Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Зафиксируем ! ~ ТА и положим д(и) =(Т1)(1, и), Ясно, что является К'-аналитическим отображением. В силу Мн. Св. 4 з НЬ ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ГРУППЫ ЛИ 40Т рез., 5.14.6, достаточно доказать, что отображения, касательные к д, К-линейны. Можно предположить, что А, В, С суть открытые окрестности элемента 0 в некоторых полных нормируемых пространствах Е, Р, О иад К', К, К соответственно и что 1 есть касательный вектор к А в О. Отождествим ТА, ТВ, ТС соответственно с А Х Е, В Х Р, С Х 6, а вектор 1 — с элементом нз Е. Тогда, для всякой пары (х, у) еи ТВ=В Х Р д(х, у)=(1 (О, х), (Р,1)(0, х)(1) +(РД(0, х)(у)).
Отождествнм Т(В Х Р) с (В ХР) Х(РХР) и Т(СХ 6) с (СХ 6)Х Х(6 ХО). Тогда для любого элемента((х,у), (Ь, й)) ~еТ(В Х Р)= = (В Х Р) Х (Р Х Р) имеем (ТЯ((х, у), (Ь, й)) = ((а, Ь), (с, Н)), где а=(1(0, х)), Ь=(Р1))(0, х)(1)+(РЕ1')(О, х)(у), с=(РД(0, х)(Ь), г( =(РАР1 1) (О, х) (1, Ь) + (Р,РД (О, х) (у, Ь) + (РД (О, х) (й). зафиксируем теперь (х, у) еи В Х Р. мы должны показать, что отображение (Ь, й) Р (с, д) из РХР в ОХ О является К-линейным. Поскольку отображение х Р1(0, х) из В в С является К-аналитическим, отображения (Ь, й)»(РА1)(0, х)(Ь), (Ь, й) ~(РАРД(0, х)(у, Ь), (Ь, й) Р (1Ц)(0, х)(й) К-линейны. С другой стороны, (Р,Р,1)(0, х)(1, Ь)= !Пп Л '((Р,1)(Лг,х)(Ь) — (Р,1)(О,х)(Ь)), АФК", А.+Ь и при фиксированном Л отображение х 1 1 (Л1, х) является К-аналитическим, так что отображение Ь ~ (Щ) (Л1, х) (й) является К-линейным. ПРедложение 1. Пусть К' — замкнутое недискретное подполе в К, 6 — группа ууи над К, (т — многообразие над К' и (о, д) Р-Р щ — некоторое К'-аналитическое отображение из )т Х 6 в 6.
Предположим, что для всякого о~ 'у' отображение дР-Род из 6 в 6 есть автоморфизм группы Пи О. Пусть е — элемент из )т, такой, что ад=а для всех д~ О, и а ~ Т,(у'). Тогда векторное поле д ~ад на О является инфинитезимальным автоморфизмом группы О. Если осе У, д, ~6, д,еи О, то о(у,д,)=(од,)(оут). Стало быть, если и, ~ТО, изеи ТО, то а(и,из)=(аи,)(аиД 3 2, и'1, гл.
пь гггппы ли предложение 3). В частности, отображение д ад из 6 в ТО есть гомоморфизм групп. С другой стороны, это отображение аналитична в силу леммы 2. Пргдложгнин 2. Пусть 6 — вещественная или комплексная группа Ли, а — инфинитезимальный автоморфизм группы 6. Существует закон аналитического действия (Л, у) ~р (а) группы К на 6, обладающий следующими свойствами: 1) если 6 — ассоциированный закон инфинитезимального дейс ствия, то П(1)=а; 2) если Л ен К, то <рь ен Ац(6. а) Для всякого и>0 обозначим через К„открытый шар с центром 0 радиуса р в К.
Для всякого д ~ 6 обозначим через У г множество аналитических интегральных кривых поля а, определенных в каком-либо из шаров К„и таких, что 1(0)=д. В силу Мн. Св. рез., 9.1,3 и 9.1.5, множество У непусто и любые два его элемента совпадают на пересечении областей их определения; пусть м(д) — верхняя грань таких чисел и, что найдется элемент из У, который определен в К„; в У е существует единственный элемент, определенный в К„~е>, мы обозначим его через 1' . б) Пусть до д, лежат в 6, ~~ ен Уге 1т ~ У „причем ~~ и Гз определены в одном и том же шаре К„, Тогда отображение ~Д: К„- 6 аналитична и (Щ(0)=д,я,, С другой стороны, если Л ~ К„, то (ТьЦА))1=(Щ~) 1.~з(Л)+ ~,(Л). (ТьЦ1 ($2, предложение 7)= = а (), (Л)) 1г (Л) + 1, (Л) а (7гЛ)) = = а((Цг) (Л)) (лемма 1); стало быть, ЦгяУ г„,. Это означает, что и (Иг)>(п( (9(уД, р (кз)).
в) В силу Мн. Св, рез., 9.1.4 н 9.1.5, существует такая окрестность Г элемента е в 6, что а= !п1 9(И) > О, Пусть г~т .й я О и С вЂ” его связная компонента. Для всякого й' ен С получаем в силу б) р(п')>1п1(в, 1ь(й)) >О. С другой стороны, функции 1ь, при й' е= С принимают значения в С. В силу Мн. Св. рез., 9.1.4 и 9.1.5, и =+ ьо в С и, наконец, р =+ со в 6. Положим тогда ~г(Л) = ~рь(у) для всех д я 6 и Л ен К В силу Мн. Св. ргз„9.1.4 и 9.1.5, отображение (Л, д)~ ~рь(д) является законом аналитического действия группы К на 6. Ясно, что если 0 — ассоциированный закон инфинитезимального 0 !0. ГРуппА АвтомоРФизмов ГРуппы ли 409 действия, то О(1) =а. Согласно б), 'рА(к к ) = ~рА(к ) рА (к ) каковы бы ни были Л~К, у, ен6, узен6. ПРндложвнив 3.
Предположим, что К ультраметрично. Пусть 6 — компактная группа Ли, а — ее инфинитезимальный автоморфизм. Существуют открытая подгруппа 1 в К и закон аналитического действия (Л, у) ~рА(д) группы 1 на 6„обладающий следующими свойствами: 1) если Π— ассоциированный закон инфинитезимального действия, то 0(1) =а; 2) ~рА~Ац16 для всякого Ле1. Поскольку 6 компактна, существуют открытая подгруппа !' в К и закон аналитического действия (Л, д) «~рА(д) группы 1' на 6, обладаю0цие свойством 1) 'предложения (5 4, и'7, следствие 2 теоремы 6). Положим 1е(Л) =~рА(у) при Ля у и у~6. Если яп у, лежат в 6 и Л~1', то (т,!1,1,))1=(т,1„)1.
1, (Л)+ 1, (Л). (т,),)1= = а (Ег, (Л)) Р„(Л) + Т„(Л) а (Р„(Л)) = а (Т„(Л) Р„(Л)) и (7 ! )(0)=д,д =! (О). Стало быть, ! ° (Л)=! ° (Л)! ° (Л), 2 1 еели (д', д', Л) лежит в некоторой окрестности элемента (д, д, О) (Мн. Св. рез., 9.1.8). Поскольку 6 компактна, существует такая открытая подгруппа ! в 1', что !гг (Л) =!е (Л)!г (Л), каковы бы ни были д,ен6, д,ец6, Лен!. Другими словами, ~рьенАц!6 при Ля1. Лемма 3.
Пусть 6 и 6' — группы Ли, ~р — гомоморфизм из 6 в АП1(6'). Положим ! (д, у') = (~р (у)) (у ) при дев 6, д' ен 6'. Рассмотрим следующие условия: (!) 1 аналитична; (й) ! аналитична в некоторой окрестности элемента (ео, ео); йй) для всякого д'ен6' отображение д . !(д, д') анали- тична. Тогда (!)~((й) и (ш)). Если 6' связно, то (!)тФ(й). Ясно, что из (1) следуют (й) и (й1). Пусть д 0=6, д00=6'. Каковы бы ни были уен6, у'ен6', ! (чаи уу) = (р(у) р(а;))(уу) = р(у)(р~) а'). р(у) (р(у) у)- Это доказывает импликацию ((й) и (1!)) Р(!).
Наконец, сели 6' связна, то 6' порождается всякой ок естностью элемента ео, а потому (й)Ф(ш). ао ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ .2. Труппа автоморфивмов группы Ли свеи(ественный или комплексный случай) В этом пункте мы предполагаем, что К = » или С. Лемма 4. Пусть Н вЂ” односвязная конечномерная группа Ли. (1) Для всякого и ~ Ац( Ь (Н) обозначим через 0 (и) единственный автоморфизм группы Н, такой, что Ь(0(и)) = и.
Тогда отображение (и, й)~ 0(и)д из (Ан1Т. (Н)) Х Н в Н аналитична. (й) Пусть Н вЂ” подгруппа Ли в Н и Ац((Н, М) — множество элементов с ~Ан(Н, таких, что о(Ф)=М. Тогда 8 1(АШ(Н, Ф)) есть подгруппа Ли в Ап(Ь(Н). (ш) Предположим, что М дискретна и нормальна, так что алгебра Ли группы О=Н(И отождествляется с (,(Н). Для всякого гс ен Ан(О пусть т1 (ю) — единственный автоморфизм группы Н, такой, что Ь (т1 (ге)) = Т. (в).
Тогда отображены является изоморфизмом груплы Ац(О на группу Ап( (Н, М). Для доказательства утверждения (1) достаточно, согласно лемме 3 и'1, проверить, что отображение (и, д) у 0(и)у аиа-' литично в некоторой окрестности элемента (Ис~н1, е). Существует открытая окрестность В элемента О в Ь(Н), такая, что чу =ехрн(В есть аналитический изоморфизм из В на некоторую открытую окрестность элемента е в Н. Существуют открытая окрестность О элемента !Йс<н1 в Ап(Т.
(Н) и открытая окрестность В' элемента О в й(Н), такие, что О(В') ~В. Тогда отображение (и, у) Р-«8(и)д нз Пр',ф(В') в Н разлагается в композицию следующих отображений: (и, д) «(и, ф ' (д)) из О р,' ф (В') в О Х В'1 (и, х)~-«и(х) из ПХВ' в В; у ф(у) из В в О. Следовательно, это отображение аналитична.
Пусть р — каноническая проекция группы Н на однородное пространство Н))ч'. Тогда 0 '(Ан((Н, й() есть множество таких м ен Ац(Ь (Н), что р(8(и)д) = р(е), р(8(и ')д) =р(е) для всякого йен Н. Если принять во внимание теорему 2 и ее следствие 2 из $8, и'2, то (В) будет доказано. Предположим, что подгруппа )ч' нормальна и дискретиа. Пусть геенАп1О. Тогда В (р Р т1 (ич) = В (т1 (ге)) = й (ич = В (гв ч р), а потому ро т1(и) = в ° р и, следовательно, т1(э) енАц((Н, М).
Ясно, что отображение ц из Ац((О) в Ац((Н, Н) является т $10. ГРуппА АвтомоРФизмов ГРуппы ли 41! инъективным гомоморфизмом. Этот гомоморфнзм сюръективен, поскольку р: Н-«6 есть субмерсия Ч. Т. Д. Пусть 6 — локально компактная группа„à — группа ее автоморфнзмов. Напомним, что на Г была ог.ределена топология У (Оби!.
топ., гл, Х, $ 3, и'5). Это наименее сильная топология, относительно которой отображения о«-«о и о~ о-' из Г в Ж,(6; 6) (пространство непрерывных отображений нз О в О, наделенное топологией компактной сходимости) непрерывны. Топология У согласована с групповой структурой на Г (там же). Для всякого компактного подмножества Е в 6 и всякой окрестности П элемента ео в 0 обозначим через Ж(Е, О) множество таких 1ряГ, что 1р(д)едО и <р-1(у)енуб для любого уенЕ; тогда множества Н(Е, О) образуют фундаментальную систему окрестностей элемента ег Если 6 порождается компактным подмножеством С, то топология !! также является наименее сильной топологией относительно которой отображения о о~ С и о1-« о '~ С из Г в Ж,(С; 6) непрерывны (ибо всякое ком- 1 А пактное подмножество в 6 содержится в (С()С ) при достаточно большом и).
Если К локально компактно и )т — конечно- мерное векторное пространство над К, то топология У на 0$.(у') совпадает с обычной топологией. Твоввмь 1. Пусть 6 — конечномерная группа Ли, Оь — ее компонента единицы. Предположим, что 6 .порождается подгруппой Оь и некоторым конечным множеством элементов. (1) Но АП1 О существует одна, и только одна, структура аналитического многообразия, удовлетворяющая условию (А()Т) если М вЂ” произвольное аналитическое многообразие и ! — отображение из М в АП16, то ! аналитична тогда и только тогда, когда отображение (1п, д) «-«((т)д из М Р',0 в О аналитична.
В фюрмулировке остальных утверждений теоремы мы предполагаем, что АП16 наделена этой структурой. (й) АП16 есть конечномерная группа Ли. (ш) Морфиям 1р: и 1 — «Е (и) из АП16 в АП1 Е (6) аналитичен. (!у) Если 6 связна, то 1р является иэоморфизмом группы Ли АП16 на некоторую подгруппу Ли в АП1Е(6); эта подгруппа Ли совпадает с АП1Е(6), если 6 односвязна. (у) Пусть а — множество инфинитезимальных автоморфизмов группы 6. Тогда а есть алгебра Ли векторных полей и закон инфинитезимального действия, ассоциированный с отображением (и к) «и(й) из (АП10)ХО в 6, устанавливает изоморфизм из Е(АП16) на а. (ч!) Топология группы Ли АП16 совпадает с топологией У а. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
