Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 92
Текст из файла (страница 92)
53 1) Пусть Π— группа Ли, О, н Оз — ее подгруппы Лн. Предположим, что Оз имеет конечную коразмерность в О. а характеристика поля К равна О. Тогда 0~ Д Оз есть подгРУппа Лн в О с алгебРой Лн Ь(01)() Ь(Оз) (РассУ- ждать, как в предложении 29 н его следствии 2). 2) Предположим, что К локально компактно. Пусть Π— группа Лн конечной размерности л. а) Пусть ф — зтальный зндоморфнзм группы Лн О с конечным ядром. Пусть р — левая мера Хаара на О. Тогда ф — собственное отображение н ~ь) — .~~ Рь Сагд (Кег ф) то бе! Ь (ф) ' (Использовать предложение бб.) б) Предположим, что 0 компактна. Пусть ф — зтальный зндоморфнзм группы Лн О.
Тогда Кегф конечно, ф(0) имеет конечный индекс в 0 н Сагб Кег ф Сагб (О/ (0)) щод бе! ь (ф). (Использовать а) н преобразовать р(0).) в) Предположнм, что 0 компактна н коммутатнвна. Пусть гем 2, где г.! Ф О в К, н пусть ф — зндоморфкзм хе — ~. х' группы О. Тогда Сагд (Кег ф) в Сагб (О/ф (6)) (Заметнть, что в силу следствия предложения 7 нз в 2 Ь(ф) есть гомотетня, отвечающая злементу г.) 3) Пусть Š— комплексное векторное пространство снмметрнческнх комплексных матриц с 2 строками н 2 столбцамн. Для вснкого зщ 3Ь(2, С) определим автонорфнзм р(з) пространства Е формулой р(з)(т) з.яс,~з.
а) Показать, что р есть линейное аналнтическое представление группы Уо ЬД ЗЬ(2, С). Если отождествить !Х ~ са Е с (а, Ь, с) ем Сз, то матРица ЯРеЬ су уа Ь~ образования р ~ ~ равна ~у д < а' 2а(! ау аЬ+()у ()Ь~. у2 2уб Ь2 б) Показать, что щь-ь бе! (яг) есть невырожденная квадратнчная форма д(п, Ь, с) =ас — Ь' на Е н что р — морфнзм из 3Ь(2, С) на $0(д) с ядром УПРАЖНЕНИЯ 421 (1, — 1). (По поводу сюръективности можно заметить, что в матрице, отвечающей какому-либо элементу иа $0(4), первый столбец можно представить в виде (а', ау, у'), а третий столбец — в виде (()', $3, б'), где атй' + ()тут — 2ау()3 1, а затем, что 2 элемента из $0 (4), ограничения когорых на некоторую ие изотропную плоскость совпадают, равны.) в) Вывести отсюда, что комплексная группа Ли $0 (3, С) иэоморфиа комплексной группе Ли $1.
(2, С)/(1, — 1). 4) з] Пусть 4 — квадратичная форма в 11' с сигиатурой (1,2). Пусть Р— множество таких т щ 1(', что 4(щ) >О. Тогда Р есть объединение двух непересекающихся ныпуклых конусов С н — С. Если зщ $0(п), то либо з(С) =С н з( — С) = — С, либо з(С) — С и з(-С) С. Пусть $0+(4)- множество таких з щ $0(д), что з(С) =С. Тогда $0+(4) есть открытая нормальная подгруппа в $0(4) индекса 2. б) Копируя метод упражнения 3), определить морфием иэ $).(2, В) ва $0+ (4) с ядром (1, — 1). Вывести отсюда, что вещественная группа Лн $0+(4) изоморфна вещественной группе Лн $С (2, 1()/(1, — 1).
в) для (й, В) щ Сз н (3, г) ) щ Сз положим / ((й, Ч) (Е', г) )) пэ тр1 ° Показать, что внутренний автоморфизм группы $Е (2, С), определенный 1 Г 1 — /х матрицей =~ ~, преобразует $11 (/) в $1. (2, (1). 1/2 ~ — 1 1) 5) Пусть Š— вещественное векторное пространство эрмитовых комплексных матриц с 2 строками и 2 столбцамн и нулевым следом. Для всякого з щ $0 (2, С) определим автомпрфнзм р (з) пространства Е формулой 1 х у+1гХ р (з) (т) = зюз'. Отождествим элемент ~ ) пространства Е с злеъу — /е — х ) ментом (х, у, г) нз (('.
Копируя метод упражнения 3, показать, что р есть морфнзм вещественной группы Ли $0 (2, С) на вещественную группу Лн $0(3, ц) с ядром (1, -1) и что $0(3, )() изоморфна группе $0(2, С)/(1,— /). '(( 6) Пусть Р— векторное пространство эрмнтовых комплексных матриц с 2 строками и 2 столбцами. Для всякого з щ $$(2, С) определим автоморфизм п(з) пространства Р формулой п(з)(т) зюз'. Отождествим элемент ) 1+ х у+ /гд ) пространства Р с элементом (1, х, у, г) еп й' и положим у — яг 1 — х 4(1, х, у, г) Р— х' — у' — г'.
Пусть С вЂ” множество таких (1, х, у, г) см ц', что Р— х' — у* — гэ>0, 1> О. Пусть $0+ (4) — множество таких й <ж $0 (4), что й (С) С; вто от. крытая нормальная подгруппа в $0 (4) индекса 2 (см. упражнение 4). Пока- вать, что о есть морфизм вещественной группы Ли, лежащей ниже комплексной группы Ли $$ (2, С), на вещественную группу Ли $0+ (П) с ядром (1, — 1). (Для проверки сюръективностя воспользоваться упражнением 5.) Вывести отсюда, что вещественная группа Ли $0+ (4) изоморфна вещественной группе Ли, лежащей ниже $Е(2, С)Д1, — 1), т.
е. (упражнение 3) вещественной группе Ли, лежащей ниже $0 (3, С). 7) а) Пусть 6 — множество кватернноиов с нормой 1. Это подгруппа Лн вещественной группы Ли Н', гомеоморфиая $,; стало быть, оиа односвязна, см. Уар. убп., сйар. Х1. б) Пусть Š— вещественное векторное пространство чисто мнимых кватервнонов, которое отождествляется с цз посредством отображении (х, у, г) ~-эх/+ у/+гй.
ГЛ. ПП ГРУППЫ ЛИ Для всякого лез 6 определим автоморфизм р(я) пространства Е формулой р(й) р йрй ~. Показать,что р есть морфизм группы Ли 6 на вещественную группу Ли $0 (3, К) с ядром (1, — Ц. Вывести отсюда, что группа Ли $0 (3, К) изоморфна группе Ли 61(1, — Ц.
в) Отождествим С с подполем К+К( в Н. Отображение (ь,р)ь-ьрз. из С)с Н в Н превращает Н в векторное пространство над С, которое отождествляется с С' посредством выбора базиса (1, (), Для всякого яеп Р пусть п(д) — автоморфизм этого векторного пространства, определенный формулой и (д) р йр. Показать, что и есть нзоморфизм вещественной группы Лн О на вещественную группу Ли $0 (2, С). Эта последняя группа стало быть, односвязиа, как показывает а).
г) Для (рв р,) ш 0)ч 6 пусть т(рь р,) — отображение рь-ьр1ррг пространства Н К' в себя. Показать, что т есть морфизм вещественной группы Ли 6)ч О на вещественную группу Ли $0(4, К) с ядром Н=((1, Ц„ (-1, -1)); значит, $0(4, К) изоморфна группе.Ли (6)4 О)/Н. 8) Пусть 0 — вещественная связная конечномериая группа Ли, М вЂ” связное конечномерное многообразие класса С; предположим, что задан заков правого действия класса С группы 6 на М.
Для всякой точки хшМ пусть р (х) — соответствующее орбитальное отображение. а) Для того чтобы 0 действовала иа М транзитивио, необходимо ю достаточно. чтобы для всякой точки х ш М отображение Т,(р (х)) из ь (ОР в Т„(М) было сюръективио. (Длн проверки достаточности этого условия заметить, что тогда всякая 6-орбита в М открыта.) б) Предположим, что 6 действует иа М транзитинно. Отождествнм Ау с однородным пространством Н)6, где Н вЂ” стабилизатор некоторой точки хь нз М. Говорят, что действие группы 6 на М нмпримитивно, если существует замкнутое подмногообразие г' н М класса С", такое, что 0<41ш к<Мш М, н такое, что его преобразование г'. з произвольным элементом з ш 6 либэ равно )), либо не пересекается с )г. Для того чтобы это было так, необходимо н достаточно, чтобы нашлась подгруппа Ли Е в 6, такая, что Нс(.с(р н б(ш(Н) <Мш ((.)<41ш(6).
Если это невозможно, говорят, что действие группы О на М примитивно; для этого достаточно, чтобы не сушестзоваль подалгебпы Ли в С(6), заключенной между (. (О) и С(Н) и отличной от Е (6) Г, (Н). в) Предположения те же, что и в б). Пусть Я' — образ алгебры Ли й (Од относительно закона инфннитезимального действия, ассоциированного с действием группы О. Пусть Н вЂ” алгебра функций класса Сы иа М, ш — максимальный идеал в Н, образованный теми функциями из й; которые обращаются в нуль в хз.
Обозначим через 2'р, где д — 1, О, 1, 2, ..., множество таких Хся Я', что 8(Х) (як шд+' для всякой (ряб; тогда 2'-, =ж и Я'. есть образ алгебры Ли Е(Н) относительно закона инфинитезимального действия. Если (О, ф, К» ) — карта на М, центрированиая в хз, и еслю Хн .. „Մ— векторные поля на (Г, определенные этой картой, то элементы пз ЯР нмеют вид а,Х, +... + п„Х„, где аь ..., а„лежат в шэ(6. Пока- вать, что (жр. Я'р) с=Я'Р+ (еслй условитьси, что 2'-а=2'). Если существует УщЯ'Р (гпе Р~О), такой, что УФ Я'Р+и тО сУществУет такой Хш Я', что (Х, У) Ф 2'Р.
Пространства 2'р суть подалгебры Ли в .У. Еслв р ~ О, Я'з есть идеал Я'з. Пусть р — каноническое линейное представления групцы Н в Т„,(М). Алгебра Ли группы Н/(Кег р) изоморфна жз/2'ь г) Предположим, кроме этого, что пересечение пространств Ягэ есть (О) Тогда существует наибольший индекс г, такой, что,Уг Ф (0), и все 2'ю При рь,г попарно различны. При р)0 Т»+ и'з Йш (2 р/Я р+ 1) ~ ( ~ +1/ яцвджиниия 423 д) Предположение п. г) выполнено, если М аналитично и действие труппы О на М аналитнчно. 9) В обозначениях предложения 30 множество НН' может бмть открытым и плотным в О, будучи отличным от 0 (взять О=СЕ(2, !!), в качеютве Н вЂ” верхнюю треугольную подгруппу, в качестве Н' — нижнюю строго .треугольную подгруппу). 1) Пусть 0 — группа Ли, Н вЂ” нормальная квазиподгруппа Ли в О, ж — каноническое отображение из 0 на О/Н.
На О/Н существует одна, и .только одна, структура группы Ли, обладающая следующим свойством: для того, чтобы данный гомоморфизм 8 из О/Н в некоторую группу Ли 0' был тяорфизмом групп Лн, необходимо н достаточно, чтобы гомоморфизм Оол был морфнэмом групп Лн. Кроме того, Е (О/Н) канонически нзоморфна ллгебре Ли Е(0)/Е(Н).
(Пусть Π— некоторзн групускула Лн, такая, что Е (0) Е (О)/Е (Н). Показать, что уменьшив ([, если это потребуется, можно отождествить О с некоторой открытой окрестностью элемента е в О/Н, ,я затем применить к О/Н предложение 18 нз $1.) 3[ 2) Пусть 0 и Н вЂ” две группы Ли, / — морфнзм групп Ли нз 0 в Н. (!) Ядро Н морфнзма / есть нормальнаи квазиподгруппа Ли в 0 н ,Е(Ф) КегЕ(,'). (Воспользоваться экспоиенциальными отображениями для 0 ж для Н.) (й) Пусть к: О/Ф-ь/(О) — отображение, получающееся нз / посредством перехода к фактору.
Если / и Е(/) имеют замкнутые образы и если .топология группы О допускает счетную базу, то /(О) есть квазиподгруппа Ли в Н с алгеброй Ли 1ш Е (/) и л есть изоморфизм групп Ли, коль скоро О/Н наделена структурой, определенной в упражнении 1.
(С помощью (!) свести все к случаю, когда Н = (е).) 3) Пусть 0 — группа Ли, У вЂ” открытая окрестность элемента 0 в Е (О), ц~ — внзлнтическое отображение нз У в О, такое, что у(0)=е и т ф=(бе«». ч.ледующие условия эквивалентны: а) ф — экспоиенциальное отображение; 6) сзтществует число т~ 2, отличное от О, 1, — ! и такое, что ~р(тл) ф(л) в некоторой окрестности элемента О. (Если условие б) выполаено, показать, что ~р, удовлетворяет условию ([Я) теоремы 4.) $4) а) пусть к есть либо (1, либо с, либо ультрдметрическое полю моле классов вычетов которого имеет характеристику > О.
Пусть Π— группа Ли нэд К, У вЂ” открытая окрестность элемента 0 в Е(0), йп У-~.Π— отобРажение, ДнффеРенЦиРУемое в О, такое, что ф(0) =е, Тэ(ф) =!6Е глр н такое, что ю ((А+ Л') Ь) = ~р (ЛЬ) ф (Л'Ь), есля ЛЬ, Л'Ь, (А+Л') Ь прниадлежат У. 'Тогда ф совпадает в некоторой окрестности элемента 0 с некоторым экспоиенцнальным отображением. б) Пусть Ь вЂ” поле характеристики О. Возьмем в качестве /( нормированное поле Ь ((Х)), которое имеет характеристику О. Пусть 0 — эддитивнан круппа Ли Ь [[Х[[. Пусть ф — непрерывное Ь-линейное отображение из О в О, такое, что ф(Х") ХЯ+Хто для всякого целого числа п>0. Тогда ф удо влетворяет услогням п. а), ио не совпадает ни в какой окрестности элемента 0 с экспоненциальным отображением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
