Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 90
Текст из файла (страница 90)
!и. Ггуппы лн а) Единственность аналитической структуры, о которой идет речь в п. (1), очевидна. б) Предположим, что 6 связна. Пусть Н вЂ” ее универсальная накрывающая, р — канонический морфизм из Н на 6 и У = Кегр. Введем обозначения О, т! и Ац((Н, У) леммы 4. Посредством 8 зГеренесем на Ац1Н структуру группы Ли на АП11,(6). Тогда АП1Н становится конечномерной группой Ли, а АП1(Н, У)— ее подгруппой Лн (лемма 4 (й)). Посредством и ' перенесем на Ац16 структуру группы Ли на Ац1(Н, У). Тогда Ац(6 становится конечномерной группой Ли. Утверждения (В), (И) н (1у) теоремы выполнены, и отображение (и, д)» и(д) из (Ац16) Х 6 в 6 аналитнчно (лемма 4(1)).
Пусть М вЂ” аналитическое многообразие, !" — отображение из М в Ац(6 и !р — отображение (Гп, д)» ~(т)д из М Х 0 в О. Ясно, что если !' аналитично, то !р аналитична. Допустим, что !р аналитично. Тогда отображение Тйц ТМ Х ТΠ— » ТО аналитична; его ограничение на М Х 1(6), т. е.
отображение (ПГ, х)»»Т (! (и))х нз МХ1(6) в Т. (6), также, стало быть, аналитично; поскольку Т.(6) имеет конечную размерность, отсюда следует, что отображение Гп»-»Т-(! (и)) из М в Ац1Е. (О) аналитнчно, а потому 1 акатитично. Таким образом, мы проверили (1). Наделим Т.(0) некоторой нормой. Для всякого Л) О обозначим через В, открытый шар с центром в О радиуса Л в Г.(6).
Выберем Л > О настолько малым, чтобы ф = ехро ~ В„было изоморфизмом аналитического многообразия В» на открытое подмногообразие ф(В„) в О. Пусть Ф вЂ” фильтр на Ац16. Для сходимости фильтра Ф к 1бп в Ац16 необходимо и достаточно, чтобы Т.(ГХ!) сходился к 1бсГо! в Ац(Т. (6), т. е. чтобы 1,(Ф)~ Вхд и !. (Ф !)) ВлГз равномерно сходилнсь к 1Г)в . Из этого условия следует, что Ф) ф(Вхл) и Ф ! ф(Вма) равномерно сходятся к 1бз(в„, ).
Обратно, допустим, что Ф!ф(ВхГГ) равномерно сходится к 1Г(ч(вм,). Существует такое МИФ, что если иенМ, то и(ф(ВхГз))с:ф(ВыГ!); тогда Ь(и)(Вма) есть связное подмножество в В(0), образ которого при ехро содержится в ф(Взмз); поэтому Т. (и)(Вхв) не пересекается с Вл — В!М! и, следовательно, 1. (и) (Вхв) с: Вл.
Из предположения, что Ф ~ ф (Вх!з) равномерно сходится к 144(в, ), следует тогда, что Г (Ф)!Вмз равномерно сходится к 1бв е. Отсюда мы получаем, что (Ф сходится к 1Г(о в Ац10)4$ ФФ(Ф сходится к 1до в топологии У „). Это доказывает (у!). Пусть 0 — закон инфинитезимального действия, ассоциированный с законом левого действия группы Ац10 на 6. В силу т $ !О. ГРУППА 'АВТОМОРФИЗМОВ ГРУППЫ ЛИ 4~з предложений ! и 2 и' ! Р(!. (АП16)) = а. Значит, а есть алгебра Ли векторных полей и Р является морфизмом из й(АП16) на ' а.
Пусть х, и хо — элементы из Т. (АП16), такие, что Р(х,) = Р (хо). Тогда законы действия (А, д) ~ (ехр Хх,) д и (А, д) ~(ехрххо)д группы К на 6 имеют одинаковый ассоции- рованный закон инфинитезнмального действия. Следовательно, при достаточно малых )Х~ автоморфизмы ехрХх, и ехрХх, со- впадают в некоторой окрестности элемента е ($4, и'7, тео- рема 6), откуда ехрХх, =ехрХх,. Отсюда мы заключаем, что х, =хо и, стало быть, .0 есть нзоморфизм из Ь(АП16) на а. Таким образом, теорема полностью доказана для связных групп 6.
в) Перейдем к общему случаю. По предположению 6 по- рождается подгруппой 6о н конечным числом элементов х„ т„..., х,, Относительно элемента и ~ АП1 6 подгруппа 6о устойчива, Пусть АП1, 6 — множество тех и ~ АП1 6, которые при переходе к фактору дают тождественный автоморфизм группы 6/6о. Это нормальная подгруппа в АП16.
Согласно п. б) доказательства, АИ1 6о канонически наделена структурой группы Ли, а отображение (пид„..., д„, и)Р— Р(идп идэ ..., ий„) из 6о Х АП16о в 6о аналитично. Пусть Р— соответствующее полу- прямое произведение группы Ап(бо на 6"; это — группа Ли ($ 1, и' 4, предложение 7), имеющая конечную размерность. Если твенАП1,6, положим юо = Гв! 6о ~ Ап( 6о, ю,. = х, 'в (х,) ен 6 (! <1<и), ь (ю) = ((Ген ° ° °, Гно), Гео) е= Р.
Каковы бы ни были Гэ, ю' в АП1,6, ~(")~("") =(("' "' ".Н"Ф") " юо(ю.')) юо" о) = ((ювао(Ге~)' ' ' '' юоГео (Гео))' тиотэо) = ((х, 'Ге(х,)ге(х, 'Гв'(х,)), ..., х„'те(х„)в(х,'ю'(х„))), юоГв') = =(((ГЭГЕ')П ..., (ЮГЕ')о), (ГЕГЕ')О) = = ~(Гэю'); следовательно, ь есть гомоморфизм из АП1,6 в Р. Этот гомо- морфизм, очевидно, инъективен. Покажем, что ь(АП1,6) замкнута в Р. Пусть Ф вЂ” фильтр на АП1, 6, такой, что ~(Ф) сходится к некоторой точке ((Гео ..., Гн„), Гео) из Р. Тогда Ф сходится к некоторому ото- бражению е из 6 в 6. Ясно, что е — эндоморфизм группы 6.
Кроме того, е переводит в себя всякий класс смежности по подгруппе 6о и э)6о= во. Отсюда следует, что еенАП1,6. 414 ГЛ. П1, ГРУППЫ ЛИ Поскольку ь(е) =((и„..., и»„), щ»), мы показали, что ь(Аи1!6). замкнута в Р. г) В этом пункте доказательства мы предполагаем, что К = 11. В силу теоремы 2 $2, и'2, ь(АП1! 6) является подгруппой Ли в Р. Посредством ь перенесем на Аи1,6 структуру вещественной группы Ли на Ь(АП116). Таким образом, Ап(16 становится конечномерной группой Ли. Пусть М вЂ” аналитическое многообразие, 1 — отображение из М в АП1,6 и !р — отображение (т, и)» —; 1(т)ц из МХО в 6. Справедливы следующие нмпликации» (1 аналитично)4='Р И(отображения т ~(1(т))„где 0(~1- п, аналитичиы)И отображения »и-» 1(т)х! из М в 6 при 1<1<а аналитичны 4=)» и фй отображение (»и, д) ((»п)д из МХОз в 6 аналитично 4$(»р аналитнчно).
Если и» ~ Аи(, О, то»'. (и») = Е (и»,), и потому м орфизм н! 1.(в) из АП1,6 в АП11,(6) аналитнчен. Как и в п. б), мы получаем, что закон инфинитезимального действия, ассоциированный с законом действия группы АП1, 6 на О, есть нзоморфизм из 1. (Ап(! 6) на а. Пусть С вЂ” компактное подмножество в 6, порождающее 6.
Для сходимости некоторого фильтра Ф к 1де в АВ1,6 необходимо и достаточно, чтобы ФГ(С()(х!)() ... ()(х„)) и Ф '$(С()(х,)() ... ()(х„)) равномерно сходились к !ар ~ (С () (х! ) () ° ° ° () (х ) ) Топология группы Ли АП1,6 совпадает, таким образом, с топологией У „. Ясно, что Ап(16 открыта в Аи16 в топологии У „. На Ап(6 существует структура группы Ли, согласованная с этой топологией и индуцирующая на Ап1, 6 только что построенную структуру ($8, и' 1, следствие 2 теоремы 1).
То, что группа Ли Ап1 6 обладает свойствами, перечисленными в формулировке теоремы, следует нз соответствующих свойств группы АП1, О. д) В этом пункте доказательства мы предполагаем, что К= С. В силу в) и теоремы 2 $8, п'2, на АП1,6 существует такая структура вещественной группы Ли, что ь есть изоморфизм из АП1,6 на вещественную подгруппу Ли в Р. $ О, ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ГРУППЫ ЛИ 415 Действие (в, д) Гву группы АП1,6 на О является веще- ственно-аналитическим.
Пусть Р— ассоциированный зккон инфи- иитезимального действия. В силу предложений 1 и 2 и' 1 Р (Е (Ап1, 6)) = а, Для всякого авва обозначим через оь ограничение поля а на 64, это инфинитезимальный автоморфнзм группы Оы который, согласно и. б) доказательства, можно отождествить с неко- торым элементом алгебры Ли Е(Ап164). Для 1(~1(~п положим а, = х, 'а (х,.) ен Х. (6) = Е (6 ). Наконец, положим 1(а) =((а„..., а„), аь) ~1(Р). Тогда 1 есть С-линейное отображение из а в Р(Р). С другой стороны, ясно, что Е (ь) = ) ь Р. Стало быть, Е (Ь) (Р(АП1, 6)) = 1 (а) является комплексным векторным под- .
пространством в Е (Р). В силу предложения 2 5 4, и' 2, 4(Ап1,6) есть комплексная подгруппа Ли в Р, и можно теперь рассуждать точно так же, как в и. г): посредством ь мы переносим на Ап1, 0 структуру комплексной группы Ли на ь(АП1,6) и, как и в г), убеждаемся, что Ап(,0 обладает свой- ствами, аналогичными свойствам (1), (И), (И!), (У), (У1), пере- численным в формулировке теоремы. Ясно, что Ап1~ 6 открыта в Ап(6 в топологии У .
Пусть твевАп10 и о — автоморфизм о~ оси ' группы Ап1,6. Он вещественно-аналитичен ($8, п' 1, теорема 1), й(о) есть К-ав- томорфизм алгебры Ли Е(АП1,6) и Р ь Т. (Ап(,6) ь Р есть й- автоморфизм алгебры Ли а. Этот автоморфизм является также автоморфизмом алгебры Ли а, получающимся из в посредст- вом переноса структуры; поскольку в есть К-аналитнческий автоморфизм, мы видим, что Е(о) есть К-линейное отображе- ние.
Следовательно, о является К-аналитическнм автоморфиз- мом (5 3, и' 8, предложение 32). В силу предложения 18 5 1, и' 9, иа Ап16 существует одна, и только одна, структура К- группы Ли, такая, что Ап(, 6 — открытая подгруппа Ли в Ап16. То, что эта структура обладает свойствами, указанными в фор- мулировке теоремы, вытекает из соответствующих свойств группы Ап1, 6.
Следствии 1. Пусть 6 — вещественная конечномерная группа Ли, Оь — ее компонента единицы. Предположим, что 6 поро- асдается подгруппой Оь и конечным числом элементов. Тогда Ап16, наделенная топологией У а, является вещественной конечно- мерной группой Ли. Слвдствнв 2. Пусть Π— вещественная или комплексная связ- ная полупростая группа Ли. Группа 1п16 есть компонента еди- ницы группы АП16. л!е ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ Отображение и э Е(и) является изоморфизмом группы Ап16 на некоторую подгруппу Ли в Ап1Е(6) (теорема !). Образ. группы !п1 6 при этом изоморфизме есть Аб 6.' Но Аб 6 является компонентой единицы группы Ап1Е(6) 5 9, п' 8, предложение 30 (й)).
3. Группа автоморфизмов груням Ли (ультраиетрический случай) Творима 2. Если поле А' локально компактно и ультраметрично, 6 — компактная группа Ли, то утверждения (!), (Б), (!И), (у), (у!) теоремы ! остаются в силе. а) Единственность аналитической структуры, о которой идет речь в (!), очевидна. б) Предположим, что 6 — группа Ли, определяемая нормированной алгеброй Ли Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
