Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Св. рез., приложение). Стало быть, й, наделенная законом композиции Н, является группой Ли 6. Говорят, что 6 ассоциирована с й. В силу лемм 2 и 3 й 4, и'2, имеем ь(6) =-й.' Тождественное отображение !р из й в 0 является экспоненциальным отображением, причем ф (2х) ф (1,'х) = ф ((А + ь) х)„ каковы бы ни были х ен й, Х ен К, 2,'ен К. Всякая подалгебра Ли 6 в а, допускающая топологическое дополнение, является подгруппой Ли Н в 6 и с,(Н) = ().
ПРвдложвнив 13. Пусть 0 — односвязная нильпотентная группа конечной размерности над й или С. (!) ехро есть изоморфизм ассоциированной с с. (6) группы Ли на 6. (й) Любая интегральная подгруппа в 6 является односвязной подгруппой Ли в 6.
Пусть 6=Е(6); это нильпотентная алгебра Ли (предложение 12). Поскольку две односвязные группы Ли над К или С, имеющие одну и ту же алгебру Ли, изоморфны (Э 6, п' 3, теорема 3 (й)), достаточно доказать предложение в случае, когда 0 — группа, ассоциированная с й. Тогда утверждения (!) и (В). следуют из того, что было сказано перед предложением.
в 5 В КОММУТАТОРЫ, ЦЕНТРАЛИЗАТОРЪЬ НОРМВЛИЗАТОРЫ 393 ПРвдложвнив 14. Пусть 6 — связная группа Ли конечной размерности над !с или С. (1) Если 6 нильпотентна, то ехро этально и сюрьективно. (й) Если К = С и ехро этально, то 6 нильпотентна. Пусть 6' — универсальная накрывающая группы 6 и ф — канонический морфизм из 6' на 6. Тогда ехро — — фоехро (3 6, г|' 4, предложение 10); стало быть, (!) следует из предложения 13 (|). Если К = С и если ехр этально, то каков бы ни был х ~ Е (6), никакое собственное значение оператора аб х не принадлежит множеству 2!п(Х вЂ” (О)) (3 6, и' 4, следствие предложения !2).
Применяя это к Лх„где Л меняется в С, мы заключаем отсюда, что все собственные значения элемента ай х нулевые, а потому ай х пильпотентен. Следовательно, алгебра Е (6) няльпотентна (гл. 1, $ 4, следствие 1 теоремы 1); значит, и 6 иильпотентна (предложение 12). ПРедложениа 16. Пусть 6 — связная нильпотентная группа Ли конечной размерности над !с или С, А — интегральная подгруппа в 6. Тогда Ео(Л) есть связная подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли !о(Е(А)). С учетом предложения 9 и'3 достаточно доказать, что Ео(А) связна. Пусть д ~ Ео(А). Существует такой элемент хен Е(6), что д=ехрх (предложение 14).
Тогда Лй д[Е(А) =1 (и'3, предложение 9) и, стало быть, Айд" [Е(А)=! для всех п ~ Х, а потому ехр (аб пх) ! Е (Л) = 1 для всех п ен Е, Поскольку отображение Л ехр(аййх)[Е(Л) из К в .х (Т.(А), Е(6)) полиномиально, получаем ехр(айЛх) !Е(А) = 1 для всех Лен К, т. е, ехр (Лх) еиУо(А) для всех Л я К.
ПРздложзнив 16. Пусть 6 — нильпотентная группа Ли конечной размерности над !т. или С, А — интегральная подгруппа в 6, отличная от 6. Тогда Л|о(А) есть связная подгруппа Ли в 6, отличная от Л. Имеем Фо(А)ФА (А!д„сЬар. 1, 5 6, саго!!а|ге 1 бе 1а ргороз!!!оп 8). С учетом предложения 1! и' 4 все сводится к доказательству связности группы |Уо(А). Пусть д~ Жо(А). Существует такой хек Е(6), что д=ехрх (предложение 14).
Пусть Š— векторное подпространство в 2'(1.(6)), образованное такими и вил'(Е(6)), что и(Е(А)) с: Е(А). Тогда Айд" с= Е, н потому ехр(ай ах)енЕ для всех п~Е. Стало быть, ехр(ай Лх)гнЕ для всех Ля К, т. е. ехр(Лх) я й|о(А) для всех Лен К. ПРвдложенив 17. Пусть й — нильпотентная алгебра Ли конечной размерности над К, (99, йо ..., 6„) — убывающая последовательность идеалов в й, таких, что 99 — — й, й„= (О), [й, 9|[с= 394 ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ с=91е, пРи 0~1<а, ПУсть а„ат, ..., ар — такие вектоРные надпространства в 9, что всякий идеал 91 является прямой сум- мой своих пересечений с подпространствами ар Наделим 9 за- коном композиции Хаусдорфа 1-<. Пусть 1р — отображение (Х„Х„..., ХР) ~-ь х, 1-1 Хт 1-1 ...
1-1 «Р из а,Ха,Х ... Ха в 9, (!) 1р есть биекция из а, Ха, Х ... Хар на 9; (й) 1р и 1р ' суть полиноминальные отображения; (ш) отображение (х, у) 1р '(р(х). р(у) ') из (а, Ха,Х ., „ ... Х ар)з в а, Х а, Х ... Ха„полиномиально. Предложение очевидно, если б1нп 9 = О. Допустим, что б(щ9) О и предложение установлено для всех размерностей, меньших, чем б1п19. Можно предполагать, что 9„, Ф (0), и тогда 9„, является ненулевым центральным идеалом в 9.
Существует такой индекс 1, что ч = 9„, П а~ ~ (О). Пусть. 9'=9Д, 0 — канонический морфизм из 9 на 9', 91'=О(91), а',= = О(а1). Тогда (9ь', 9и ..., 9„') — убывающая последовательность идеалов в 9', таких, что 9'=9', 9'„=(О), (9'„9',]с:9,', при О(~1' < и, и всякий идеал 9,' является суммой своих пересече- ний с подпространствами а,', Пусть чт' — отображение (Хи Хт ° ° ° ~ Хр) ~ ~Х11 ~ха~ 1 ° ° 1 1ХР из а', ХееХ ...
Ха' в 9'. В силу предположения индукции 1р' биективно и 1р', 1р' суть полиномиальные отображения. Пусть х ~ 9. Положим 1р'-'(0(х)) =(х1(х), хе(х), ..., хр(х)). (1> Тогда О (х) = Х1 (х) 1-1 хе (х) 1-1 ... 1-1 хр (х). (2) Пусть ()1 — векторное подпространство, дополнительное к 5 в 9. котоРое ЯвлЯетсЯ сУммой подпРостРанств аь длЯ й Ф1 и дополнения к подпространству 5 в ар Су1цествует биекция Ч нз 9 На р„таКая, Чта Оьт1 =191. ДЛя Х~9 ПОЛОЖИМ ь (х) — П (х1 (х)) 1 1 11 (хт (х)) 1 1 ° ° 1 1 7~ (хр (х)) Я 9 (Зт у (х) = ь (х) ' ь-1 х = ( — ь (х)) . х. (4) Согласно (2) и (3), имеем 0(ь(х)) = 0(х) и, стало быть, у(х) а= 0 Положим, наконец, 1р(х) = (11(Х1((х))...
п(х1(х))+ у(х), ..., т1(х;(х))) ~ еиа1Х ... Ха,. (5~ е $ К КОММУТАТОРЫ. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ, НОРМАЛИЗАТОРЫ $95 Поскольку у(х) лежит в центре алгебры Ли 9, ° р(ф(х)) = т1(х1(х))1-1 ... нт)(х!(х))н ... 1-11!(х„(х))ну(х) = =ь(х)ну(х) (в силу (3))= =х (в силу (4)). 'Стало быть, 1роф=161. Пусть теперь (х„х„..., хр)ена1Х )(аг,'к, ... К ар и положим х=1Р(х„хм..., хр) =х, нхзн... .. нхр. Тогда О(х)=9(Х1)НО(хт)н ... НО(х ), а потому Х1(х) = О(х1) при 1(~!(~р и, следовательно, (х) х1 н хг н н (т!О (хт)) н н хр у (х) = х — т)О (х1).
/ Тогда в силу (5) ф(х)=(х„..., т19(х!)+ х! — т!О(х!), ..., хр)=(х,', хм ..., хр). Значит, ф~41=1Й.,„... „, . Это доказывает (!). Поскольку закон композиции Хаусдорфа полиномнален, 1р полнномнально. Согласно предположению индукции 1р' ' полиномнально; формула (1) показывает тогда, что функции Х1 полиномиальны, л потому ь полнномиально (формула (3)), у полиномиально (формула (4)), ф полнномиально (формула (5)). Тем самым доказано (й).
Утверждение (й!) следует из (1) и (й) и из полиноииальности закона композиции Хаусдорфа. Ч. Т. Д. Пример иильпотентиой группы 17и. Пусть 0 — нижняя Строго треугольная подгруппа в ОЬ(п, К). Это подгруппа Ли в Ю1.(п, К), и Ь(0) с: 9!(п, К) есть алгебра нижних треугольных матриц с нулевой диагональю ($3, и'19, предложение 36). В силу замечания гл. П, $4, и' 6, 6 нильпотентна. Будем предполагать в дальнейшем, что К=К нли С. Поскольку подгруппа 0 гомеоморфна пространству К"~ "", 6 односвязна. Экспоненциальное отображение из Ь(6) в 0 есть не что иное, как отображение в-1 т 1 и" к-~ и" и ехри= ~ =2 а! — 2и А>О а-О 1($6, п 4, пример). Согласно предложению 13, зкспоненцнальное отображение является изоморфнзмом многообразия 7.(6) иа многообразие 0. Предложение 17 $ 6, и' 9, доставляет обратную биекцню 1ой.
Наделим К" некоторой нормой. В силу Спектр. теор., гл. 1, $4, п'9, при д ен 6 и !!у — 1 !) (1 выполляется равенство ( !)А-1 !опд= ) (д — 1)'. А~! ГЛ. !П. ГРУППЫ ЛИ т. е. и-! 1ой а = 'Е ! ') (а — 1)'. (6р поскольку !аЬ вЂ” 1 и а — ! ннльпотснтны. Поскольку векторное подпространство в ж'(у'), порожденное множеством 6, есть,У~У) (Л1у., с)!ар. У111, $4, сого!!а!ге 1 бе !а ргороз1Еоп 2 )), Тг(и(Ь вЂ” 1)) =О для всякого и ен.!с()), а потому Ь = 1. Таким образом, 6=-(1).
б) Обратимся к общему случаю. Пусть й — алгебраическое замыкание поля Й, )г=)г Эак и 6~ 61.(у') — множество элементов а 9 1, где а ~ 6. Пусть У' (соотв. Ж") — множество. элементов в р (соотв. в У'), инварнантных относительно 6 (соотв. 6). Тогда Чт'=Чтил)г, поскольку )У = П Кег(у — 1) гас и Ч7'= ! ! Кег(д — 1) ® 1. Если )г! — минимальный элемент гнс в множестве ненулевых векторных подпространств в у', устойчивых относчтельно 6, то )г! ~ ЧГ' согласно п. а) доказательства-.
стало быть, 1Р' 4= (О), что доказывает (!). в) Индукцией по бпп)г мы выводим нз (!) существование возрастающей последовательности ()г!, )г„ ..., р и) векторных подпространств в )г, устойчивых относительно 6, таких, что 'у'„ = )г и группа автоморфизмов пространства )г!/)г! „ канони- ') См.
также Алг., гл. Ч!!1, 5 4, и' 3, следствие предложения 2. — Прим перев. Но обе части равенства (6) суть аналитические функции от д. при у~ 6, и, стало быть, они совпадают при всех д енО, Предложение !8. Пусть Ь вЂ” поле, Р— векторное пространство конгчнси размерности ) О над Ь, 6 — подгруппа в 61. ()!), всг элементы которой унипстгнтны.
(!) Существигт ненулевой элемент о в )', такой, что до=-о для всякого д ен 6. (1!) Существует базис В в )г, такой, что для всякого у~О гго матрица в базисе В является нижней треугольной, а всг ге диагональнь!г элглгнты равны 1. (ш) Группа 6 нильпотенгна. а) Допустим сначала, что поле к алгебраически замкнуто и тождественное представление группы 6 является простым. Пусть а, Ь вЂ” элементы из 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
