Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ГРуппы, пОРожденные отРАжеииями т пространстве Ну с вершинами а, для ! ен ! — !. Имеем СО=С, С =- О Сэ и СУФ Сд для ! чь !'. Далее, Ст— Рм! ячейка с носителем Нм В частности, стенками камеры С служат гиперплоскости Н„..., Н„а С|и — грань, лежащая в Н,. Для всякого непустого подмножества Кс:! обозначим через В„множество точек х из Е, таких, что )|(х)) О при ! Я=К и !|(х) (О при ! е.= ! — К. Множества В„будут каме- рами в Е относительно 9, причем В,=С.
Легко видеть, что С компактно. Напротив, если К вЂ” отличное от ! под- множество в ! мощности р, то камера В„содержит после- довательность точек х„, определенную при и )» 2 условиями п для ! яК, !|(х„) = (1 — рп)/(д+ 1 — р) для !' ее ! — К. Этим доказано, что В„не является относительно компактным. 5 2. Отражения В этом параграфе символом К обозначается коммутативное поле, характеристика которого начиная с и'2 будет предполагаться отличной от 2. Обозначим через Р' векторное пространство над К. 1. Псевдоотраясения Опггдгление 1.
Эндоморфизм з векторного пространства (т называется лсевдоотражением, если эндоморфизм 1 — з имеет ранг 1. Пусть з — псевдоотражение в )т и !1 — образ 1 — з. По определению размерность 0 равна 1. Поэтому при заданном векторе а ~ О из 0 существует ненулевая линейная форма а* на 1', такая, что х — з(х) =(х, а').а для любого х из Г. Обратно, пусть заданы вектор а чь О в )т и линейная форма а*эь 0 на )т; формула з,, (х)=х — (х, а*).а (хен(т) (1) определяет псевдоотражение з.,*. Образ эндоморфизма 1 — з„, порождается вектором а, а ядром служит гиперплоскость в (т, состоящая из х, таких, что (х, а') =О. Если (т* — дуальное к (т пространство, то ясно, что эндоморфизм з,*,, пространства 1|*, сопряженный с з,,*, является псевдоотражением, определенным по формуле зе, (х') =х' — (х", а).
а' (х'~ )! ). (2) 'ь х ОтРАжения Назовем псевдоотражением (вдоль) ненулевого вектора а любое псевдоотражение з, для которого а принадлежит образу 1 — з. Гиперплоскостью псевдоотражения з назовем ядро эндоморфизма 1 — з, т. е. множество векторов х, таких, что з(х) =х. ПРедложенне 1. Пусть 6 — группа и р — ее линейное неприводимое представление в векторном пространстве Предположим, что существует элемент д группы 6, такой, что р(д) — псевдоотражение. 0) Любой эндоморфизм пространства У, коммутирующий с р(6), есть гомотетия, и р абсолютно неприводимо.
(В) Предположим, что У имеет конечную размерность. Пусть  — ненулевая билинейная форма на У, инвариантная относительно р(6). Тогда фор,ча В невырождена, симметрична или же антиси.чметрична и любая билинейная форма на У, инвариантная.относительно р(0), пропорциональна форме В. Пусть и — эндоморфизм пространства У, коммутирующий с р(6).
Пусть, сверх того, д — элемент группы О, такой, что р(у) — псевдоотражение, и П вЂ” образ эндоморфизма 1 — р(у). Поскольку 0 имеет размерность 1 н и(П) с:П,. в К существует такой элемент а, что и — а.1 равно нулю на П. Ядро У эндоморфизма и — а. 1 будет тогда векторным подпространством пространства У, устойчивым относительно р(0) и ненулевым, поскольку оно содержит П. А так как представление р неприводимо, то У =У и и =а.1.
Вторая часть утверждения (1) вытекает из первой в силу следствия предложения 5 из Алг., гл. ЧП1, $13, и' 4. Пусть М (соотв. №) — подпространство в У, состоящее из х, таких, что В(х, у) = О (соотв. В(у, х) = О) для любого вектора у из У. Ввиду инвариантностн В 'относительно р(6) оба подпространства )У и № устойчивы относительно р(6) и отличны от У, поскольку В Ф О. Но р неприводимо, поэтому Ж=№= О, и, таким образом, форма В невырождена. Так как У имеет конечную размерность, то всякая билинейная форма на нем имеет вид В' (х, у) = В (и (х), у), где и — надлежащий эндоморфизм пространства У. Если форма В' инвариантна относительно р(0), то эндоморфизм и коммутирует с р(0).
Действительно, пусть х, у — элементы из У и у — элемент группы 6. Инвариантность форм В и В' вл ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2 относительно р(6) влечет равенства В(и(р(у)(х)), у)=В'(р(д(х)), у)=В'(х, р(д ')(у)) = = В (и (х), р (у ') (у)) = В (р (д) (и (х)), у), откуда ввиду невырожден ности В получаем и (р (у) (х)) = =-р(д)(и(к)). Согласно (1), в К найдется элемент а, для которого и =а. 1, т. е. В'=а. В. Применяя этот результат, в частности, к билинейной форме В'(х, у)=В(у, х), получаем В(у, х)=а.
В(х, у)= =а'.В(х, у) для любых двух векторов х, у нз У, а поскольку форма В ненулевая, а'= 1, откуда а = 1 или же а= — 1. Таким образом, форма В либо симметрична, либо антисимметрична. 2. Отражения Напомним, что впредь, если специально не оговорено противное, характеристика поля К предполагается отличной от 2. Отражением в пространстве У мы называем любое псевдоотраженне з, для которого з'=1.
Если з — какое-нибудь отражение, то обозначим через У, ядро эндоморфизма з — 1, а через У, ядро эндоморфизма з+ 1. ПРедложение 2. Пусть з — зндомор4изм пространства У. (1) Если з — отражение, Го У вЂ” прямая сумма гиперплоскости У,+ и прямой У,. (й) Обратно, пусть У вЂ” прямая сумма гиперплоекости Н и прямой Р, причем з(х)=х и з(у)= — у для х ~ Н и уев Р.
Тогда з — отражение и Н= У~, а Р = У, . Наконеи, Р совпадает с образом эндомор4изма 1 — з. (1) Если з — отражение, то У~ — гиперплоскость. Если х принадлежит У, П У,, то х = з (х) = — х, откуда х = О, ибо характеристика поля К отлична от 2. Наконец, для любого х из У вектор х'=з(х)+ х (соотв. х" =з(х) — х) принадлежит У,," (соотв. У,), поскольку з =1, и мы имеем 2х= = х' — х", Поэтому У есть прямая сумма подпространств У,+ и У,, причем У, имеет обязательно размерность 1, ибо У,+ — гнпсрплоскость. (й) В соответствии с сделанными предположениями каждый элемент пространства У единственным образом записывается в виде о=х+у, где хне Н, уенР и з(о)=х — у.
Отсюда немедленно вытекает утверждение (й). $ к ОтРАжения 85 Следствие. Если пространство У конечномерно, то определитель всякого отражения равен — 1. Пусть э — отражение в пространстве У. Согласно предложению 2, (1), сушествует базис (е„..., е„) пространства для которого з(е,)=е,, ..., з(е„,)=е„, и з(е„)= — е„, откуда следует, что Йе1э = — 1. ПРедложение 3. Пусть з — отражение в )т.
(й) Для того чтобы подпространство Г пространства Ь' было устойчиво относительно э, необходи,ио и достаточно, чтобы либо )т, с Г, либо Г сУ,+. (!й) Для того чтобы эндоморфизм и пространства коммутировал с э, необходимо и достаточно, чтобы надпространства Р'~ и У, были устойчивьь относительна и.
(!) Если Гс:У~, то э(х)=х для всех х из Г, откуда з(Г) сГ. Предположив, что (т, ~ Г, для любого х из Г будем иметь з(х) — хенч', сГ, откуда з(х) ееГ и снова з(Г) с Г. Обратно, предположим, что э(о') с Г. Если то сушествует х в Г, для которого э(х) ~ х. Отличный от нуля вектор а = з (х) — х принадлежит прямой у, и, следовательно, ее порождает. Так как а ен Г, то У, с: Г.
(!!) Предположим сначала, что и коммутирует с з. Если х — вектор, такой, что з(х)=е, х (где е= -+ 1), то з(и (х))= и(э(х))=е.и(х) и, следовательно, подпространства (т~ и (т, устойчивы относительно и. Обратно, предположим, что )т~ и У, устойчивы относительно и. Ясно, что тогда эндоморфизм из — зи равен нулю на 1'+ и )т,, а так как )т — прямая сумма (т,+ и у,, то из — зи = О. Следствие. Для того чтобы два различных отражения з и и были перестановочны, необходимо и достаточно, чтобы )т, ~ у,+ и )т„с: )т,+. действительно, если )т, ~ у~ и у„с у,+, то предложение 3, (1) показывает, что Уь~ и Рь устойчивы относительно э, и тем самым эи = из в силу утверждения (й) предложения 3. Обратно, если зи = из, то в силу (Н) подпростраиство У', устойчиво относительно и; утверждение же (!) показывает, что здесь возможны только два случая: а) У„~ У,.
Оба эти пространства, имея размерность 1, совпадают, и поэтому У, (йУ„+. Так как (т„+ устойчиво отно- 86 гл ч. Геулль!, поеожленные От!'Аженнями 3 сительно э, то !', ~у~, и эти гиперплоскости совпадают. Но тогда э =и, а это по условию исключено. б) )т, ~)т„+. Образ эндоморфизма 1 — э тогда содержится в ядре эндоморфизма ! — и, откуда (1 — и). (! — э) =О. Так как и, э коммутируют, то и (1 — э). (! — и) =О, т. е. )т„с: У,+. Зачечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
