Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 48
Текст из файла (страница 48)
3 2, АФФИННАЯ ГРУППА ВЕИЛЯ 221 Замечания. 1) Отображение у ь у(0) является биекцией Гс на С Д Р ЯУ). 2) Группа 6 совпадает также с норм ализатором группы Ят в группе автоморфизмов пространства Е, наделенного лишь аффинной структурой (упражнение 3). 4. Применение: порядок группы Вейля Лкммь 1. Пусть Х вЂ” локально компактное пространство, счетное в бесконечности, 6 — дискретная группа, деиствуюи1ая непрерывно и собственно разрывно в Х, 1А — мера ЪО на Х, инвариантная относительна 6, 6' — подгруппа в 6, П и П' — два открытых подмножества в Х, каждое конечной меры чьО. Предположим, что множества з!Г при вы 6 (соотв.
з'П' при з' ы 6') попарно не пересекаются и что их ообвединение обладает пренебрежимым дополнением. Тогда 6' будет конечного индекса в 6 и (6: 6')=р((Г')lр((Г). Пусть (зь)„А — семейство представителей правых (смежных) классов 6 по 6'. Пусть (Г, — объединение множеств зАП. Тогда множества з'(Г, с з'~6' попарно не пересекаются и их объединением будет М= Ц з(Г. Пусть М'= Ц з'(Г'. яро еБ о Объединение П' (соотв.
(Г,) и надлежащего подмножества в Х вЂ” М' (соотв. Х вЂ” М) будет фундаментальной и, очевидно, 1А-измеримой областью для 6'. Согласно следствию теоремы 4 из Онтегр„гл. ЧП, $ 2, и'10, и(ГГ')=И(П,). Этим доказано, что индекс Сагб Л =(6: 6') конечен и что 1х(6') = = (Сагд Л) р ((Г). ПРед.тожнниа 7. Предположим, что система Я неприводима. у!усть В =(ап ..., а1) — базис системы )г, à — ее индекс связности ($1, и'9) и а=п,а, + ... +а~а~ — максимальный корень (относительно порядка, определенного базисом В). Тогда порядок группы )(т равен (!!) п,п ...
п1Г. Пусть (й„..., й,) — базис системы РЯУ), дуальный к В. Ввиду следствия предложения 5 открытый симплекс С с вершинами О, и-,'й„..., и й, является альковам в Е. Выберем меру Хаара 1А на аддитивной группе (т*. Пусть А — множество элементов в (Т* вида 5,й, + ... + с,й, с 0 < с, <! для 1=1, ..., С Согласно следствию 2 предложения 15 из Онтегр., гл.
ЧП, % 1, и' 10, р(А)/и(С) =(1!)п,п,... п1. (5) Гл, ч! системы кОРней Пусть, с другой стороны„Л' — множество элем Ггчв из У" вида Ц>а'>+ . +Ца," с О <ч, <1 для 1=1, ..., !. Поскольку(а,", ., а>ч) — базис Х-модуля Я(!Г>Г), можно применить лемму 1 с Х = У*, 6 = )У„ 6'=Я, 6 =С и 6'= Л'. Получим и (Л')/р (С) = (РУ,: Я) = Сагд )Р'. (6) Наконец, можно ецге раз поименить лемму 1, полаГая Х = У', 6=Р, 6'=6, 6= А и С> =А'.
Получим р (А')/р (Л) — (Р ° Я) — (о(РР) ( > ()7а)) — ( (7) Предложение следует теперь из сравнения формул (5), (6) и (7). й. Системы корней и группы, порожденные отражения ни ПРвдложение 8. Пусть Р— вещественное гильбертово пространство конечной размерности 1, 9 — множество аффинных гиперплоскостей в Р и 6 — группа, порожденная ортогональнечми отражениями зн относительно гиперплоскостей Н ен 9. Предположим, что выполнены условия гл.
Ч, з 3 (т. е. что у(Н) =-. 9 для всех Н ен 9 и а е- :6 и что 6 действует в Р собственно разрывно). > редположим сверх того, что Π— спеииальная точка для 6 и что группа переносов Т, содержащаяся в 6, имеет ранг !. Тогда существует, и притом только одна, приведенная система корней )т в У =' Р', такая, что канонический изоморфизм Р на У' отображает 6 в аффинную группу Вейля Ит системы )г.
Заметим с самого начала, что условие, наложенное на Т, влечет существенность группы 6: в противном случае аффинное пРостРанство Г" Разлагалось бы в пРоизвеДение ть',>Ч Р, с б!>и р> < 1, группа 6 отождествлялась бы с группой перемегцений, действую>цей собственно разрывно в Р (гл. Ч, й 3, и'8, предложение 6), и Т не была бы группой ранга 1. Пусть 9ь — множество тех Н ен 9, для которых О ен Н. Для Н ен 9, пусть 9н — множество элементов в 9, параллельных Н. Поскольку Π— специальная точка, 9 будет объединением множеств 9н с Нен9ь.
Пусть Нен9,. Так как Т-группа ранга 1, найдется о ен Р, для которого перенос на вектор о принадлежит Т, а о Че Н. Гиперплоскости Н + йо для й ен Х попарно различны и принадлежат множеству 9„. Пусть теперь с — унитарный вектор из Р, ортогональный к Н; тогда Н + (о~о)а ен 9н, и, поскольку 9 локально ко- л $ Х АЛЧЬИННАЯ ГРУППА ВЕЙЛЯ 223 печно 1гл.
У', $ 3, и'1, лемма 1), существует наименьшее вещественное число Л ) О, для которого Н+ Ла ен 9 . Мы докажем, что 9н есть мно кество гиперплоскостей Н+ йЛа, где й ен Х. В самом деле„ Н'= Н+ Ла ен фн, н элемент э„, ° эн группы 6 будет переносом на вектор 2Ла (гл. 11, 5 2, и'4, предложение б). Следовательно, Н+ 2пЛа =- =-(зн зн)" (Н) и Н+(2п+1) Ла =(э„,эн)'(Н') принадлежат $н. С другой стороны, если Л ен 9н, то существует ~ ен Й, такое, что Л = Н + $Ла, и найдется целое число п, для которого либо 2п <~(2п+ 1, либо 2п — 1 <~ <2п. В первом случае (знэ„,)" (Ц= Н+ (" — 2п)Ла, где О <(~ — 2п)Л(~Л, н из определения числа Л вытекает, что $=2п+!. Во втором случае зн(энэн)" (Л)=Н+(2п — $)Ла с О<(2п — ~)Л <Л, и из определения Л следует, что Л = 2п.
В итоге получаем, что если ан — линейная форма на Р, для которой Н' = (х ен Р ! (ан, х) = 1), то мноясество фн есть множество гиперплоскостей Л, =(хен Р1(ан, х)=й) с Лен 2, причем ан и — ан будут единственными линейными формами, обладающими этим свойством. Таким образом„ предлонсение будет доказано, коль скоро мы установим, что множество Н элементов из Р вида н: ан является приведенной системой корней в К. а) Докажем, что выполнено условие (СК,). Ясно, что Н конечно (поскольку 9ь конечно) и не содержит О.
Далее, Р порождает Р'. В самом деле, если вектор х~Р ортогонален к А(, то хен Н для всех Н ен 9 и перенос на вектор х коммутирует с произвольным элементом группы 6. Поскольку 0 существенна, это влечет х = О. б) Докажем (СКН). Как и ранее, для пей)т и ген )с положим Л,,,=(хан Р1(о, х)=Г); в случае пена положим Н, = Лв ь и обозначим через э, отображение, сопряженное к эн . Существует однозначно определенный элемент аУ ~ Р, а 224 ГЛ.
ЧЬ СИСТЕМЫ КОРНЕЙ ортогональный к Н» и такой, что (ач, а)=2. Тогда зн —— а =з ч и з =з ч. Для р~ й имеем »Ча а аа' Т з, е, ~ = зп, (Т в. 1) еэ ~ и найдутся у ен Н и и ен Р1*, такие, что (,,ьь ~ = Т.„„. Значит, зн,(~т, ~) ~а,|ь и, следовательно, 1)п ~ 2.
Поэтому и =! и э,(8) =. у ~а Я. Это доказывает (СКН). в) Докажем (СКщ). Для а ~ Н положим На= йа, и так что На = На + ( /е) ач. Перенос г(ач) на вектор ач, будучи произведением з ° з на На (гл. Ч, 5 2, и'4, предложение 5), принадлежит подгруппе Т, и аз=1(ач)(0) является специальной точкой для О. Итак, для любого ран Н существует проходящая через ач гиперплоскость! ь с целым я., а это и доказывает, что (8, ач) ен Х, т. е.
условие (СКщ) выполняется. г) Наконец, очевидно, что )с — приведенная система, поскольку из Н, Н' ~ Р„, Н ~ Н', вытекает непропорциональность линейных форм ан и а„,. Замечание 1). Условие, что подгруппа Т вЂ” ранга 1, выполняется, в частности, когда 6 неприводима и бесконечна. Действительно, векторное пространство, порожденное векторами переносов из Т, инвариантно относительйо канонического образа группы О в линейной группе пространства Р. Оно отлично от (О), если 6 бесконечна, и, стало быть, совпадает со всем г", если О бесконечна и неприводнма.
Конечная группа, порожденная отражениями, не всегда будет группой Бейля какой-нибудь системы корней. Более точно: ПРвдложанив 9. Пусть !т — вещественное векторное пространство конечной размерности 1, и пусть Π— конечная подгруппа в ОЕ()т), порожденная отражениями и существенная. Снабдим (т скалярным произведением, инвариантньам относительно О. Следующие условия эквивалентньи (1) в У существует дискретная подгруппа ранга 1, устойчивая относительно 6; (й) на (т существует 0-структура (А!д., с(зар. 11, 3' ей., $8, и'1, определение !), инвариантная относительно 6; 5 Х АФФИИНАЯ ГРУППА ВЕИЛЯ 225 !!!!) в У' существует система корней, группой Вейля которой является 0; (пт) существует дискретная группа 6' перемещений пространства !т, действующая собственно разрывно в у', порожденная отражениями и такая, что 6' будет полупрямым произведением 0 и некоторой группы переносов ранга !.
(И) !у(!). Пусть у" ~ у' — некоторая Я-структура иа инвариантная относительно 6, А — конечное подмножество в У', порождающее векторное (1-пространство 1". Заменяя Л на Ц з(Л), можно предполагать Л устойчивым относи5яо тельно 6. Пусть  — подгруппа в у', порожденная А, Очевидно, В устойчива относительно 6, конечного типа н без кручения; она допускает, следовательно, базис над Х, который будет одновременно базисом у' над Я и, стало быть, базисом у' над К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
