Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Если 6 полупроста, то 7.(6) изоморфна произведению простых алгебр Ли (.и ..., 7.„. Пусть 6; — односвязная группа Ли с алгеброй Ли 1.;; она почти проста. Тогда 6 и 6, Х ...,'х, 6„ односвязны и имеют изоморфиые алгебры Ли, значит, они изоморфны. Лемма 1. Пусть 6 — связная топологическая группа, г, — ее центр, Л' — дискретная подгруппа в л.
Тогда центр группы 6/Л' есть Л!Я'. 402 ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ Пусть у — элемент в 6, класс которого по модулю Я' является центральным элементом в 6/Г. Пусть ф — отображение д ~дур-1у-1 из 6 в О. Тогда ф(6) связно и содержится в Г, а следовательно, 1р(6) 1р((е))=(е). Значит, у~Я. ПРьдложенив 29. пусть 0 — вещественная или комплексная связная полупростая группа Ли. (1) 6=(6. 6). (й) Центр Х группы 0 дискретен. (Ш) Центр группы 6/2 равен (е).
Утверждение (1) вытекает из следствия предложения 4 и'2 и теоремы 1 гл. 1, $6. Утверждение (й) вытекает из следствия 4 предложения 10 $6, и'4, и замечания 2 гл. 1, 5 6, и'!. Утверждение (ш) следует из (и) и из леммы !. ПРедложения 30. (!) Пусть а — вещественная или комплексная полупростая алгебра Ли. Тогда 1п13 является компонентой единицы группы Ац! а.
(й) Пусть Π— вещественная или комплексная связная полу- простая группа Ли. Присоединенная к 6 группа есть компонента единицы группы Агй Е (6). Ее центр сводится к единичному элементу. Всякое дифференцирование алгебры Ли () является внутренним (гл. 1, $ 6, следствие 3 предложения !); стало быть, Ь(1п1а)= =Ь(Ан!11), что доказывает (1). Первое утверждение в (й) следует из (1). Второе вытекает из предложения 29 (й!) и следствия 4(й) предложения 10 $6, п' 4. Замечание 2.
Пусть а — комплексная полупростая алгебра Лн, ()„— нижележащая вещественная алгебра Лн. Тогда группа Агй(3) откРыта в Ап1 (бь). В самом деле, 1п1(йь) с:. Ап1(3). ПРидложвнив 31. Пусть 6 — вещественная или комплексная односвязная конечномерная группа Ли и )1 — ее радикал. Существует такая односвязная полупростая подгруппа Ли 3 в 6, что 6, рассматриваемая как группа Ли, есть полупрямое произведение группы Я на Я. Если 3' — полупростая интегральная подгруппа в О, существует такой элемент х нильпотентного радикала алгебры Ли 1.(0), что (Абехрх) (5') с: Я.
Это вытекает из следствия 1 предложения 14 $6, и'6, и гл. 1, 5 6, теорема 5 и следствие 1. Лемма 2. Пусть 6 — группа (соотв. топологическая группа), 6' — ее нормальная подгруппа, У вЂ” конечномерное векторное пространство над некоторым полем й (соотв. над К), р — линейное е $9. КОММУТАТОРЫ, ЦЗНТРАЛИЗАТОРЫ, НОРМАЛИЗАТОРЫ 4оз (соотв. непрерывное линейное) представление группа«6 в У и р'=р!6'. (1) Если р полупросто, то р' полупросто. (!!) Если р' полупвосто и всякое линейное й-представление (соотв.
всякое непрерывное линейное К-представление) конечной размерности группы 6/6 (соотв. 6/6 ) полупросто, то р полу- просто. Допустим, что р полупросто, и покажем, что р' полупросто. Достаточно рассмотреть случай, когда р просто. Пусть У'— минимальный ненулевой под-6'-модуль в У. Для всякого а«и 6 имеем р (6') р (а) 1" = р (а) р (6 ) 1" = р (а) У'; другими словами, р(а)У' инвариантно относительно р(6'); если У" — некоторый под-6'-модуль в р(а) У', то р(а) У" является тогда под-6'- модулем в У', и, стало быть, У" есть либо (0), либо р(а)1".
Таким образом, р(а) У' — простой 6'-модуль для всякого а ~ 6. Но ~ р(а)У' есть ненулевой под-6-модуль в У, откуда У= еяо ~ р(а)У'. Значит, р' полупросто. Допустим, что р' полуе с просто. Пусть Ю вЂ” ненулевой под-6-модуль в У. Поскольку р' полупросто, существует проекция 19 из У на Я7, коммутирую- щая с р(6'). Пусть Š— множество элементов 1«и.У(У, У), ко- торые коммутируют с р(6'), отображают У в (У и ограничение которых на й7 есть гомотетия. Для 1~ Е обозначим через а(1) элемент поля й (соотв.
К), отвечающий гомотетии 11'ят. Тогда 19ЙЕ и а(19)=1. Ясно, что а есть линейная форма на Е. Пусть Р=Кега; это гиперплоскость в Е. Для 1«=Е и а«-=6 положим о(а)1=р(а) а/ар(а); тогда о(а)/отображает У в и7, и его ограничение на Ю есть гомотетия, отвечающая элементу ««(1); если а'~ 6', то о(а)1 р(а')=р(а) 1 р(а) р(а')= = р (а) а 1 а р (а «а~а) а р (а «) = = р (а) а р (а «а а) а 1 а р (а' «) = =р(а)ар(а)а/ар(а «)= = р(а') а в(а)1, Стало быть, в(а)1 ~ Е. Следовательно, а есть линейное й-представление (соотв. линейное непрерывное К-представление) группы 6 в Е, относительно которого Р устойчиво. Имеем о(а)=1йв при ая6' и потому при ази6' в топологическом случае.
Допустим, что всякое й-линейное (соотв. всякое непрерывное ,К-линейное) конечиомериое представление группы 6/6' (соотв. 6/6') полупросто. Тогда в Е существует дополнение к Г, устой- 404 ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ чивое относительно 6. Другими словами, существует элемент 1енЕ, такой, что а(!) =1, и он иивариантен относительно 6'). Тогда 1 есть проекция из У на Ят, и для у~6 получаем р(д)ь) ор(д-!)=1, т. е. ) коммутирует с р(6). Таким образом, р полупросто. Теорема 1.
Пусть 6 — вещественная или комплексная конечномерная группа Ли, 6с — ее ко.ипонента единицы, !с — ее радикал, т — радикал алгебры Ли Е(6) и 6/6о конечна, Пусть р — коне«номерног линейное аналитическое представление гру ппь! 6. Следуюи!ие условия эквивалентны: (!) р полупросто; (й) р!6, полупросто. (1й) р !тг полупросто; (!У) 1,(р) полупросто; (ч) Т. (р) )т полупросто. Импликации (!)фф(й) следуют из леммы 2 н Интегр., гл. УП, $3, предложение 1.
Импликации (й)4$(1у) и (й!)4ф(У) верны в силу следствия 2 предложения 13 $6, п'5. Импликации (!У)фф(У) справедливы в силу теоремы 4 гл. 1, $6. Следствие 1. Пусть р, р„ря — конечномерные полупростые линейные аналитические представления группы 6 и и — целое число в О. Тогда представления р, бй рго Т"р, 8"р, Л"р (см. добавление) полупросты. Полупростота представления р, К р, следует из теоремы 1 и следствия 1 теоремы 4 гл. 1, Э 6. Полупростота представлений Т"р, 8 р, Д"р вытекает из полупростоты представления р! !3! ря Мы увидим позже. что если л — полз характеристики О, à — группа, р, н р! — ее конечномерныо полупростые линейяые н-представления, то Р!(3!Рг полупросто. Следствие 2.
Пусть р — конечномерное полупростое линейное аналитическое представление группы 6 в векторном пространстве У, 8 — симметри геская алгебра поэстранства У и 8о— подалгебра в 8, образованная элементами, идвариантными относительно (Зр)(6). Тогда 8о есть алгебра конечного типа, Это следует из теоремы 1 и теоремы ба) гл. 1, $6, и Ко.и.и. алг., гл. У, $1, теорема 2, Следствие 3.
Пусть 6 — вещественная или комплексная группа Ли, 6о — компонента единицы. Предположим, что бо по- ') Элемемгг ! в дополнении к г" в Е, устой и!вом относительно 6, являетск б-инвариантным, поскольку 6 сохраняет форму а. — Прим. перев. 9 $ В КОММУТАТОРЫ, ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ, НОРМАЛИЗАТОРЫ 4ой лупроста и 6/69 конечна. Тогда всякое конечномерное линейное. аналитическое представление группаз 6 полупросто. Предложение 32. Пусть. 6 — конечномерная вещественная связная группа Ли.
Предположим, что О(6) редуктивна. Сле-. дующие услова.ч эквивалентны: (!) факторгруппа 6/О'6 компактна; (П) (соотв. (и')) всякое конечномерное линейное аналитическое. представление группы 6 в комплексном (соотв. вещественном) векторном пространстве полупросто, (!)=)9(и'). Допустим, что 6/Г6 компактна, Тогда любо" не-. прерывное линейное представление группы 6/О'6 в конечномерном вещественном векторном пространстве полупросто (Пнтегр., гл. Ч!1, $ 3, предложение 1).
Пусть р — конечномерное' линейное аналитическое представление группы 6 в вещественном векторном пространстве. Тогда р!Р'6 аналитична; но О'6 полупроста (гл. 1, з б, предложение 5) и потому р!О'6 полу- просто (следствие 3 теоремы 1). Стало быть, р полупросто. (лемма 2). Аналогично получаем, что (1) =)9(!!). Докажем импликацию (и') =)9(!). Допустим, что 6/О'6 не- компактна н, следовательно, изоморфна группе вида )АР Х Тч, где р > 0 (3 6, п' 4, предложение 11 (й)). Тогда существует. сюръективный морфизм из 6/Р'6 в м н, стало быть, сюръективный морфизм р из 6 в К.
Отображение есть линейное аналитическое представление группы 6 в Кз, которое не является полупростым, ибо единственное одномерное векторное подпространство в Йз, устойчивое относительно о(6), есть.К (О, 1). Аналогично получаем, что (1!)Ф(1). Предложение ЗЗ. Пусть 6 — конечномерная комплексная группа Ли с конечным числом связных компонент, р — ее конеччомерное линейное аналитическое представление, 6' — интегральная подгруппа вещественной группы Ли 6, такая, что /.
(6') порождает /. (6) над С. Тогда р полупросто в том и только том случае, когда р !6' полупросто. Пусть р'=р!6'. Для полупростоты р (соотв. р') необходимо и достаточно, чтобы /. (р) (соотв. О(р')) было полупросто (теорема 1). Пусть т' — пространство представления р. Для того чтобы некоторое векторное подпространство в )т было устой- ГЛ. !п. ГРУППЫ ЛИ чиво относительно с,(р)(с,(6)), необходимо и достаточно, чтобы оио было устойчиво относительно Е(р')(1.(6')). Отсюда вытекает предложение. ~ 1О. 'Группа автоморфизмов группы Ди В этом параграфе мы предполагаем, что характеристика поля К равна нулю.
л. Инфинитезимальные автоморфизмы Лемма 1. Пусть 6 — группа Ли, а — векторное поле на 6. Для всякого дев 6 пусть р(д) =а(д)д ' яС(6). Следующие условия эквивалентны: (!) а есть гомоморфизм группы 6 в группу Т(6); (В) каковы бы ни были д, у' в 6, имеем а(йй')=а(й') й" + + уа (й'); (В1) каковы бы ни бьсли у, у' в 6, имеем р(кз') =)с(к)+ + (Аб д) р (у'). Условие (1) означает, что, каковы бы ни были у, у' в 6, в группе Т(6) !1 (в ) в Р (в ) к = Р (ив ) в з или р (д) ((Ад у) р (у')) ду' = р(ду') уй'.
Но произведение элементов ()(д) и (Аб д) р(д') в Т(6) есть не что иное„как их сумма в с. (6) ($2, и'1, предложение 2). Стало быть, (1)И(!11). С другой стороны, условие (!!) записывается в виде ~(Ась')дд'=()(д)дд'+уф(й')д', или р (дд') = р (у) + (Аб д) р (д'); значит, (!!) 4Ф(!11). Определенна !. Пусть 6 — группа Ли. Онфинитезимальным автоморфизмом группы 6 называется всякое аналитическое векторное поле на 6, удовлетворяющее условиям леммы 1. Лемма 2. Пусть К' — замкнутое недискретное подполе в К, А — многообразие над К', В и С вЂ” многообразия над К, 1 — некоторое К'-аналитическое отображение из А Х В в С. Предположим, что для всякого а~А отображение Ь вЂ” ~~(а, Ь) из В в С является К-аналитическим. Тогда для любого ! ~ ТА отображение и Р(Т!)(1, и) из ТВ в ТС является К-аналитическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
