Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Размерность пространства Ь называется размерностью ячейки Е. Если й! — множество гнперплоскостей Н е 9, не содержащих Г", то Р=ЕП П Р„(а). нюи (2) 7е ГЛ. Ж ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ г ь е ГипеРплоскости, кАмеРы и ячеики тз Мы хотим доказать, что замыкание ячейки Р задается формулой "=ЕП П В (а). (3) выи Р'=Е.П П Н П Он(а), ватт нни" (4) а из равенства (3) следует, что Р=Е() П Вн(а) П Й В (а).
ныи" откуда Р'=Р. Случай Я'= О невозможен, ибо тогда из равеяств (2) и (4) следовало бы, что Р=Р', вопреки предположению Ь ~ Р и Ь еп Р'. Носителем ячейки Р' является Ясно, что левая часть равенства содержится в правой. Обратно, пусть х ~ Е П П Вд(а). Открытый отрезок с кони я цами а и х содержится в Е и в каждом Рн(а) для НОЯ, а тем самым и в Р. Значит, х принадлежит замыканию Р. откуда и следует справедливость формулы. ПРедложение 3. Пусть Р— ячейка и Š— ее аффинный носитель.
1) Множество Р является открытой и выпуклой частью аффинного подпространства Е в Е. й) Замыкание ячейки Р есть объединение Р и ячеек размерности, строго меньшей, чем размерность Р. В!) В топологическом пространстве Е множество Р является внутренностью своего замыкания. Так как открытое полупространство и любая гиперплоскость выпуклы в Е, то формула (2) показывает, что Р является пересечением некоторого семейства выпуклых множеств и тем самым само выпукло.
Сверх того, пусть а— точка в Р и У вЂ” ее связная открытая окрестность в Е, не пересекающая никакой гиперплоскости из семейства Я таких Нее 9, что а Ф Н, Для любой гиперплоскости НепЯ имеем тогда (У с:. Рн(а), откуда Л () У с Р и, следовательно, Р открыто в топологическом пространстве Е. Пусть Ь вЂ” точка из Р— Р, принадлежащая ячейке Р', и Я' — множество гиперплоскостей Н ~ Я, проходящих через Ь. Положим Я" = Я вЂ” Я'.
Для любой гиперплоскости Н из Я" имеем Ь~ЬН и Ьеп0н(а), откуда Ь~Он(а) и, следовательно, Вн(Ь)=Он(а). Поэтому по определению ячейки 74 ГЛ. Н. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ г множество Е'= ЕП П Н. Но а ее Е и а ее Н для Н из Я', и м и' откуда следует, что Е' Ф Е и, наконец, д(гп Е' < д(ГП Е; иначе говоря, д! Гп Р' < д)гп Р. Этим доказано утверждение (Я). Пусть Н вЂ” гиперплоскость из У!' и 0 — открытое полу- пространство, ограниченное Н и отличное от Вн(а). Тогда Ь ее Н Д Е и 0 Д Е вЂ” полупространство в Е, ограниченное гиперплоскостью Н П Е в Е.
Следовательно, любая окрестность точки Ь в Е пересекает Е!ПЕ, а поскольку ЛД1 не пересекается с Р, как видно из (3), то мы получаем, что точка Ь из Р— Р не может быть внутренней точкой Р в топологическом пространстве Е. Так как Р открыто в Е, то мы получаем утверждение (!(!). Ч. Т. Д. Следствиг. Пусть Р и Р' — две ячейки. Если Р=Р', то Р и Р' совпадают. Это вытекает из утверждения (ш). ПРеДложение 4. Пусть Р— ячейка и Š— аффинное надпространство пространства Š— пересечение некоторого множества гиперплоскостей из 9. Обозначим через у! множество гиперплоскостей Н ~ 9, не содержащих Е.
Тогда следующие условия зквивалентны: (!) существует ячеика Р' с носителем Е, пересекающая Р; (Я) существует ячейка Р' с носителем Е, содержащаяся в Р; (ш) существует точка х в ЕПР, не принадлежащая никакой гиперплоскости из я(. Если эти условия выполненьи то Е Д Е!ГЕ(Р) — единственная ячейки с носителем Е, содержащаяся в Р. (!)Р(!!). Так как Р— объединение ячеек (предложение 3„ (й)), то любая ячейка, пересекающая Р, пересекает некоторую ячейку, содержащуюся в Р, и, значит, с ней совпадает.
((!)~()(!). Для любой точки х из Р' утверждение (ш) выполнено, ибо гиперплоскость из 9, содержагцая х, содержит Р' и, следовательно, Е. ((!!)Ф(!). Пусть х — точка, удовлетворяющая (ш), и пусть Р' — ячейка, содержащая х. Ясно, что Р' пересекает Р, Пусть Нен9. Тогда хФ Н, если НЕЕ у!, и очевидно, что х ~ Н, если Н ф ч). Следовательно, носитель ячейки Р' есть пересечение гиперплоскостей из 9 — у) и совпадает с Е. Наконец, пусть Р' — ячейка с носителем Е, содержащаяся в Р, и пусть х — точка в Р'. Так как никакая гиперплоскость з ь г. ГипеРплоскости, клмееы и ячеики 75 из Яс:9 не проходит через х, то предложение 1 показывает, что существует выпуклая открытая окрестность 0 точки х, которая не пересекается ни с одной из гиперплоскостей семейства Я.
Поскольку х принадлежит замыканию ячейки Р, УПРИ,сг. Далее, Я суть множество гиперплоскостей Не= чг, не содержащих Р', и для любой Н из Я имеем гзн(х) = Он(У) = сгн(У П Р) = Вн(Р). Теперь формула (2) дает равенство Р'= Е() Пгг(Р). Ч. Т. Д. 8. Камеры Опгвделннин 2. Камерой пространства Е относительно 9 (или просто камерой, если ясно, что за 9 имеется в виду) называется любая ячейка в Е относительно 9, которая не принадлежит никакой гиперплоскости из 9. Пусть У вЂ” открытое множество в Е, состоящее из точек, которые не лежат ни на какой гнперплоскости из чг.
Так как гиперплоскость из 9 не может пересекать ячейку н ее не содержать, то камерами будут ячейки, содержащиеся в У. Любая камера является открытым и выпуклым (а следовательно, и связным) подмножеством Е по предложению 3, (1). Поскольку камеры образуют разбиение множества У, они совпадают с связными компонентами в У. Любое выпуклое подмножество А в У связно и, следовательно. содержится в какой-нибудь камере, вполне определенной, если А непусто.
Ясно, что камеры — это ячейки с носителем Е, и предложение 3, (1й) показывает, что каждая камера является внутренностью своего замыкания. Наконец, пусть С вЂ” камеры и А — непустое подмножество в С. Из формул (2) и (3) получаем С= П Пв(А)=Ре(А), С= П Пн(А) (6) нпв Нпе поскольку Пн(А) =Пгг(а) для любой точки вен А. Пгсдложвнив 6. Пусть С вЂ” непустое подмножество в Е. Предположим, что существует подмножество 9' множества 9, обладающее следующими дву.чя свойствами: а) каждой гиперплоскости Н из 9' можно сопоставить открытое полупространство Йн, ограниченное гиперплоскостью Н и такое, что С= П Пн', впе' б) множество С не пересекается с гиперплоскостями из ф фк 76 ГЛ. Ч.
ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ з При этих условиях С является камерой в Е относительно 9 и Он — — Рн(С) для любой гиперплоскости Не— : 9. Свойства а) и б) показывают, что С выпукло в П. Стало быть, существует камера С' с С с С'. Так как С с Он, то Рн — — Рн(С) для любой гиперплоскости Н нз 9'. Отсюда получаем С=Ос (С):з06(С), поскольку 9'с9.
По формуле (6) Оо(С) =С' и С:э С', так что С=С'. ПРедложение 6. Любая точка пространства Е принадлежит замыканию хотя бы одной камеры. Если Е состоит из одной точки, утверждение очевидно. В противном случае пусть а ен Е и Н„ ..., Н вЂ” гиперплоскости из 9, содержащие а. Так как 9 локально конечно, то существует окрестность (т точки а, которую не пересекают гиперплоскости из 9, отличные от Н„ ..., Н . Пусть Р— прямая, проходящая через а и не содержащаяся ни в какой из гиперплоскостей Нн Если х ~ О, хна, и х принадлежит достаточно малой окрестности точки а, то открытый отрезок ] ах [ содержится в (т и не пересекает никакой Нн В таком случае ] ах [ с: П. Ввиду связности ] ах [ содержится в некоторой камере С, откуда а ен С. Пведложение 7.
Пусть Ь вЂ” аффинное надпространство в Е и Π— открытое непустое подмножество в Ь. (1) Существует точка а в ьл, через которую не проходит ни одна гиперплоскость из 9, не содержащая Е. (И) Если Š— гиперплоскость и Е ~ 9, то существует камера, пересекающая О. (1И) Если Š— гиперплоскость и Ь ен 9, то существует точка а в ьг, не принадлежащая никакой гиперплоскости НФЬ из 9. Обозначим через У( множество гиперплоскостей Н с Н ен 9 н Ь ф Н и через 2 — множество гнперплоскостей в аффинном пространстве Ь вида ЬДН, где Н~Я.
Ясно, что й— локально конечное множество гиперплоскостей в Е, и предложение 6 показывает, что ьл пересекает некоторую камеру Г в Ь относительно 2. Если а — точка в Г Д й, то а Ф Н для всех Н, откуда следует утверждение ((). Предположим, что Ь вЂ” гиперплоскость. Всякая гиперплоскость, содержащая Е, с ней совпадает. Таким образом, мы должны различать два случая: а) ЕФ 9. Тогда у(=9 н а Ф Н для всех Нен 9.
Следовательно, а принадлежит некоторой камере в Е относительно 9. Отсюда следует утверждение (И). б) Ь ~н 9, Тогда у[= 9 — (Е), откуда следует (Ш). $ ь ГипеРплоскости, кАмеРы и ячепки 77 4. Стенки и грани Опгеделение 3. Пусть С вЂ” камера в Е. Назовем гранью ка.неры С любую ячейку, содержащуюся в замыкании С и имеющую в качестве носителя гиперплоскость.
Назовем стенкой камеры С любую гиперплоскость, которая является носителем грани камеры С. Каждая стенка камеры С принадлежит 9. Предположение 4 показывает, что гиперплоскость 1,~9 является стенкой камеры С в том и только том случае, когда СФРЕ <ы(С), Далее, всякая стенка камеры С является носителем единственной грани камеры С. пгедложение 8. любая гиперплоскость и из 9 является стенкой' хотя бы одной камеры. По предложению 7, (!И) существует точка а в Н, не лежащая ни в какой гиперплоскости Н'Ф Н нз 9. По предложению 6 существует камера С, такая, что вен С.
Предложение 4 показывает тогда, что 'Н является стенкой камеры С. ПРедложение 9. Пусть С вЂ” камера и % — множество ее стенок. Тогда С = Ри(С) и любое подмножество й множества 9, для которого С=Ре(С), содержит У!. Для того чтобы подмножество с" замечкания С было ячейкой, необходимо и достаточно, чтобы оно было ячейкои в Е относительно семейства %. а) Пусть с — подмножество в 9, такое, что С =РЯ (С). Рассмотрим гиперплоскость Е из 9, но не нз 2. Пусть с)— множество гиперплоскостей НФУ из 9. Тогда й с: У(, откуда С=-РЕ(С), и Е не пересекает Ря(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
