Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Кокстери) системы 1ч. ПРедложение !5. Пусть  — базис системы В и а — неделимый корень. Суи(естеуют 3 еи В и вен УЯ), такие, что а= (() Допустим, что базис В = В (С) определяется камерой С. Гиперплоскость Е„ является стенкой некоторой камеры С' системы 1~, и существует элемент группы )Р'(1с), переводящий С' в С. Можно, следовательно, ограничиться случаем, когда Е, — стенка камеры С. Тогда а пропорционален некоторому элементу р из В, Так как а и р неделимы, то а-+ р. Если а= — р, то а=5 (р), что 'и доказывает предло>кение. а г. СИСТЕМЫ КОРНЕЯ газ Следствие.
Пусть Вг и Вг — две приведенные системы корней в векторных пространствах (гг и 1'г, а В, и Ва — их базисы. Пусть, далее, ): В, — Вз — биективное отображение, переводящее матрицу Картина системы Вг в матрицу Картана системы В,. Тогда сг7ществует изоморгризм Р: )т, -а(гы пеРеводЯЩий В, в Вх и а в 1(а) дага всЯкого а ем ВР Пусть Р— изоморфизм )тг на )т„который переводит а в Т(а) для всякого аен ВР Тогда т" переводит з„в зг„г и, следовательно, В'(Вг) в )рг(Вг) (теорема 2), а значит, Вг в Вз (предложение 15).
Предложение 16. Пусть  — базис системы гс и гх — подгруппа в А(В),состоящаяизвлементов, которые оставляют В устойчивым. Тогда )тгЯ) — нормальная подгруппа в А(Р) и группа А(В) — полупрямое произведение своих подгрупп 0 и )(7(В). Если а сна' и 1ен А(В), то тз,7 ' =зц,г, .поскольку )Р'(Р) порождена всеми отражениями з„, ясно, что )(г ()гг) — нормальная подгруппа в А(В). С помощью перенесения структуры А(В) переводит один базис системы В в некоторый другой базис той же системы. Но )ат(В) действует просто транзитпвным образом на множестве базисов, поэтому произвольный элемент из А Я) однозначно записывается в виде дгй, где йг ен Ю(17) и у е= 6. Замечание 8). Пусть В„..., Вр — системы корней в векторных пространствах )г„..., )тр,  — прямая сумма в )т = Ц Рн С, — камера системы В„Вг — — В(С,).
Очевидно, что С= Ц Сг будет камерой системы )с и что В(С) =О В,. г г Как следует из теоремы 2, все камеры и базисы системы В получаются указанным способом. 6. Положительные корни Пусть С вЂ” камера системы В, а В(С) =(а„..., аг) — соответствующий базис. Отношением порядка, определенным камерой С в )г (соотв. Г), называется согласованное со структурой векторного пространства на )т (соотв. )т') отношение порядка, при котором элементами ) О будут линейные комбинации корней а, (соотв. аг~) с коэффициентами )О. Элемент, положительный относительно одного из указанных отношений порядка, называется еще положительным относительно С или положительным относительно базиса В(С). Эти отношения порядка будут также определяться дуальной камерой С~, что 7 Заа. бг.
Н. Вурбааа Гл. чь системы кОРнеЙ вполне понятно, если отождествить )т с (т* при помощи скаляр- ного проиаведения, инвариантного относительно ((Г(В). По тео- реме 2 п'5 элемент из Г будет ) 0 тогда и только тогда, когда его значения на С будут эО. Элемент х пространства )т будет:0 тогда и только тогда, когда его значения на С будут )О, или, что то же самое, когда (х~у))О для всех у — С.
Элементы из С будут >О относительно С, как это сле- 'дует из леммы 6 гл. Ч, $ 3, и'5. Но, вообще говоря„мно- жество элементов, которые ) 0 относительно С, отлично от С (табл. Х, системы Аэ, Вэ, 6,). ТеОРемА 3. Любой корень является линейной комбина- цией с целыми коэффициентами одного и того же знака элементов базиса В(С). В частности, любой корень либо положителен, либо отрицателен относительно С. Ядро Е„ч элемента ае-:В не пересекает С~, поэтому а на С будет либо > О, либо всюду (О, откуда и следует второе утверждение. Остается доказать, что а содержится в подгруппе Р ~ )т, порожденной множеством В(С); при этом а можно предполагать неделимым.
Но группа Р, оче- видно, устойчива относительно э при всех у ее В(С), а по теореме 2 она должна быть устойчивой и относительно (ч' (В). Так как а имеет вид ш(6), где юенйт(Д) и бееВ (С) (предложение 15), то а ~ Р. Тем самым теорема доказана. Обозначим символом Д „(С) множество положительных относительно С корней. Таким образом, В=В (С)0( — В (С)) — разбиение системы В. Следствие. Пусть у — линейная комбинация корней с це- лыми коэффициентами и а — неделимый' корень.
Если у про- порциональна корню а, то у ее Ха. Ввиду предложения !5 и'5 можно выбрать такую ка- меру С, что аееВ(С). По теореме 3 имеем у= ~чз ~изб с и ее Х. зев(с> Если теперь комбинация у пропорциональна а, то у=п„а, чем и доказано следствие. Пусть, далее, 5 — множество отражений э„для а ~ В(С), и пусть Т вЂ” объединение множеств, сопряженных с В в йт. При произвольных аяВ(С) и в~йГ элемент Г=ы„э будет ортогональным отражением э, ассоциированным с корнем р= ю (а); обратно, каков бы ни был неделимый б 5 ь системы когнеи 195 корень (1, найдется элемент тв ев )(т, такой, что а= ж-'(р) ~ : В(С) (предложение 1б), и з = твз,тв ' ~ Т.
В результате мы получаем биективное отображение ту множества неделимых корней на произведение ( ~-1) Х Т, сопоставляя неделимому корню б пару (е, з ), где в=+1, если корень б положительный, и е= — 1, если он отрицательный. С другой стороны, (йт", 5) является системой Кокстера (теорема 2) и к ней можно применить результаты гл. 1Ч, $1, и'4. Мы видим в данном случае, что для любого элемента тв еи Ф' длины д (относительно Я) в Т сушествует подмножество Т из д элементов, такое, что если те =э, ... з„ с зт еи 5 и если положить (т =3! ... Зт ~зтзт ~ ... з~ (для 1(~т~(д), то Т =(1„..., тб). Напомним, что в и'4 у 1 гл.
1Ч определено также число т)(и, 1) (для твен)(т и (еи Т), равное +1, если (ее Т, и — 1, если тен Т. Напомним, наконец, что если определить отображение У„множества (+ Ц;тт, Т в себя формулой У (е, 1)=(ет!(ж ', 1), тс!те '), то отображение ж У будет гомоморфизмом Ф' в группу перестановок множества (и:1) Х Т (гл. 1Ч, 5 1, п'4, лемма !). Пгадложвнив 17. Пусть ж е=)Р' и або)с, где )с — приведенная система. (!) Справедливо равенство тр(сг (а)) = У (тр(а)).
(й) Предположим, что а — положительный корень. Корень ж(а) будет отрицательным тогда и только тогда, когда т!(тв ', з„) = — 1, или, другими словами, когда з, б:— Т (Ш) п(тв, з,)= — 1 в том и только том случае, когда ка- меры С и ит(С) находятся по разные стороны от гиперпло- скости Е„. Другими словами, множество Т состоит из от- ражении" относительно стенок, разделяюи!их С и тв(С). Пусть р~ В(С); положим з=з„. Очевидно, что Т,=(з) и, следовательно, П,(е, 1)= (е, збт '), если !аз, (12) ( — е, з), если 1=з.
7Ф ГЛ. Ч(. СИСТЕМЫ КОРНЕЯ 199 Далее, пУсть Р= ~г и (Р)ч — положительный коРень. т~в(с( Положим з(р)= Х п„(з(р))~. в(с( Если рФ р, то найдется элемент ч ~ В(С), у Ф р, такой, что п„(р)> О. Тогда и и (з(о))=пт(р) > О (и'1, формула (5)). Следовательно, з (о) — положительный корень. Сразу же получаем (е, ззрз '), если рФр, Сравнение(!2) с (!3) показывает тогда, что П,Ор(у)) =(р(з(у)) для любого корня у н любого з ~5. Отсюда получается (1), поскольку я порождает Ит. С другой стороны, сказать, что и>(а) отрицателен, эквивалентно тому, чтобы сказать, что (Р(и>(а)) = ( — 1, юз и '), или же ввиду (1) что У (Ф(а))=( — 1, и(з,в ').
Если, кроме того, а — положительный корень, то >Р(а) =(+1, з,) и П (ч((а))=(>)(п> ', з,), н>з,(в '), откуда вытекает (й). Наконец, согласно (й), т)(и>, з,) = — ! в том и только том случае, когда один из корней а, и> '(а) положительный, а другой отрицательный. Это равносильно тому, что (а(х) (и> ((а)!х)=(а!х) (а!(в(х)) <О для всех х~С, откуда следует первое утверждение в (ш). Второе утверждение в (ш) получается непосредственно.
Следствие !. Пусть р ен В(С). Отражение з переставляет между собой положительные корни, не пропорциональные )3. Тотчас же получается сведение к случаю„ когда П вЂ” приведенная система, а тогда наше утверждение следует из (й) и из того, что Т, =(за). зс Следствие 2. Предположим, что система  — приведенная. Пусть в — элемент из ))7 длины д относительно 8 (гл. 1Ч, $ 1, п'1) и и>=з, ... з — некоторое его приведенное разложение.
Пусть, далее, а„..., ач — элементы из В(С), соответствующие отражениям з„..., з . Положим О,=,з, ... з( ((а(), 1=1, ..., у. Корни 0( все Р О и попарно различны, причем ю(й() ( О, и всякий корень а) О, для которого тв(и) < О, равен одному из Оь системы коннеи 197 Пусть Х вЂ” множество корней а > О, таких, что ге(а) < О. В соответствии с (В) имеем Сагд (Х) = Сагд (Т„- ) =1(ю ') =1(ю) = д. С другой стороны, для любого а — Х найдется индекс 1ен [1, д), такой, что э,, ... э (а) > О и э~вью ... э (а) <О. По следствию 1 это влечет з,~, ... зч(а) =аь откуда а= Он Таким образом, множество Х содержится в множестве корней Оь Так как Сагд (Х) =д, то Х совпадает с этим множеством, а О; обязаны быть попарно различными, что и требовалось установить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
