неприводимая, неприведенная и ранга ) 2. (!) Множество Иь неделимых корней является системой корней в т'; эта система — неприводимая и приведенная, причем )р ()гь) = )р ()г). (й) Пусть А — множество корней а, для которых (а!а) принимает наименьшее значение Х. Тогда любые два непропорциональных элемента из А будут ортогональны.
% !Ссистемы кОРнеЙ 199 (ш) Пусть  — множество корней р ~ В, таких, что (р1р)= = 2Л. Тогда В Ф 3, Вь — — АЦ В, В=А() В() 2А. 1 1 (1 Если пена — В, то — аен В, но — ! — а) ф В (предложеь 2 212 ! ние 8), поэтому — вен Аь. Отсюда следует, что )гь удовлетворяет условию (СК!). Ясно, далее, что з,,ч(Вь)=В для любого а ен В, поэтому Вьудовлетворяет условиям(СКН) и (СК,ц). ! Так как ая — Вь влечет —,веяло, а з =зыъ то йт(й)= =)Р'(Вь).
Следовательно, система Вь — нсприводимая (следствие предложения 5) и, очевидно, приведенная. Поскольку В не является приведенной, существует корень а ~ В„такой, что 2а ен В. Поскольку система  — неприводнмая, а б1гп)т)2, невозможно, чтобы корень а был пропорционален или ортогонален всякому корню. Пусть корень Р~Вь таков, что п(р, а) ~ О, причем (! не пропорционален корню а. Заменяя в случае необходимости р на — р, можно считать п(11, а) ) О. Так как — п(р, а) =п(р, 2а) ен Х, то 1 п(р, а) ен 2Е.
Из списка в и'3 видно, что п(11, а)=2, ((1!Р)= 2(а ~а). Ввиду приведенности Вь применимо предложение 12, показывающее, что (у )у)=(а)а) или (у ~ у)=2(а!а) для всех учишь. Предыдущие рассуждения показывают, что 1 при любом усни — Вь вектор —,у будет элементом из Вь, 2 Г! !1 таким, что ! — у ~ — у) =(а ~ а). Следовательно, Л = (а ~ а), 12 ~2 В Ф О, Во=А() В и В ~ АЦ ВЦ 2А. С другой стороны, если уен А, то найдется д ~ Я7(В), для которого у=у(а) (предложение 1!), откуда 2у=у(2а) сна Следовательно, 24 с: В и В=А()В()2А.
Наконец, пусть, у, у' — два непропорциональных элемента из А. Поскольку у и у' одной и той жс длины, имеем п(2у, у')=2п(у, у')=4п(у, 2у') ен4Х и ( п(у, у')1(1, откуда п(у, у')=О и (у!у') =О. ПРРдложение 14. Предположим, что система  — неприводимая и приведенная и что (а(а) принимает значения Л и 2Л для аен Д, Пусть А — множество корней а, таких, что (а(а) =Л.
Предположим, далее, что любые два непропорциональных элемента из А ортогональны. Тогда В! = В() 2А является неприведенной неприводимой системой корней, а  — множеством неделимых корнеи в В!. Гл. ч!. системы кОРнаи Очевидно, что 1~, удовлетворяет условиям (СК!) и (СКп). Докажем, что (ах', 3) ен 2,' для всех а, 3~ !х,. Это очевидно, если а, б ~ !х, Утверждение верно и в случае а, 3 ~ 2А, поскольку (2а) = — ач для а~А.
Возьмем, наконец, Ря!7 ч ! и а=2у с ус=А. 1) Если у=.~ (1, то (а~'. 3) = ~ —,(уч, у) = -~- 1. ! 2) Если у не пропорционален корню 3 и если 3 ~ А, то в соответствии с условиями, определяющими Л, (уч, 3) =О, откуда (ач, 3)=О. 3) Если 3 ~ !х — А, то (3 ~й) = 2Л = 2(у!у), поэтому (3, уч) равно либо О, либо 2, либо — 2 в соответствии со списком из и'3. Следовательно, и (3, ач)= — (й, уч) енХ.
! Таким образом, Я, — система корней в )т. Остальные утверждения очевидны. 5. Камеры и базисы системы корней При любом аенР пусть Л,— гиперплоскость пространства у, состоящая из точек, инвариантных относительно э,. Камеры, определенные в т' множеством гнперплоскостей 1,, (гл. 5, 5 1, и'3), называются камерами системы )7. Биективное отображение Р-+У*, определенное скалярным проза изведением (х!у), переводит а ен !х в и, следова(а'~ ~а ) тельно, Т.„в 7,,ч, а камеры системы !х в камеры дуальной системы !х .
Если С вЂ” камера системы !7, то соответствующая камера системы Р" будет обозначаться символом С . Согласно предложению 7 п'2, С" однозначно определяется камерой С и не зависит от выбора (х ~ у). Твоннма 2. (!) Гр!бэппа )е Я) действует на множестве камер просто транзитивным образом. (В) Пусть С вЂ” камера. Тогда С будет фундаментальной областью для )!тЯ). (Рй) С является открытым симпли!(иальным конусом (гл. 17, 5 1, и'6). (!у) Пусть 1.„(.з, ..., й! — стенки камеры С. Для любого ! суи!ествует единственный неделимь!й корень а!, такой, что ь',!=7а, причем а! будет с той же стороны от 7,!, что и С.
$ ь систБмы кОРней 191 (ч) А1ножество В(С) =(аь ..., а) явллется базисом пространства Г. (чд) С совпадает с множеством тех хе=У, для которых (ач, х) > О при всех 1 (или, что равносильно, с множеством х АУ, таких, что (х)а,) > О при всех 1). (ч11) Пусть Я вЂ” множество отражений з с Пара (Ит Я), 5) является системой Кокстера (гл. 1У, $ 1, и'3). Утверждения (1) и (ч11) следуют из теоремы 1 гл.
Ч, $ 3, п'2, а утверждение (й) — из теоремы 2 гл. Ч, $3, и'3. Утверждение (гу) очевидно. Корень а, ортогонален к гиперплоскости Еи а ар отождествляется с 2аДа,1а,). Так как группа 1(т(Я) существенна (и'1, замечание 3, то утверждения (111), (ч) и (ч1) вытекают из предложения 7 гл. У, 5 3, и'9.
Замечания. 1) Утверждение (чй) показывает, в частности, что Ф'(В) порождается отражениями з„. 2) Если х, у ен С, то (х(у) > О (гл. Ч, 5 3, п'5, лемма 6); другими словами, угол (х, у) острый. 3) Пусть тп(а, р) — порядок элемента з,з (а, бенВ(С)). Матрица (т(а, р)) совпадает с матрицей Кокстера (гл. 1Ч» $1, и'9) системы ()т", Я). Если а.Ф(), то, как показывает л предложение 3 гл. У, 3 3, и'4, угол (а, р) равен и— так что этот угол тупой или прямой, и (а1р) к-.О. Просматривая список из п'3, мы видим, что порядок тп(а, р) равен 2,3,4или6.
Опвндвлннии 2. Подмножество В системы корней )с называется базисом в Я, если существует камера С системы Я, тикая, что В=В(С). Если С вЂ” камера, то В(С) называется базисом системы И, определенным посредством С. Замечания. 4) Утверждение (ч1) теоремы 2 показывает, что С» — ~ В (С) является биективным отображение.м множества камер на множество базисов. Следовательно, Я7 (111) действует просто транзитивно на множестве базисов. 5) Пусть С вЂ” камера системы Д и  — соответствующий базис.
Если а~ В, то положим ф(а)=ач при 2аФ й и 1 ф(а) = — ач в случае 2ае=В. Тогда ф(В) будет базисом дуальной системы Д~, определенным посредством С~; это следует изтого, чтостенкамикамерыС" будут Л ч, где ае= В, Опэвднлвнив 3. Пусть  — базис системы Я. Матрицей Картина системы Я (относительно В) называется матрица (и(, И). ~, 192 гл. не системы кОРней Мы знаем, что п(а, а)=2 для всех аен В.
Для а, 1)еи В имеем п(а, )>) =2, = — — 2 —,соз ', (11) (а1О) 11 ч 11 ч (Рой) 1Р1 ю(ч, Р) ' где, как и прежде, гп(а, р) — порядок элемента з„з . Если а чар, то п(а, р) =О, — 1, — 2, — 3 (см. и'3). Замечания. 6) Не следует смешивать матрицу Картана (п(а, Р)) с матрицей Кокстера (т(а, р)). Отметим вдобавок, что матрица Картана не обязана быть симметрической. 7) Канонические индексации. Если В и В' — два базиса системы В, то существует единственный элемент в ~ Уй', такой, что в(В) = В'. По определению, п(в(а), в(р))=п(а, р) и т(в(а), в(р))=т(а, р) для а, ()~В. Следовательно, матрицы Картана и Кокстера, ассоциированные с В, получаются из соотвстствуюших матриц, ассоциированных с В', композицией с биективным отображением а Р— Р в (а) В па В'. Впрочем можно определить матрицы Картана и Кокстера канонически следующим образом.
Пусть Х вЂ” множество пар (В, а), где  — базис системы Я и а ее В. Группа (Р' действует очевидным образом на Х, и ее орбита в Х пересекает каждое из множеств (В) к', В в точности в одной точке. Если, таким образом,! — множество указанных орбит, то каждый базис В допускает каноническую индексацию (а,),, Далее, существует единственная матрица 1ч'=(пм) (соотв.
М=(ячы)) типа 1к',1, такая, что матрица Картана (соотв. Кокстера), ассоциированная с произвольным базисом В, будет получаться из У (соотв. М) композицией с канонической индексацией В; будем называть эту матрицу канонической матрицей Картина (соотв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
