Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Согласно лемме 2, ау =в 2а 1а!а) г $ Ь СИСТЕМЫ КОРНЕИ 181 для всех а ~ 7с. Любое векторное подпространство в Р является неизотропным, и предложение становится очевидным Следствие. Пусть 'Р'1 — векторное подпространство в Р" и )'т — векторное подпространство, порожденное пересечением !7 П У1. Тогда !7 П Р1 бУдет системой корней в Р'н Это непосредственно вытекает из утверждения (В), примененного к Х = !т () К1. Для а~ А' и рея Я положим (а, рч) =п(а, р).
(!) В частности, имеем (2) (3) п(а, а) =2, и ( — а, р) = и (а, — р) = — и (а, Р). В соответствии с (СКИ1) и (а, р) я Е. По самому определению п(а, р) з„(а) = а — п(а, р)р. Из формулы (!) и предложения 2 следует, что п(а, р) = и (рч, ач). (4) (5) (6) Пусть (х!у) — симметрическая билинейная форма на Р', невырожденная и инвариантная относительно Ж'(!С) (предложение 3). Тогда ввиду леммы 2 (, В="!р). (р ! р! (7 Легко видеть, что и (а, р) = О<> и (р, а) = ОФФ (а !р) = О ч> з, и з перестановочны.
(8) Если (9) 2. Прямая сумма систем корней Пусть векторное пространство К над к является прямой суммой семейства (К1)1~1к„векторных подпространств. Отождествим Р' с прямой суммой подпространств (',1. Для любого 1 пусть Я1 — система корней в У1. Тогда П =Ц !Т1— ! система корней в Р', а дуальной к ней системой будет Я~ = ОЯ1", каноническое биективное отображение Тг на !Сч 182 Гл, ть системы кОРней служит продолжением, при любом 1, канонической биекции Я, на К~ . Система корней П называется прямой суммой систем Яь ПУсть а ы Яь Если 1 Ф 1, то У! содеРжитсЯ в ЯдРе линейной формы ач, так что з, действует тождественным образом в УВ с другой стороны, йа с: У„поэтому з„оставляет устойчивым Уо Эти замечания показывают, что Ж(!Т) отож- Г дествляется с П 1(т Я~).
1 ! Система корней )с называется неприводимой, если ЯФ Я и П не является прямой суммой двух непустых систем корней. ПРедложенив 5. Пусть векторное пространство У над й является прямой суммой векторных надпространств У„..., У„, и пусть !С вЂ” система корней в У. Положим К, = !С ДУИ Тогда следующие три условия эквивалентны: (1) компоненты У~ устойчивы относительно Ю(П); (1Г) г =У ОУ О ". ОУ.; (!Е) И~ при любом 1 — системи корней в 1", и П вЂ” прямая сумма систем ПР (ш)=)Р(1). Это вытекает из сказанного в начале и'.
(1) Ф(Е). Предполагая У, устойчивыми относительно йт (!Т), возьмем произвольный элемент аен!т и ядро Н формы ач. Согласно предложению 3 гл. Ч, $2, и'2, каждая компонента У, является суммой некоторого надпространства в Н и подпространства в йа. Поэтому У, при некотором ! содержит яа, откуда а ен У, О У, ()... О У,. (й) Ф(ш). Если условие (1!) выполнено, то Я, порождает У~ при любом 1, следовательно, г(à — система корней в (предложение 4). Ясно, что )2 будет прямой суммой систем Ри Следствие. Пусть П вЂ” система корней в У. Следующие условия эквивалентны: (!) система П неприводима; (й) )Р Я)-модуль У прост; (!11) )Р (м)-модуль У абсолютно прост. (!1)ФФ(1).
Это вытекает непосредственно из предложения 5 и теоремы Машке (гл. Ч, дополнение, предложение 2). (!!!)ФФ(!!). Достаточно применить предложение ! гл. Ч, $2, и'1. ПРедложение 6. Всякая система корней й в У является прямой' суммой некоторого семейства Я~), Г неприводимых систем корней, однозначно определенного с точностью до биекиии мнозкества индексов. % ь системы кОРней !вз Существование Р, доказывается индукцией относительно Сагб Р: если Р не пусто и не неприводимо, то Р— прямая сумма двух систем корней Р', Р", таких, что Саго'Р' < < Сагй Р, Саго Р" <Саго Р, причем к Р' и Р" применимы предположения индукции. Для доказательства единственности достаточно установить, что если Р— прямая сумма Р' и Р", то любая система Р; обязательно содержится в Р' или в Р".
Пусть Г', )т", (т,', Рт — векторные подпространства в )т, порожденные системами Р', Р", Р'ПРО Р" () Рь Так как сумма )т'+ Г" — прямая. то и сумма )т';+)т' — прямая. Но Р, с: Р'() Р", поэтому Р; — прямая сумма систем корней Р' Д Р~ и Р" () Р;, откуда Р'Д Р; = Я или Р" () Р,. = йд, чем и доказано требуемое утверждение. Системы Р~ называются неприводимыми компонентами системы Р. Каковы бы ни были ненулевые скаляры Хь объединение систем ХЯ; является системой корней в (т, для которой дуальной системой будет объединение систем Х, РУ, а группой Вейля — )(т(Р).
ПРедложение 7. Пусть Р— система корней в )т, (Р;)— семеиство ее неприводимых компонент, (т; — векторное надпространство в )т, порожденное компонентой Рь  — симметрическая билинейная форма, определенная в предложении 3, В' — некоторая другая симметрическая билинейная форма на )т, инвариантная относительно (Р'(Р). Тогда подпространства )т; будут попарно ортогональны относительно В', а сужения В и В' на )т~ при всех ! будут пропорциональны. Если и;е:— )ть о! вил'и ! Ф !', и если ю еи У7(Р;), то В'(оь ю(о;)) =В'(оь о~), откуда видно, что векторы ю(о;) — о! и о~ ортогональны относительно В'.
Так как подпространство (т! неприводимо относительно йт(Р!), то оно порождается векторами ю(о~) — о! и, следовательно, ортогонально подпространству Гь То, что сужения В и В' на каждое из подпространств (т, будут пропорциональны, следует из предложения ! гл.
Ч, $ 2, и'!. Замечание. Выберем скалярное произведение на (та, инвариантное относительно )Р'(Р). Оно позволит нам говорить о длине каждого корня и об уеле между двумя корнями. Согласно предложению 7, этот угол не зависит от выбора скалярного произведения; то же самое верно и для отнощения длин двух корней, коль скоро они принадлежат одной и той же неприводимой компоненте системы Р. 184 гч т системы коенеи з,за — порядка 3 в. Связи мезкоу двумя корнями Напомним, что впредь предполагается й = К (мы возлагаем на читателя заботу о распространении определений и результатов на общий случай методом, указанным в замечании 2 и'1).
В дальнейшем )г обозначает систему корней в векторном пространстве )т, на котором определено скалярное произведение (х, у)~ (х !у), инвариантное относительно )т'(К) (см. предложение 3). Пусть а, реп Я. По формуле (7) и'1 имеем п(а, 8) п(8, а) = 4созе(а, 8) «='4. (10) Следовательно, целое число п(а, р)п(К а) может принимать лишь значения О, 1, 2, 3, 4.
Принимая во внимание следствие предложения 6 из гл. Ч, 3 2, и'5, и подстрочное примечание в гл. Ч, 2 4, и'8, мы приходим к заключению, что с точностью до перемены мест а и 8 имеются лишь следующие возможности: 1) п(а, !1) =иф, а) =0; к 2 з з — порядка 2; 2) и (а, 8) = и ф, а) = 1; (.,Р)= — ',' И И=ИРИ; 3) п(а, 8) =пф, а)= — 1; 2к .
(а, Р)= 3 1 ИаИ ИРИ; з„з — порядка 3; 4) п (а, 8) = 1, п ф, а) = 2; (а Р)= 4 ИРИ= т' 2ИаИ; з,зе — порядка 4; 5) п(а,й)= — 1, пф,а)= — 2; (а, Р)= 4, ИРИ=Р 2ИаИ; з,з„— порядка 4; 6) п (а, 8) = 1, и ф, а) = 3; (а р) = -„—, ' И р И = ) т 3 И а И; з„з„— порядка 6; 7) п (а, р) = — 1, и ф, а) = — 3; (а, Р) = —; ИИИ= 'гтЗ И аИ; з„з — порядка 6; 8) п(а, Р)=пф, а)=2; а=(); 9) п(а, 8)= — пф, а) = — 2; а= — и; 10) п(а,й)= 1, и(!1, а)=4; 6=2а; 11) п(а, Р)= — 1, п(!1, а)=- — 4; 6= — 2а. $ Е СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 185 В частности, справедливо пгедложение 8.
(1) если два корня пропорциональньц то множитель пропорциональности может равняться лишь ~1, ! 2 ' -~- —, -~-2. (й) Если а, р — два непропорциональных корня и если !!а1! !!(311, то п(а, и) принимает одно из значений О, 1, — 1. 1 Корень а ~ )т, для которого — аФ )т', называется неделимым. Теогемл !. Пусть а, р — два корня. (1) Если и (а, р) > О, то а — р — корень, кроме случая а=р. (й) Если и (а, 8) ( О, то а + р — корень, кроме случая а = — р. В соответствии с приведенным выше списком в случае п(а, (3) > 0 имеются лишь следующие возможности: 1) и (а, р) = 1; тогда а — р = зз (а) ее )т; 2) и (р, а) = 1; тогда р — а = з, ((3) ен )с и, следовательно, а — (3 ее 1(1 3) р=а.
Тем самым доказано утверждение (1), а (й) получается нз него заменой р на — !3. Следствие. Пусть а и р — два корня. (1) Если (а(р) > О, то а — р — корень, кроме случал а=р. (й) Если (а(р) (О, то а+р — корень, кроме случая а= — 8. (!В) Если а — ~ЕАЗА()(0) и а+ОФ)с()(0), то (а!8)=0. Утверждения (1) и (й) вытекают из теоремы 1 и формулы (7) п'1. В свою очередь (Рй) получается при помощи (!) и (й). Может случиться, что а+ рея й, (а(р) =0 (табл. Х; система Вз).
Корни а и р называются строго ортогональными, если а — 13 Ф тс () (0) и а + (3 Ф )с () (0). Пведложение 9. Пусть а и р — два непропорциональных корня. (1) Множество Т целых рациональных чисел 1, таких, что р+ 1а — корень, является интервалом [ — д, р) в Х, содержа1цим О. (й) Пусть 5 — множество корней О+!а для !ее (. Тогда в„(В)=В и з„(13+ ра) =13 — ца. Гл. чь системы кОРнеЙ 186 (й!) Имеет место соотношение р — о= — п((3, а). Ясно, что О с=1. Пусть р (соотв. — д) — наибольший (соотв.
наименьший) элемент из 1. Если бы не все целые числа из интервала ( — о, р) принадлежали множеству 1, то в ( — в, р) нашлись бы два числа г, з, обладаюшие следую- шими свойствами: з) г+1, з~1, с~1, г+ )з~! для 1а як з — г — 1. В обозначениях следствия теоремы 1 это давало бы (а!3+за)(~0, (а!!3+го))0, что невозможно, поскольку (а ! (3+ за) ) (а ! р + га). Утверждение (!) доказано. Очевидно, что з„(3+ !а) =3 — п((3, а) а — !а=(3+ !'а с !'= — ! — п(3, а). Поэтому з,(5) с:5 и, следовательно, з,(5) =5. Кроме того, получаем, что ! э — ! — п(р, а) будет убываюГцим биективным отображением 1 на !. В частности, !'= — в для )=р, так что — в= — р — п(б, а).
Тем самым доказаны утверждения (й) и (В1). Множество 5 называется а-серией корней, содержащей 3; (3 — да называется началом серии, Р+ ра — ее концом„ а р+ д — длиной. Следствие. Пусть 5 — а-серия корней с началом у. Длиной 5 будет — п(у, а); она равна О, 1, 2 или 3. Первое утверждение вытекает из предложения 9, (!!1), примененного к (З=у, если принять во внимание, что д=О. Далее, поскольку у не пропорционален корню а, из списка, приведенного в начале этого и', видно, что ! и (у, а) !~3.
Следствие доказано. Замечание. Сохраним обозначения приведенного выше следствия. Тогда 1) Если длина серии 5 равна О, то (а(у)=О. 2) Если длина серии 5 равна 1, то п(у, а)= — 1, так что возможны три случая: ! 2п п(а у)= 1 (а(а)=(у!у) (а(у)= (а!а» (а у)= з ' и (а, у) = — 2, (а ! а) = 2 (у ! у), (а ! у) = — — (а ! а), (а, у) = ! зп и (а, у) = — 3, (а ! а) = 3 (у ! у), (а ! у) = — — (а ! а), (а, у) = —: г 3~4 7+ а % ь системы когнеи 1зт 3) Если длина серии 8 равна 2, то п(у, а)= 1 п (а, у) = — 1, (а! а) = з (у 1у), (а 1у) = — (а ~ а), Т Т+«Т+2« 4) Если длина серии В равна 3, то п(у, а) = п(а у) 1 (а~а)= з(у1у) 1 з -2, откуда зп (а, у) = —: 4 — 3, откуда зп (а,у)= 8 .' у+«у+з«у+а« Мы убеждаемся (табл. Х, системы А„ВМ 0,), что все этн случаи действительно реализуются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
