Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Пусть аь — корень, противополоясный максимальному корню по отношению порядка, определенному базисом В. Две различные вершины !, ! Ен7 соединяются тогда и только тогда, когда (а, )а!)~0. В этом случае положим (а (а) (а~(а ) ' Тотчас проверяется, что граф Х и отображение ), определенные таким образом, не зависят ни от выбора В, ни от выбора скалярного произведения.
Если ранг 1 системы Д равен 1, то 1=(!) и а„— — ао так что 1(0, !)=1. При 1)2 корень а, не пропорционален ни одному из а, и (аь)а!) будет (О ($1, п'8, предложение 25). Для произвольной пары (4, 1) различных элементов из 1 все допустимые возможности — это 1), 2), 3), 4) из предыдущего пункта (например, при всех !4=1, и,! —— п(аь, а!) и и!ы — порядок произведения з,,з,,).
В случае 1 .*2 мы изображаем пополненный граф Дынкина схемой с теми же соглашениями, что и в предыдущем пункте, используя иногда пунктир для отрезков, связывающих вершину 0 с другими вершинами. Заметим, что знак неравенства >, помещенный на таком отрезке, если он имеется, всегда направлен в сторону вершины, отличной от О, поскольку а„— корень наибольшей возможной длины ($1, и'8, предложение 25). Отождествим (Х, 1) с подграфом графа (Х, 1), получающимся удалением вершины О. Действие группы А(Я) на (Х, 1) продолжается до действия на (Х, 1), оставляющего вершину 0 неподвижной; (г" ()т) действует на (Х, 1) тривиально.
Вернемся к обозначениям 3 2. Предложение 5 э 2, и'2, вместе с теоремой 1 гл. Ч, й 3, и'2, показывают, что граф Кокстера 2 аффинной группы Вейля (Р',()с) получается из з $4. КЛАССИ4ИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕИ 247 Замечание. Можно показать, что каноническое отображение Ац1 (Х, /) -э. Ап! (т) является изоморфизмом. ТеОРемА 4. Пусть ()Р, 5) — неприводимая система Кокстера с конечным множеством 5. Для того чтобы ассос)иированная квадратичная форма (гл.
т/, $4, и'1) бьсла полозсительной и вырожденной, необходимо и достаточно, чтобы граф Кокстера системы (В', 5) был изоморфен одному из следующих графов: А, (Чичл сстс вершина чи) А (с Р т) 4 4 4 вершин) 4 4 (СтС а верасин) в, (с аз) с, !с ез) (с+ с и, [с Р4) вершин! (Х, /) по тем же правилам, что использовались при переходе от (Х, /) к графу Кокстера группы %'(сс/). Далее, пусть.
6 — нормализатор группы )Р',(Р) (3 2, и'3). Всякому элементу д ее 6 соответствует автоморфизм ср(д) системы л и ср (д) =14, когда й~((7,(Р). Обратно, всякому автоморфизмуХ системы 2 по предложению ! ! гл. Ъ, 3 4, и'9, соответствует однозначно определенный элемент д=ф(А), сохраняющий данный альков С и такой, что ср(е) =А. Так как 6 является полупрямым произведением подгруппы 6с элементов, сохраняющих С, и группы %',(Р) (3 2, и'3), то мы приходим к заключению, что прн факторизации ср дает изоморфизм группы 6/(тт, (или 6с) на Ац!(Х). Немедленно проверяется, что композиция этого изоморфизма с каноническим отображением Л (/с)/))7 Я) в 6/)Р', совпадает с гомоморфизмом Л (/с)/))7(Р) вАц!(2), порождаемым гомоморфизмом Л(/7)/Ят(/7) в Ац!(Х, /), определенным выше.
В соответствии с ч 2, и'3, группа Ац! (Х) изоморфна полупрямому произведению Л (/чс)/)(7 (Р) на Р(й'7)/ЩГчЯч), а Р(йч)/С/(Гсч) изоморфна группе Го= 6сП)Р', (в обозначениях 3 2, и'3); элемент группы Ац!(г.), соответствующий элементу усенГс, переводит вершину О в вершину с' системы л. Гл. Рь системъ1 кОРней 248 е, ев Рв о Эти графы Кокстера попарно неизоморфны. Согласно сказанному в гл.
Ч, $4, и'9, и предложению 8 из $ 2, и'5, системами Кокстера, квадратичная форма которых положительна и вырождена, будут те системы, которые соответствуют аффинным группам Вейля приведенных и неприводимых систем корней. Поэтому теорема вытекает из описания пополненных графов Дынкина, приводимого в п'5 — 13. 4.
Предварительная подготовка к построению систем корней Пусть )х — вещественное векторное пространство размерности 1) 1, снабженное скалярным произведением (х)р), Š— дискретная подгруппа в Г, Л вЂ” конечное множество чисел ) 9 и Š— множество таких а ее 1, для которых (а(а) еи Л. Предположим, что )с порождает )г и что для любой пары (а, р) точек из 14 число 2 — будет целым. (а (р) (а(а) Тогда Лв — система корней в )в.
В самом деле, Я, очевидно, удовлетворяет условию (СК1). Пусть аен)4, и пусть з,— ортогональное отражение х х — 2 а. Тогда при ран Е (х) а) (а(а) имеем 2 АХ, так что з,(р) ен Е:, в то же время ~~за(р))~= (р ~ а) (а~а) ' а а 1 =~)р)1, поэтому з„(())енИ. Стало быть, система )г удовлетворяет условиям (СКН) и (СКН1). Она является приведенной, если Л не содержит двух чисел вида Х и 4Х. Возьмем за Г подпространство в Е = вс". Пусть (е„ ... ..., е„) — канонический базис пространства Е. Снабдим Е скалярным произведением, для которого этот базис будет сртонормальным, и отождествнм Е* с Е (соотв. 1" с Рв) при помощи выбранного скалярного произведения.
Определим в Е подгруппы Ем Е1в Ем Ез следующим образом: % 4. КЛАССИФИКАЦИЯ Ст!СТЕМ КОРНЕЙ 249 !) Ее есть" Х-модуль с базисом (е,). Имеем (а)()) ен Х при а, 6 ен ЕФ Векторы а я Ем для которых (а( а) = 1, совпадают с р- е, (1(!'(~п), а те векторы, для которых (а/а) =2, совпадают с Р е, р- е! при ! </ (оба знака Р в !- е, ~ е выбираются независимо друг от друга; примем аналогичное соглашение вплоть до конца этого параграфа). 2) Е, есть Х-подмодуль модуля ЕФ, состоящий из х=- л л ~ рте! СеЕФ, для которых сумма ~! 5! будет четной; по! ! р=! скольк1! 2! н Ц одинаковой четности, то это сводится к требованию, чтобы (х~х) было четным.
Пусть Е', — подмодуль л в Е„порожденный векторами е, -т- еп Имеем ~ 2тет=— р=! — ~~ $! е„(шо!1 Е',), а поскольку 2ел=(е,+е„) — (а,— е„) е= Е'„ видно, что Ер=Е!. Так как Е! и е! порождают Ем то фактормодуль Ел/Е! изоморфен Х/2Х. л л (!ъ 3) Ет=-Ел+ Хр т е, . Ясно, что элемент х=~~2;е! ! ! пространства )т содержится в Е, тогда и только тогда, когда 2тлт~Х, $! — 91ееХ, каковы бы ни были 1 и 1. (6) л л т. «.
(л~ — т.,!- — р, „.,р.- „, — р ., — —, 2 р'л / 2 2 4 4 4 ! ! т=! ! то (а~6)е= — Х для а, бен Е„когда п четно. Группа Е,/Ез нзоморфна Х/2Х. 4) Е,=Ет+ Х р э е, . Если п кратно 4, то Е,будет мнор=! жеством элементов ~ лтет, которые удовлетворяют услор=! ви!о (6) и, кроме того, условию Д с! ~2Х. В этом случае р=! (а!(3) ен Х, каковы бы ни были а, ()ЕВОЕ!.
Совершенно очевидно, что подгруппа в Е, ассоциированная с Е, (соотв. Е!, Ет), есть Ез (соотв. Ет, /.,). Подгруппой в Е, ассоциированной с Ем будет множество элементов л х =,~! $та! ~ Ем ! ! гл. ть системы когнеи и л ! %~ д р ( — л ,) х, щ т, !, яг. 2 Ь 1=! ! Следовательно, при и=О (шод4) эта ассоциированная подгруппа совпадает с /, Коммутатинная группа /е/Ь! имеет порядок 4 и поэтому изоморфна Х/4Х или (Х/2Х) х',(Х/2Х) (Алг., гл. ЧП, 5 4, п'6, теорема 3). Если и нечетно, то / л р( —,уц) ~и! ! ! !!!, 1 !=! поэтому группа /е//.! будет циклической порядка 4.
Если же и четно, то !! Р(тли! !~~Р 0! !!!' 1=! и поэтому группа /.з//.!, содержащая два различных эле- мента порядка 2, изоморфна (Х/2Х) Х(Х/2Х). Мы используем эти обозначения в девяти следуюших . пунктах и в таблицах. Для каждого типа графа Дынкина из теоремы 3 будут явно указаны: (1) Система корней /1 и число корней. (П) Базис В системы )т н соответствующие положитель- ные корни. Базис В будет нумероваться целыми числами 1,...,1. (П1) Число Кокстера Ь (5 1, и'1!). (1Ъ') Максимальный корень а (относительно порядка, определенного базисом В) и пополненный граф Дынкина (и'3).
Под каждой вершиной будет выписан соответствую- щий корень из В. (Ч) Дуальиая система В, каноническая билинейная форма и постоянная у(й) ($1, п'12). (Ч!) Фундаментальные веса относительно В (5 1, и'10). (ЧИ) Сумма положительных корней, (Ч(П) Группы РЯ), ЯЯ), РЯ)/ЯЯ) и индекс связности (% 1, п'9). (1Х) Показатели группы )Р'(й) (гл. Ч, 5 6, п'2, опреде- ление 2).
В случаях Аи В!, С! и О! будут указаны симмет- рические инварианты. (Х) Порядок группы И7Я) (а иногда и ее строение). (Х1) Группа АЯ)/В'(й), ее действие на граф Дынкина и элемент и!еен Ч7Я), переводящий В в — В. 5 С. КЛАССИФИКАПИЯ СИСТЕМ КОРНЕЯ 251 (Х11) Действие Р(сс~)/А)(1с~) на пополненный граф Дынкина и действие А(11)1((х(11) на Р(11~)/11(1см). Для каждого графа Дынкина нз теоремы 3 все эти данные объединены в таблицы 1 — 1Х и упорядочены единым образом по указанному выше образцу. Кроме того, там добавлен еше пункт (Х1П) Матрица Картана, способ получения которой из графа Дынкина был разъяснен в п'2.
Б. Системы хива Вс (1) 2) (1) Рассмотрим в (с =!с' группу 1 (п'4). Пусть Р— множество всех ае:— 1.„для которых (а(а)=1 или (а~а) =2, т. е. множество векторов +-е, (1«с «1) и ~ ес -с-ес (1«с< <1«1). Ясно, что 11 порождает К и что 2(а1р)1(а)а) Сне„ каковы бы ни были а, () е= йс. Стало быть, 12 — приведенная с(с — !) система корней в )с (и'4). Число корней в=21+ 4 2 21! (И) Положим а, =е, — ем ас=ес — еи ..., ас, =ес, — ес, а! =ес, Тогда ес — — а, + а!+1+ ... + ас (1 «1«1), ес + ес = (ос + сссэ! + ... + ас) + (ас + ась, + ...
+ ас) (! «с <1«1), ес — ес — — а!+а,+, + ... +а!, (1«1<1«1). Следовательно, (а„а„..., ас) является базисом в 11 5 1, и'с, следствие 3 предложения 20). Сверх того 1!ас!Г=2 при с' <1, !!асс(1= 1, (ас (ас.„) = — 1 пРи ! «~с'«1 — 1, (ас (ас)=0 при 1>1+ 1. Граф Дынкина системы )с имеет, следовательно, тип Вь а это показывает, что Р неприводима. Положительными корнями будут ес и е, +- ес (с <1). (П1) По теореме 1, (В) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
