Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Если взять в качестве д ортогональное отражение з,, ~Г, ! то !г(д) будет равно з.! . и, следовательно, будет пере- 7 Ф с кллсоификеция систем корнаи вау ставлять е, и еи оставляя неподвижными ее с индексами й, отличными от ! н /. Пусть Х =(еь еэ, ..., еью), Тогда отображение я ф(п) ~Х будет изоморфизмом группы Ю'(Е) на симметрическую группу множества Х. Таким образом, В'(Е) изоморфна симметрической группе Ь~+, и, стало быть, имеет порядок (1+ 1)!. Симметрическая алгебра 8(Е) канонически отождествляется с алгеброй полиномиальных функций Р(«ы э,, ..., «ью) на Е.
Пусть 6 =ф()Р'(Е)). Из сказанного выше следует, что множество 8(Е)о инвариантных относительно 6 элементов в 8 (Е) является множеством симметрических много- членов (Алг., гл. Ч, приложение 1) и, следовательно (там же), 8(Е)о есть алгебра, порожденная функциями и ««( )=,а ... е,п! (1(1(1+ 1). '~ аью Алгебра 8(р') отождествляется с алгеброй сужений на 1' полиномиальных функций на Е. Сужение функции Р~ 5(Е)о на К, очевидно, инвариантно относительно Ж'(Е). Обратно, если 1„1~8(р') ®~~, то существует функция РеБЕ(Е), продолжающая ф заменяя Р функцией ((1+ 1)!) ' ~ д(Р) е о с тем же сужением на р', что н у Р, мы видим, что можно предполагать Реп 8(Е)а. Таким образом, 8(У) пв порождается функциями з,.=з',.~К.
Но з,=О. Сверх того степень трансцендентности над 1х поля отношений алгебры Е(р') равна 1. Стало быть, э; (2(1(1+ 1) алгебраически независимы, а поскольку их степени суть 2, 3, „1+1, показателями группы (р'()г) будут 1,2„3,...,1. (Х1) Прн 1=1 имеем А(Е)=й7(Р)=Х/2Х и юр= 1. При 1) 2 обозначим через е автоморфизм из А()с), который переводит а; в а,ю, Ясно, что автоморфизм графа Дынкина, индуцированный е, является единственным нетривиальным автоморфизмом этого графа. Группа А(Я)/М7(1~) изоморфна 2127. Так как — 1 есть элемент группы А(К), который в соответствии с (1Х) и (Х) не принадлежит (р (Е), то мы видим, что группа А(Е) изоморфна прямому произведению (р'()г)Х У/2Х. Получаем рер= — е.
(ХП) Группа Р(Е~)Я(Е~), будучи циклической порядка 1+1, действует на пополненном графе Дынкина цикличе- 9 зрк, бь н. вурбари Гл нь системы кОРней 258 скими перестановками. При 1: 2 единственный неединичный элемент группы А(к)!Ф" Я) действует на РЯ")Д(!!л') как автоморфизм х — х. 8. Системы типа !)~ (!) 3) (1) Рассмотрим в Р' = !с' группу 7., (и' 4). Множество тех а ~ (.ы для которых (а ! а) =- 2, состоит из векторов -Р е, ~ е! (1(! < ! (!). Ясно, что к порождает к' и что 2(а!р)/(а!а) спи, каковы бы ни были а, 3 е= 1!. Поэтому й является приведенной системой корней в !т (п'4).
Число корней и = 2! (! — 1). (П) Положим а,=е,— еге а,=е,— е„, ...„а,,=е,,— еь а,=е,,+е„. Немедленно приходим к формулам ел — е! — — а~+ а!+, + ... +а!, (! <!), е~+ е! — — а;+ аГ ы+ ... + а!, + 2а;+ 2агл, + ... ... + 2а~ е+ а~ ~ + а, (1' < ! <! — 2), ес + е,, = а, + а~~, + ... + а, (! < ! — 1), ег+ею — — а~+а~+1+ ... +а1 2+а~ ((<! — 1), е,, +ес=аь которые показывают, что (ан ..., а,) есть базис системы )7 (5 1, и'7, следствие 3 предложения 20).
Кроме того !!а, ~~= 2 при всех 1; (а; !а;) = 0 при 1+ 1 < 1, за исключением случая ! = ! — 2!' = 1, когда (аГ е ! а,) = — 1; (а~ !а~+,) = — 1 при ! ! — 2 и, наконец, (а,, !а,) =0; граф Дынкина системы !Г имеет, следовательно, тип ()ь Положительными корнями будут е~ .Р е! для ! < !. (П1) Имеем й = — =2(! — !). (1Ъ') Линейная комбинания а=е, +ее=а, +2ат+ ... ... -(-'2а, Р+ а1, + а, является корнем.
Сумма координат относительно (а,) равна 2! — 3 = Ь вЂ” 1. Стало быть, а — максимальный корень. Прн 1=3 имеем (а!а)=0, (а!а)=(а(а)=1. в А !, КЛАССИФИКАПИЯ СИСТЕМ КОЕИЕП 259 При Е)4 имеем (а~а!)=0 для ЕФ2 и (а)а!)=1, так что пополненным графом Дынкина будет Ф! а! ! Ф2 ФЗ Ф! 2 Ф, (Н) Так как (а !Ф) = — 2 для всех ае—: . Я, то ЕЕ'! = ЕЕ. Длина корней по отношению к Фв равна Ь 1*=(21 — 2) ".
Получаем отсюда !1!я (х, Е/) = (х 1П2/)/(41 — 4) и у(/Е) = 4(Š— 1)-'. (Н!) Вычисления, аналогичные проведенным в и'7, дают фундаментальные веса: йг=в, +ег+ ... +а,= =а, + 2аг+ ... +(! — 1) а2, + 1 +Е(И!+о!+2+ ' ' +Ф! 2+ 2 Е(Ф! 2+и! при!</ †; 1 й! ! 2 (а! +а2+ +в! 2+а! ! в!) 1 1 1 = 2 '(а!+ 2аг+ ... +(Š— 2)а2, + — ЕФ2-2+ — (Š— 2) а2/! 1 й! = 2 (е! + Ег+ ° ° ° + в2-2+ Е2-! + а!) = = — (а! + 2аг+ ...
+ (Š— 2) а! 2+ — (1 — 2) а! ! + 2 1Ф21. 1 1 1 (НП) Сумма положительных корней равна 2р= 2(Š— 1)в, + 2(Š— 2)ег+ ... +2в,, = 2-2 ! (! + 1) ! ! (! — 1) = ~~2(21 — 2 /а!+ (а,, +а!). 2=1 (НП1) Корни ~ е; -!- Ее порождают Е., (п'4), поэтому ЕЕ(ЕЕ)=Е!. Значит, Е/(Р'!)=Е., и, следовательно, РЯ)=/2 (и'4). Согласно и'4, группа Р(К~~ЕЕЯ) изоморфна группе Х/4Х при нечетном Е и группе (7/27) 22',(Х/2Х) при четном 1.
В первом случае РЯ)ЯЯ) порождена каноническим образом веса й! (а также образом веса й,,). Во втором случае Р(Р)Я(ЕЕ) порождена каноническими образами весов й1, и й!. В обоих случаях индекс связности равен 4. (1Х) и (Х) Ортогональное отражение в,, (! Ф /) в (А' переставляет местамн е, и е! и оставляет инвариантнымн вв 260 Гл. ч!.
системы хогнеи с индексами й, отличными от ! и /. Отражения з,, поз рождают группу 6!, изоморфную симметрической группе Я!. С другой стороны, з!!=за!-е зе,.ч-е переводит е, в — е,, е! в — ег и оставляет инвариантными е„с индексами й, отличнымн от ! и /. Элементы зп порождают группу 6, — множество автоморфизмов и векторного пространства )х', для которых и (з!) = ( — 1)сне, с Ц ( — 1) ' = 1. Группа О изоморфна 1=! (Х/22)' ' и нормальна в )Р'(Р), так что группа ЧГ(Р) изоморфна полупрямому произведению б! на (Е/2Х)' '. Ее по!-! рядок, следовательно, равен 2 . Д.
Полиномиальные функции /! из и'5 инвариантны относительно В'(Я)„ так же как и функция /=$Д, ... 5;, кроме того, /!=Р. Пусть, далее, РЯ„..., 5!) — полиномиальная функция, иивариантная относительно Ф'(Я). Пусть ~,!ь,' ... 5!! — входящий в Р одночлен, для которого т! нечетно; тогда т! нечетно при всех /, потому что в зм (Р) входит одиочлен ( — 1)"+'(~',";,'! ... 5!!, откуда т!+ч — = 0 (тод2),. и т!=1 (шоб2). Стало быть, Р=Р, +/Рм где все одно- члены, входящие в Р, и Р,„обладают только четными показателями.
Так как Р инвариаитен относительно перестановок переменных !, то Р, и Р, обладают тем же свойством и, значит, записываются в виде многочленов от Тем самым доказано, что алгебра 5((х) порождена функ! !г!я! циями г!, /„..., /! „г. Кроме того, степень трансцендентности поля отношений алгебры Я((с!) ' ' есть /, так что ! В'!В /„ /з, ..., /! !. / алгебраически независимы.
Приходим к заключению, что последовательностью показателей, надлежащим образом упорядоченной, будет 1, 3, 5, ..., 2/ — 5, 2/ — 3, / — !. Заметим, что / — 1 появляется здесь дважды, когда / четно, и один раз, когда 1 нечетно. (Х1) Автоморфизмы графа Дынкина будут автоморфизмами подчиненного ему графа. Поэтому 1) Если /=3, то группа А(Я)/(Р(/!) изоморфна Х/22. 2) Если 1=4, то всякая перестановка концевых вершин определяет некоторый автоморфизм графа, так что группа А(Я)/%7(Я) изоморфна Сз. 3) Если 1)5, то цепи, выходящие из точки ветвления а, м будут иметь длины 1, 1 и 1 — 3)2. Следовательно, единственный автоморфизм графа, отличный от тождественного, в 5 С КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 261 соответствует автоморфизму е ~ А Я), который переставляет а,, и ан оставляя неподвижными а4 при 1(1(1 — 2.
Стало быть, группа А(Р)/)Р'(Р) изоморфна Х/2Х; более того, группа АЯ) является полунрямым произведением группы б,-иЬ1, определенной в (1Х), на группу Оз, состоящую из автоморфизмов и пространства й', таких, что и(е4) = -~-е4 при всех 1. Если 1 четно, то — 1ен)Р'Я), откуда вз= — !. Если же 1 нечетно, то — 1зиВ'Я), откуда АЯ)=)Р'(Р)Х(1, — 1) и ш,= — е. (ХП) При четном 1 в РЯ"ЩЯ~) имеется три элемента порядка 2: 4в„гз4 4 и 4зи Поскольку 4з1 (соотв. 4в4 ) переставляет вершины, отвечающие корням аз и а, (соотв. а1,), он переставляет вершины, отвечающие корням а, и а,, (соотв. а,), а также вершины, отвечающие корням а1 и а, 1для 2(1(1 — 2.
Получаем 4в4 = 4в14з1 4 При нечетном 1 в РЯК)ЩЯР) имеется два элемента 4в1, и 4з1 порядка 4 и один элемент порядка 2, а именно 4в4. В самом деле, 4з, меняет местами вершины, отвечающие корням аз и а„поэтому он оставляет неподвижными вершины, отвечающие корням а1 для 2- 1(1 — 2, и необходимым образом имеет порядок 2. Следовательно, 4в1 имеет порядок 4 и переводит вершину, отвечающую корню а, (соотв. а1, а„а1,), в вершину, отвечающую корню а, (соотв. ао а, „а ), а вершины, отвечающие корням а1 н а4 1 для 2(1(1 — 2, меняет местами.
Получаем 4з, =е,' и 4з1, =4з4. При 1~ 4 неединичный элемент группы А(Р)/)Р'(й) меняет местами вершины, отвечающие корням а1, и а1, и, следовательно, переставляет элементы 4з1, и 4з1 группы Р(й")ДЯч). При нечетном 1 получающийся таким образом автоморфизм группы Р(/ТРЩ Яч) совпадает с отображением х — х. При 1=4 группа А(Р)/%'(к) отождествляется с группой перестановок множества (1, 2, 3) и действует перестановкой индексов на (в„ым е4) У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
