Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 93
Текст из файла (страница 93)
б) Пусть (еь е,, ез) — канонический базис в !!'. Наделим Тсз структурой нильпотентной алгебры Ли о, такой, что [еь зз[ зз, [еь ее[= [ет, ез[ О. Обозначим через сг структурные константы алгебры Ли 8 в базисе (зь ез. ез) ° а) Показать, что на Яз дифференциальные формы ю~ с!хь юз = длг, ыз — хг бхз + чхз 424 ГЛ. П1.
ГРУППЫ ЛИ удовлетворяют соотношениям аюэ — — Я ег/зюг лю/ (Ь- 1, 2. з) 1к! н являются линейно независнмыми в любой точке нз 1(з. б) Вывести отсюда, что на некоторой открытой окрестностн элемента О в ((з существует структура групускулы Лк 6, такой, что Е(6) й н (аь аз. аз)(хь хг хз) (хэ +аз хе+аз хе+аз+аэхз) (!) если (аэ, аз, аз) к (хь х„хз) достаточно близки к О. Показать, что фор; мула (1) на самом деле определяет на ((з структуру ннльпотентной группы Ли. $ б) Пусть 6 — конечномерная группа Ли, й — ее алгебра Лн, й" — дуальное к 9 векторное пространство, о' — присоединенное представленяе группы 6 в у, р — представление группы 6 в 2', определенное формулой р(у) га(д) длн всякого азы 6.
а) Имеем В(р)(х) = — 1(адх) для всякого х ему. б) Пусть /ев й'. Обозначим через 61 стабилизатор элемента / в 6; это подгруппа Лн в 6 и й й(61) есть множество таких х щ й, что 1(аб х) / О. в) Для х, у из й положим В/(х, у) /([х, у)). Показать, что В/ — знакопеременная бнлинейная форма на й, отображение эг нэ й в й', ассоциированное слева с Вг, есть хе — з 1(абх) ) н множество элементов, ортогояальных к й относительно Вр есть й/. Обозначим через [»1 знакопеременную бнлннейную невырожденную форму на пространстве й/й (которое, стало быть.
имеет четную размерность), полученную из В/ посредством перехода к фактору. Обозначим через ф форму на (й/й ), обратную для формы (». г) Пусть Я вЂ” некоторая 6-орбита в й'1 наделим ее структурой многообразия, полученной посредством переноса соответствующей структуры на 6/6/, где / — некоторая точка нз Я. Тогда 6 аналитнческн действует на Я слева. Пусть 0 — ассоциированный закон ннфинитезимального действия. Для всякого азыу и всякого /змЯ имеем Ва(/)= — (заба)/. Касательное надпространство Т!(Я) есть образ отображения з, другнмн словами, множество элементов нз й, ортогональных к й„ и оно каноннчески отожэествляется с (й/у/)*, так что зг определяет каноническИ нзоморфнзм г нз Тг(Я) на дуальное к нему пространство. Поле / ~-ь й есть аналитическая дифференциальная форма ю степени 2 на Я, инвариантная относительно 6.
если / зы Я, а зм й, ь зм й, то оэ (/эа (/), /эь (/)) = / ([а, ь[ ). д) Показать, что з(оэ = О. е) Если а- дифференциальная форма степени 1 на Я, то изоморфвзм г позволяет отождествнть а с некоторым векторным повем. Пусть А — множество аналитических функций на Я со значениямн в К. Для ф, ф нэ А положим [ф, ф[=а(аф, аф) зм А, Показать, что эта операция наделяет А структурой алгебры Лн. ж» Для всякого а ему пусть фз — функция /ь-ь/(а) на Я. Показать, что аэ — э-ф есть гомоморфнзм нз д в алгебру Лн А н с помощью нзоморфиамов г форма г(ф отождествляется с векторным полем /Э . з) Пусть У вЂ” открытое подмножество из у' н ф — аналитическая функция на У. Для всякого / щ У отождествнм дифференциал згвф функцни ф в точке / с элементом кз й. Предположнм, что Хф = О длн всякого векторного поля Х, определенного действием группы 6 на й*.
Показать, что тогда для всякого /зм У элемент агф пРинадлежит центРу алгебры Лн й!. и) Для вснкого /ем 2* положим г г(ил бр Пусть г (п! г„:Показать ! в Т УПРАЖНЕНИЯ что множество )г таких ! чи й*, что г г, открыто и плотно в 8'.
Показать, что для )еи )г алгебра Лн 8 коммутативна. (Построить г функций ел удовлетворяющих условию п. з) в некоторой окрестности элемента ! н таких, что их дифференциалы в ! линейно независимы.) 1( 7) а) Пусть (Л, «) ь-ь Л . х — некоторый закон непрерывного левого действия группы !( нз Т. Тогда справедливо ровно одно из двух утверждений: !) существует неподвижная точка и стабилизатор нонкой точки есть или )с, нли (О); 2) существует точка, стабилизатор которой есть бесконечнаи дискретная подгруппа в !(, и !! действует иа Т транзитивно. (Если (Л еы я !(! Л . х = х! (0), то орбита точки х гоиеоморфна пространству К н имеет грзничные точки 1!ш Л, х, янляющнеся неподвижными.
Если (Лем )с ( Л. х Л.ь ао =х) Ха, где а чь О, то орбита точки х гомеоморфиа Т и группа 1! действует транзитнвно.) б) Если ! — гомеоморфизм группы Т на себя н й — целое число ~ 1, то говорят, что х ~ Т вЂ” периодическая точка с периодом й относительно ), если )з(х) = х и )~(х) ть х при 1 ~ Ь < й. В обозначениях п. а) пусть ! — гомеоморфизм х г — э Л . х. Тогда множество периодических точек с пе- Л риодом й > 1 относительно ! либр пусто, либо совпадает с Т. (Если существует периодическая точка с периодом й > 1 относительно !Л, то ее стабилизатор отличен от (0) н ог !! и, стало быть, )с действует на Т транзитивио, а все точки из Т являются периодическими с периодои й относительно ! .) з) Пусть И вЂ” окрестность элемента е в ЕНИ (Т) (Мн.
Сз. рез., 18.3.8, примечание ')). Существуют целое число й > ! и элемент ! гм И, не имеющий неподвижных точек, такие, что множество периодических точек с периодом В относительно Г ие пусто н отлично от Т. (Пусть р: Й -ь Т вЂ” каноническое 2ц ц отображение, и р — отображение р(х)г — ьр(х+ — ) из Т з Т. Пусть й) И' — такзя окрестность злемента з в ЕОИ (Т), что И" <=И. Если й достаточно великш то р !мИ'. С другой стороны, пусть и — отображение из Т в Т, такое, что п(у) =у при у ф р () О, — () и и (р (х)) = р(х+ Л (х)) 2п й 2п при х ем) О, — (, где й 0<Л(х) < — — х; 2ц й можно выбрать Л тзк, что а окажется в И'. Тогда 1= р и обладает требуемыми свойствамн.) В силу б) подобный элемент ! не может лежать в образе непрерывного морфизмз из (! в ()И1~(Т).
г) Пусть у — компактное дифференцируемое миогообразне размерности ~1. Всякая окрестность элемента е в !)И! (У) содержит некоторый элемент й, обладающий следующим свойством: й не лежит в образе никакого непрерывного морфнзмз из !! в ПИ!ч(У). (Многообразие У содержит открытое подмногообразне вида т К 11, где л! — открытый евклидов шар в )!и радиуса 1 с центром в 0 (п б!шУ вЂ” 1).
пусть злемепт ущ!)и!" (л!) таков, что у(0) =О, !!у(х)Д > !!х! при 0 < Цх! < '!з и у(х) х при !!х!!>'/з причем у очень близок к в в !)И! (В). Пусть ! такой как в в), н пусть отображение (б Т ьТ определено при 0 < ! < 1 следующим образои: если х я Т. уев р (х). 2%ы р (7(х)) и (х — у! < и, то положим И(х) р(!у+ (! — !) г). Существует тогда такой элемент Ь щ 1)Ш (у), что ГЛ. П!, ГРУППЫ ЛИ Л(х, у) ()з1„1(х), у(у)) при х емТ, у ем Р ') н Ь(я) = и при и !м У вЂ” (ТХР)! кроме того.
1 и у можно выбрать так, что Ь будет сколь угодно близок к э в Р!Н (У). Точки нз Т)((0) суть те точки и!му, для которых при и, стремящемся к + со, Ьа" (и) стремится к некоторой точке, яе являющейся неподвижной относительно Ь (н которая в действительности периодичиа с периодом й). Следовательно, всякий гомеоморфизм нз У в У, коммутирующий с Ь, оставляет Т Х (0) инвариантным. Применить затем в). д) Пусть У вЂ” компактное дифференцнруемое многообразие размерности ) !.
Не существует группы Ли 6 и непрерывных морфнзмоя РУН (У)-ьС, 6-ьР!Не(У), композиция которых была бы каноническом инъекцней из Р!Н (У) в ТЛНз(У). (Использовать г),) 8) Пусть 6 — конечномернан группа Ли. Предположим, что А(6) проста Пусть А — нормальная подгруппа в 6. Если А не открыта, то А днскретна и ее коммутант в 6 открыт. (Пусть а — касательная подалгебра Ли к А в е.
Показать, что а= (О). Пусть х — элемент нз А, не принадлежащий центру группы С. Рассмотреть отображение у!-муху-' из 6 в А, Вывестн нз равенства а = (О), что централизатор элемента х в 0 открыт. Ватам, пользуясь эиспонеициальным отображением, показать, что централиззтор элемента х в 6 содержит некоторую окрестность элемента е, не зависящую от х.) ч(9) Пусть 0 — компактная группа Лн над К размерности и. Предположим, что алгебра Ли Ь(6) проста. Для любых у ем 6, целого числа !и ~ р н окрестности У элемента е в 0 обозначим через М(у, т, У) множество элементов из С вида Ц х (ур,у) х,.
', 'где ху ..., х, ур ..., у прннаде ! ! лежат У. а) Показать, что если у — элемент из 6, централизатор которого нв является открытым. гп — целое число ~п и У вЂ” окрестзость элемента е, то М(у, !и, У) есть окрестность элемента е. (Существует такой элемент аемА(6), что (Абу) (а) чь а. Пусть ф — экспоненцнальное отображение -! для 6. Пусть Ь вЂ” образ элемента 1 относительно касательного отображения к Х! — ь(ф(аа)„у) в О, где АеыК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
