Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Кроме того, — а = га(а) е= э,„()с+ (С)) = = й+ (С'), следовательно, — а гн Р Д )7+ (С') и поэтому Сагд(РД )7+(С')) ) Сагд(Р() )с„(С)). Так как это исключено, то а е= Р„т. е. В(С) с: Р и, значит, )7+ (С) с: Р согласно предложению 19 и тому факту, что Р замкнуто. Следствие 1. Пусть Р— подмножество в )!. Следующие условия эквивалентны: (!) существует камера С, для которой Р= )г „(С); (й) Р замкнуто, и (Р, — Р) есть разбиение системы При этом камера С, для которой Р=)7+(С), единственна. (!)=)~(!!).
По теореме 3 (и'6). (й) Ф(!). Это следствие импликацни (1) =я(!!) предложения 20. Если Р=)7+(С), то С~ — это множество таких элементов х" ен)т*, что (х", х) ) 0 для всех х~ Р, откуда и вытекает единственность С. Следствие 2. Предположим, что (т снабжено такой структурой упорядоченного векторного пространства, что всякий элемент иэ й будет положительным или отрицательным.
Пусть Р— множество корней, положительных относительно этой структуры. Тогда существует, и притом единственная, камера С системы )!, для которой Р= В~(С). В самом деле, Р удовлетворяет условию (Я) следствия 1. Это следствие применимо, в частности, тогда, когда рассматриваемый порядок — совершенный; условие на Р будет тогда выполняться автоматически. Напомним, что можно Гл.
чь системы когиеи 202 получить пример такого порядка, выбрав какой-нибудь базис (е;),~,.<„в У и взяв на У лексикографический порядок: х = ~ й;е, > О, если все $, = О, или же $, > О для наименьшего индекса 1, такого, что Е, ~ О.
Следствии 3. Для того чтобы подмножество В системы 1с было базисом в К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: (1) элементы множества В линейно независимы; (й) любой корень из Я записывается в виде линеиной комбинации элементов из В с коэффициентами, которые все .--О или все (О; (1ц) все корни из В неделимы. Уже известно, что эти условия необходимы (и'5, теорема 2, и п'6, теорема 3). Предположим теперь, что условия (1), (й), (ш) выполняются. Пусть Р— множество корней, которые являются линейными комбинациями с коэффициентами ) О элементов из В.
Поскольку Р удовлетворяет условию (И) следствия 1, существует камера С, для которой Р= Я+(С); пусть В'=- В(С). и пусть Х и Х' — выпуклые конусы, пороькденные множествами В и В'. Очевидно, ВсРсХ и В'с:РсХ', а это означает, что как Х, так и Х' порождаются множеством Р и, следовательно, совпадают. Но полупрямые, порожденные элементами из В (соотв. В'), будут экстремальными образующими конуса Х (соотв.
Х'); так как такая полупрямая содержит не более одного неделимого корня, то В= В'. Сладствии 4. Пусть  — базис системы В, В' — подмножество в В, У' — век~орное надпространство в У, порожденное В', и Я' = В () У'. Тогда В' будет базисом системы корней Й'. Это прямо вытекает из следствия 3 и из следствия предложения 4. Говорят, что В' — система корней, порожденная подмножеством В'. Сладствнв 5. Пусть  — базис системы В, Аь Л,,..., А,— попарно ортогональные подмножества в В и А=-А, () Л,()... ...
() Л„. Тогда любой корень а, являющийся линейной комбинацией элементов из Л, будет на самом деле линейной комоинициеи элементов одного из множеств Аь В частности, 1 4 с системы кОРней 203 если система Е неприводима, то не существуе~ разбиения В(С) на два ортогональных множества. Пусть Е,, ..., ńŠ— векторные подпространства в У, порожденные соответственно множествами Л„..., Л„, А, Ввиду следствия 4 можно предполагать, что Е=(т. Тогда по теореме 2, (т11), п'5, Е; будут устойчивы относительно йт(тт)„ так что )т — объединение систем )т Д Е; (и' 2, предложение 5).
Следствие 6. В условиях и обозначениях предложеная 20 пусть 1', — векторное подпространство в )т, порожденное множеством Х. Тогда РД( — Р) =Я()( — чг) =)т, () Е будет системой корней в Г, с базисом Х. Имеем Р П ( — Р) = ()т+ (С) Ц й) П (( — Е„(С)) () ( — 1г)) = (г () ()( — Я). Теорема 3 показывает, что Я()( — Я)=(т,() Е. Наконец, согласно следствию 4, Х вЂ” базис системы корней 111 П 1т. ПРвдложенне 21. Пусть С (соотг.
С') — камера системы Е, Х (соотв. Х') — подмножество в В(С) (соотв. В(С')), Ясоотв. 1~')— множество корней, являющихся линейными комбинациями с целыми отрицательными коэффициентами элементов из Х (соотв. Х'), и Р = (г () й', (С) (соотв, Р' =(г'() Е+ (С')). Есла существует элемент группьь Вейля, переводящий Р в Р', то существует и элемент группы Вейля, переводящий С в С' и Х в Х'. Тотчас же получается редукция к случаю, когда Р= Р'. Пусть Р', — векторное подпространство в )т, порожденное РД( — Р). Тогда Х и Х' будут двумя базисами системы корней К, =РП( — Р) в (т, (следствие 6 предложения 20). Поэтому найдется д, ен (Р'(Е,), для которого д,(Х) =Х'.
Ясно, что д, индуцируется элементом дан (Р'(Е), который является произведением отражений з, с оенХ. Пусть у= ~~~ свив а в~с~ э элемент множества Р— Ри Хотя бы для одного 5 ен В(С) — Х будет с ) О. С другой стороны, если о яХ, то з,(у) — у я(ти поэтому у з,(у) по крайней мере одна координата относительно В(С) будет >0 (и' 1, формула (5)), откуда з,(у) гн ~ Е+(С) и в конечном счете з,(у) ен Р— )(и Получается, что Р— Е, устойчиво относительно з„о ен Х, а поэтому и относительно д, и д(Р) =Р. Таким образом, остается доказать предложение при Р=Р' и Х=Х'. В этом случае 1г=Я', следовательно, Е.,(С) = Р— Я= Р— чг'= 1т+(С') и поэтому С=С' (следствие 1 предложения 20), гл.
нь систямы когнян Слндствив. Пусть Р, Р' — два параболических подмнозгества системы Р, переводящиеся друг в друга некоторым элементом группы Вейля. Если существует камера С системы й, такая, что й.„(С) с: Р и Р.,(С) с: Р', то Р= Р'. Это вытекает из леммы 3 н предложения 21, поскольку единственным элементом в ИГ Я), переводящим С в С, является 1 (см.
и' 5, теорема 2). ПРедлОжение 22. Пусть Р— замкнутое подмножество в и, такое, что Р () ( — Р) = О. Тогда суг(ествует камера С системы )с, для которой Р~ Р~(С). 1) Согласно следствию теоремы 1 и' 3, условия )г~р, ба Р, (а(1)) < 0 влекут а+ рс= Р. 2) Докажем, что никакая сумма а, + ...
+ а, (у 1) элементов множества Р ие равна нулю. Утверждение очевидно для у=1, поэтому, рассуждая по индукции относительно д, считаем д>2. Если а, + ... + а,=О, то — а,=а.,+ ... +а, поэтому ( — а, ) а, + ... + а ) > О, откуда заключаем о сушествовании такого 1~ (2, д), что (а,)а)) < О. Ввиду части !) доказательства а, + а) с.== Р, и соотношение (а, + а)) + ~2~ а; = 0 1Ф.ь! противоречит предположению индукции. 3) Докажем, что в У найдется такой отличный от нуля элемент у, что (у) а)>0 для всех а АР.
В противном случае результат части 1) обеспечивал бы существование бесконечной последовательности таких элементов а,, а,, ... множества Р, что ()~ =а~+ ... + ас сир для всех 1; найдутся, однако, два различных целых числа 1, 1', для которых (); =))п что противоречит выводам части 2). л) Чтобы закончить доказательство предложения, достаточно (следствие 2 предложения 20) убедиться в существовании базиса (а,),, пространства У, такого, что относител но лексикографического порядка, определенного этим базисом, всякий элемент нз Р будет > О. Применим индукцию по 1=31)пУ, считая предложение установленным для размерностей <Е Пусть усиУ, уча О и (у)а)~)0 для любого оси Р (см.
3)). Пусть, далее, Š— гиперплоскость, ортогональная к у, н У' — подпространство в У, порожденное Р() Е. Тогда Я() Е будет системой корней в У' с замкнутым подмножеством Р() Е. По предположению индукции суше- 7 З,Ь СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 205 ствует такой базис (рн ..., рг) пространства 17', что относительно определенного им лексикографического порядка элементы из Р П Ь будут > О. В таком случае любой базис пространства )7, первыми Р + 1 элементами в котором служат у, рн ..., рг, а остальные элементы лежат в й, будет обладать требуемым свойством.
ПРедложение 23. Пусть Р— подмножество в й и 17, (соотв. Г1 — векторное подпространство (соотв. подгруппа) в (7, порожденное Р. Следующие условия эквивалентны: (1) Р замкнуто и симметрично; (й) Р замкнуто и является системой корней в )7,; (ш) Г () Р = Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
