Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Тогда Ь ((Аду) ' — 1)(а)тьО, Существуют такие х!, ..., х„, в У, что ((Ад х,)(Ь), ..., (Аб хм) (ЬЦ содержит базис в Ь(6). Рассмотрим отображение (х,,..., х, уп..., у ) !-м Ц х! (уп у) х; ! 1 из С в 6. Показать, что касательное отображение в (хь ..., хяь е, ..., е)1 тм сюръективно.) б) Пусть 6 — окрестность элемента е в 0 и я! — целое число ) 1. Существует элемент у из 6, цектрализатор которого яе открыт, такой, что М (у. къ 0) !=' П. (Рассуждать от противное!ь используя компактность 6.)! в) Пусть 0' — компактная группа Лк над К, алгебра Ли которой проста. Пусть ус С-+ С' — бнектнвный гомоморфизм абстрактных групп. Тогда непрерывен.
(Применить б) к 6' и а) к 6.) 10). Пусть 6 — группа Ли над К. Показать, что существует окрестность У элемента е. обладающая следующим свойством: если для всякой последова- ') Последнее равенство не определяет Ь(х, у) при йу1!ЪЧз. Кроме того, отображение (х, у) ь-ч (!зз„! (х), у(у)) тернет гладкость прн у = О. Возможное исправление: положить Ь(х, у) (1, !1„1!(х), у(у)), где функция ф определена в некоторой окрестности отрезка (О, !) в к, принимает значения в (О, 1) и принадлежит классу С, причем ф(г) =0 прн г~О и ф(г) й при г)~ Нз. — Прим.
иерея. УПРАЖНЕНИЯ тельности (х„) элементов из У определять рекуррентно у1 = хь у» = (х» у»-1)ю то последовательность (у„) будет стремиться к е. 11) а) Для х, у из йз» вЂ”, сС" определим а(х, у) щ(0, и) формулой <аза(х, у) уй((х)у)). для з, / нз О(п) положим б(з, Ф) апр а(зх, /х). зввз»-~ Показать, что 4 есть расстояние на 6 (и), инвариантное слева и справа.
б) ПУсть з гм (/(и). ПУсть Оь ..., Ом — числа из ) — и, и), такие, что 1е / — все попарно различные собственные значения элемента з. Положим Ф(з) = зпр 18/(. Тогда Ы(е, з) 8(з). (Пусть У/ — собственное подпро- 1 ц/~ш ~е ютранство элемента з, отвечающее собственному значению е /. Для х ем йз» чщеиить Зз Кх ~зх)) снизу с помощью разложения по подпростраиствам У/.) в) Пусть з, / из 6(и) таковы, что 8(/) (и/2 и з коммутирует с (з, /).
г 'Тогда з и / коммутируют. (В обозначениях п. б) пусть У/ — ортогональное дополнение к У/ и (У/ /(У/); похавать, что йг/ — — (йг/ЙУ/)+((У/ЙУ/) н м затем, что йр/ЙУ/ (0).) г) Показать, что существует компактная окрестность У элемента е в О (и), обладающая свпйствам, указанным в предложении 10, устойчивая относительно внутренних автоморфизмов группы 6(и) и такая, что если х, у суть не верестановочные элементы в У, то х и (х, у) ие перестаиовочиы. (Исполь- зовать в).) д) Пусть 8 — нормализованная мера Хаара на 6(и). Пусть У,— ком- юактная симметричная окрестность элемента е в О(п), такая, что Уз с У. Пусть р — целое число, такое, что ()(У1) >1/р. Показать, что во всякой монечной подгруппе Р группы 61.(», С) существует такая ее коммутатнвная нормальная подгруппа А, что Сагб(р/А) ~(р (теорема Жордаиа).
(Свести все к случаю, когда Р с 1/(и). Взять в качестве А подгруппу в Р, порож- денную множеством РЙУ, и применить г).) 12) Пусть Π— вещественная или комплексная связная конечномерная группа Ли, а — леваннвариаитиая циффереицнальиая форма степени р иа О. Для того, чтобы а была также правоинвариантной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Фа О. (Заметнтгь что условие правоинвари- лнтности записывается в виде равенства /ь ('Аб (з)) . а (е) = а (е), выполняющегося для всякого згы О, а потому оно эквивалентно равенству (а(е),и~Л ... Ли/ ~Л(и,и/)Ли/+~Л ° .. Лир) О, Й / ! каковы бы ни были и, иь ..., ир в /.
(6).) В частности, дифференциальные формы степени 1 иа О, инварнантные слева к справа, образуют векторное жространство размерности Йт Ь(6) — Йт (/. (6), (. (6)). 13) Наделим К» обычным скалярным произведением ((вз) (з)г)) ь-ь ~~ ~вгг)Р 3 ! Пусть /(и) — группа аффннных изометрических преобразований пространютва К», Она канонически изоморфна подгруппе Ли в ОВ(»+ 1, Щ, обра.зованной матрицами ГЛ.
Пк ГРУППЫ ЛИ где У еи О(я) и х — произвольный элемент из К" (матрица типа (я, 1)). Мы можем отождествить /(и) с полупрямым произвеценаем группы О (л) на К", определенным канонической ииъекцией группы О (я) в 01.(я, К) (матрица 8 обозначается тогда через (У, х)). Пусть /л / (л) .+ О (я) — каноническая сюръекция с ядром К". а) Пусть à — дискретная подгруппа в /(а).
Рассмотрим группу р (Г)— замыкание группы р(Г) в О (я). Показать. что ее компонента единицы коммутативиа. (Пусть у — окрестность матрицы / в О (я), обладающая свойством из упражнения 11г» и такая, что 1У вЂ” Ц~(1/4 длн всякого У ен У (предполагается, что норма из Епб(Кз) получается из евклидовой нормы на К"). (Рассуждать от противного, предполагая, что существуют такие 8~ (У„х,), 8, (Уэ, хз), что Уь Уз принадлежат У и ие коммутируют. Показать, что можно записать (8ь 8з) = ((Уь Уг).
у), где ~ 4 1 Определить тогца рекуррентно элементы 8э, полагая 8з=(8ь 8э,) прп й)З. Принимая во внимание выбор окрестности»г. показать, что эта последовательность имеет бесконечное число различных членов и ограничена в 1(а), а это невозможно.) б) Говорит, что Г есть ярисгалхограэ)иенская группа, если /(я)/Г компзктно. Показать, что если это так, то для всякого хан К" аффипное подпространство Б в К", порожденное множеством Гх, совпадает с К". (В противном случае для всякого узы К" все точки множества Гу отстоит от Б иа. одинаковом расстоянии, а поскольку это расстояние может быть произвольно большим, /(и)/Г не компактно,) в) Если à — коммутативная нристаллографическая группа, то Г ~ К".
(Если 8 = (У, х)~м Г такова, что векторное поцпространство т'<= К", образованное неподвижными точками отображения У, отлично от К", и если обозначить через У ортогональное дополнение к т', то для всякой 8' (У', х')~в Г подпространства г' и г'~ устойчивы относительно У'. С другой стороны, воспользовавшись тем. что У ) У не имеет иеподвижнык точек, отличных от О, показать, что, изменив начало координат, можно считать х ~н 'т'. Вследствие б) существует такой 8' = (г', х')ец Г, что ортогональная проекция у' элемента х' иа »/~ отлична от О. Вычислив 8х' по формуле 8 = 8'88' †', вывести отсюда У .
у' у', что противоречит определению пространства Р.) г) Если à — кристаллографическая группа, то Г() К" есть свободная коммутативная группа ранга я в Г/(Г(» К ) есть конечная группа (теорема Бибербака). Пусть Яà — векторное нодпространство в К", порожденное множеством ГД Ка. Компактная группа р(Г) имеет только конечное число связных компонент. Если Яг (О), то, согласно а), Г содержит коммутативную нормальную подгруппу Г1 конечного индекса; Г~ тогда, является крнстзллографической группой, что приводит к противоречию с в). Стало быть, В' Ф (О). Показать, что йг устойчиво относительно р (Г) и р (Г) ) йг конечна: в противном случае существовала бы такая последовательность (8 ) в Г, что если 8м (Уаь хж), то элементы Уж попарно различны п стремится к /; образовать тогда коммутаторы (/, а)8 (/, а) '8 ', где (а ) — базис в Г Д К", и получить противоречие с предположением о дискретиостн группы Г.
Наконец, для проверки справедливости аоавенства йг = К» поназать, что в противном случае Г действовала бы на К /Яг как кристаллографическая группа, не содержащая параллельных переносов, отличных от О.) УПРАЖНЕНИЯ 1) Предположим, что К Е. Пусть г — целое число >1 или со. Назовем группой клааса С' множество О, наделенное групповой структурой и структурой многообразия класса Сг, такими, что отображение (х, у)»-ь ху"' из 6 ХО в 6 принадлежит классу С'. а) В дальнейшем мы предполагаем, что г~й. Отождествим некоторую окрестность элемента в в О с окрестностью элемента 0 в некотором бана«оном пространстве. Пусть ху = Р(х, у), где Р— отображение класса С' в неноторой открытой окрестности элемента (О, 0).
Положим (0,6»Р) (О, 0) =В. Показать, что ху=х+у+ В(х, у)+ [х [[у [о(1) когда (х, у) ь (О, 0). (Воспользоваться разложением отображения Р с членами порядка ~2 и интегральным остаточным членом.) б) Показать, что х '= — х+В(х, х) + [х['о(!), «ух у+В(«у) — В(у х)+[«[[у[о(!) х 'у 'ху В(х,у) — В(у,х)+[х[[у[о(1), когда (х, у) стремится к (О, 0).
2) Пусть 0 — группа класса Сг с г~2. а) Пусть ! ш У '! (О), Р»ы У Ы ! (6). Если з + з'чС г, определим !» Р ш У ('+*!(6), как в 6 3, и'1. Если ! и У ие имеют свободных членов, то ! » у не имеет свободного члена. Образ элемента ! относительно отображения х ь-ь х из О в 0 обозначается через !"; имеем !Р »м У Ы!(6). Если !в функция класса С' на О со аначениями в отделимом полинормироваином пространстве, то через ! » ! обозначается функция иа О, определенная фор- мулой (1» г)(х) =(е„ ° ! , [) для всякого х щ 0; эта функция принадлежит классу Сг *, если з < со.
Показать, как в э 3, п'4, что [* (Г» у) =(г» !)»у. б) Если !»ИТ,(0), то.векторное поле хь-ье„° Г нз О обозначается через Ьг Показать, как в в 3, п'6, что для й У из Т, (О) имеем й,, =6,»Ц., откуда 6!,Р Р,! [Т.Р 7Р). Следовательно, ! ° У вЂ” У ! есть элемент из Т,(0), который обозначается через [С У[. в) Воспользуемся обозначениями упражнения 1 а). Если !»м Т, (0), то 7.! (х) = (6»Р(х, 0)) (г), когда х достаточно близок к О. Вывести отсюда, что [С У) = В (й У) — В (г.', !).. г) Показать, что пространство Т,(6), наделенное операцией коммутиро- вания (С у)» †э у), является нормируемой алгеброй Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
